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Contrainte de cisaillement dans une section de poutre (problème de moment statique)



  1. #1
    onhernow

    Unhappy Contrainte de cisaillement dans une section de poutre (problème de moment statique)


    ------

    Bonjour,

    Je rencontre un problème de Structure (rdm), et je n'arrive pas à trouver de solutions sur le net...

    L'idée est de calculer l'effort tranchant le long d'une poutre mixte acier/béton. Cette poutre est composée d'une dalle en béton et d'un profilé IPE en acier. Je considère la liaison comme parfaite entre l'acier et le béton.

    Dans un premier temps j'ai calculé le centre de gravité (axe neutre) de la section, je note sa position "y barre".

    Ensuite j'ai calculé l'inertie totale de la section.

    Puis je regarde l'équation de la contrainte de cisaillement :
    67283006.jpg

    Les termes qui apparaissent :
    V : effort tranchant, je le pose à une valeur P
    "mû" : le moment statique (il me pose problème)
    I : l'inertie totale de la section (calculée donc ok)
    t : épaisseur de la portion de section considérée (ok)

    Étant donné qu'on tient compte de l'épaisseur de la partie dans laquelle on se trouve, j'ai divisé la section en 4 parties :
    1- la dalle en béton
    2- semelle sup du profilé
    3- âme
    4- semelle inf

    Et mon idée c'est de calculer dans chaque partie l'équation du moment statique; moment statique calculé par rapport à l'axe neutre de la section totale (axe passant par le centre de gravité).
    Ainsi j'espérais trouver un moment continu le long de la section (et nul aux extrémités, normal)

    Le problème est que je ne trouve pas du tout ce que j'attendais ... mes moments statiques ne sont pas continus alors que j'attendais des moments paraboliques et continus (je trouve bien des paraboles par contre)

    Voila le schéma que j'ai posé pour le calcul de chaque moment statique :
    99225086.jpg

    Explications :

    Je calcule le moment dans le béton par exemple en multipliant l'aire de la partie à l'ordonnée considérée (y1) par la distance entre le centre de gravité de la partie (à (y1) /2) et le centre de gravité de la section totale (y barre, axe neutre)).

    Et ainsi de suite pour les autres moments statiques.

    Problème : forcément quand je suis dans une portion, quand l'ordonnée est nulle j'ai un moment statique nul (vu qu'on multiplie par l'aire de la partie variable, donc on a par exemple A béton = y1 x épaisseur béton) si y1 = 0 ==> moment nul ...
    De ce fait, impossible d'avoir une continuité des moments statiques, ceux-ci ayant pour valeur zéro en début de chaque portion.


    J'espère que vous aurez bien compris le problème. Ce serait vraiment super sympa si quelqu'un pouvait se pencher sur mon cas et qu'on en discute un peu, je sais que c'est un peu long mais là franchement je patauge, je ne trouve rien ...

    Merci d'avance

    A bientôt

    -----
    Dernière modification par JPL ; 19/06/2009 à 20h07.

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  3. #2
    sitalgo

    Re : Contrainte de cisaillement dans une section de poutre (problème de moment statique)

    B'jour,
    Citation Envoyé par onhernow Voir le message
    Dans un premier temps j'ai calculé le centre de gravité (axe neutre) de la section, je note sa position "y barre".

    Et mon idée c'est de calculer dans chaque partie l'équation du moment statique; moment statique calculé par rapport à l'axe neutre de la section totale (axe passant par le centre de gravité).
    Ainsi j'espérais trouver un moment continu le long de la section (et nul aux extrémités, normal)
    Dans une poutre composite la fibre neutre n'est pas au niveau du cdg de la surface totale, il faut pondérer les surfaces par le module d'Young. Dans le cas présent :
    yn (E1 S1+ E2 S2) = y1 E1 S1 + y2 E2 S2
    Mais si t'as l'gosier, Qu'une armure d'acier, Matelasse. Brassens, Le bistrot.

  4. #3
    onhernow

    Re : Contrainte de cisaillement dans une section de poutre (problème de moment statique)

    Oui pardon je n'ai pas précisé, j'avais bien pensé à homogénéiser le béton en transformant l'air du béton en aire équivalente d'acier.
    (ça revient au calcul que tu m'indiques )

  5. #4
    sitalgo

    Re : Contrainte de cisaillement dans une section de poutre (problème de moment statique)

    Citation Envoyé par onhernow Voir le message
    Oui pardon je n'ai pas précisé, j'avais bien pensé à homogénéiser le béton en transformant l'air du béton en aire équivalente d'acier.
    Ok, mais je ne pense pas que cela dispense de faire apparaître E dans dans la formule de tau.
    Problème : forcément quand je suis dans une portion, quand l'ordonnée est nulle j'ai un moment statique nul (vu qu'on multiplie par l'aire de la partie variable, donc on a par exemple A béton = y1 x épaisseur béton) si y1 = 0 ==> moment nul ...
    De ce fait, impossible d'avoir une continuité des moments statiques, ceux-ci ayant pour valeur zéro en début de chaque portion.
    Je suppose que tu veux obtenir une formule de type mu(y) = t y²/2 pour chaque surface.
    Logiquement, selon moi, la valeur est 0 sur la FN et maxi aux extrémités.
    Le problème est que tu ne les raccordes pas.
    La 1ère courbe est mu(y) = t1 y²/2 pour aller de y=0 à y1, la suivante ne repart pas de zéro mais de la valeur précédente :
    mu(y) = t1 y1²/2 + t2 (y²-y1²)/2

    Maintenant je ne pense pas qu'homogénéiser le béton à l'acier soit valable pour calculer les sigma, question de puissance de la hauteur, elle est diminuée proportionnellement aux E pour le Mstat et I/v = bh²/6.
    Mais si t'as l'gosier, Qu'une armure d'acier, Matelasse. Brassens, Le bistrot.

  6. #5
    onhernow

    Re : Contrainte de cisaillement dans une section de poutre (problème de moment statique)

    Ok, mais je ne pense pas que cela dispense de faire apparaître E dans dans la formule de tau.
    Dans la formule de tau, l'inertie utilisée c'est bien l'inertie totale de la section par rapport au centre d'inertie de la section homogène ? Si tel est le cas, E est pris en compte directement dans le terme I, non ?

    Je suppose que tu veux obtenir une formule de type mu(y) = t y²/2 pour chaque surface.
    Logiquement, selon moi, la valeur est 0 sur la FN et maxi aux extrémités.
    Le problème est que tu ne les raccordes pas.
    La 1ère courbe est mu(y) = t1 y²/2 pour aller de y=0 à y1, la suivante ne repart pas de zéro mais de la valeur précédente :
    mu(y) = t1 y1²/2 + t2 (y²-y1²)/2

    Maintenant je ne pense pas qu'homogénéiser le béton à l'acier soit valable pour calculer les sigma, question de puissance de la hauteur, elle est diminuée proportionnellement aux E pour le Mstat et I/v = bh²/6.
    Ah ouais je comprend ! en gros on additionne les moments statiques, et ainsi on obtient quelque chose de continu ? Je vais écrire ça sur une feuille histoire d'y voir plus clair et de vérifier si cela fonctionne.

    Sigma je ne le calcule pas, seule la contrainte de cisaillement tau m'intéresse, la contrainte normale sigma (si c'est bien ça dont tu parle) je ne souhaite pas la calculer.

    En fait mon but ce serait de trouver la contrainte de cisaillement dans le béton en fonction de P (le chargement), idem dans l'acier. Ainsi, connaissant les contraintes de cisaillement maximales admissibles par le béton et par l'acier, je peux trouver le chargement limite pour lequel l'ensemble va rompre (par cisaillement). Pour cela j'avais besoin d'exprimer dans un premier temps la contrainte de cisaillement (et donc le moment statique) par rapport à la position pour le béton et pour chaque parties du profilé d'acier. Ensuite je prend la contrainte maximale dans le béton et la contrainte maximale dans l'acier et voila j'obtiens ce que je veux.


    Bon allez je vais faire les calculs avec ton idée pour le moment statique et si ça marche je trace les courbes pour voir si j'ai un comportement cohérent.

    Merci du coup de main =)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    onhernow

    Re : Contrainte de cisaillement dans une section de poutre (problème de moment statique)

    La 1ère courbe est mu(y) = t1 y²/2 pour aller de y=0 à y1, la suivante ne repart pas de zéro mais de la valeur précédente :
    mu(y) = t1 y1²/2 + t2 (y²-y1²)/2
    Par contre le moment statique je pense qu'il faut le calculer par rapport à l'axe neutre, donc on aurait à priori, pour le béton :
    mu(y1) = bc x y1 ( y(axe neutre) - y1 /2 )
    Avec bc la largeur homogène de la dalle de béton.

    ça semble juste non ?

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  10. #7
    sitalgo

    Re : Contrainte de cisaillement dans une section de poutre (problème de moment statique)

    Citation Envoyé par onhernow Voir le message
    Par contre le moment statique je pense qu'il faut le calculer par rapport à l'axe neutre, donc on aurait à priori, pour le béton :
    mu(y1) = bc x y1 ( y(axe neutre) - y1 /2 )
    Avec bc la largeur homogène de la dalle de béton.
    En fait ma formule suppose qu'on part de y=0 à la fibre neutre et non du bas de la poutre. Je ne saisis donc pas ta formule, ça dépend ptêt de ton schéma.
    Mais si t'as l'gosier, Qu'une armure d'acier, Matelasse. Brassens, Le bistrot.

  11. #8
    onhernow

    Re : Contrainte de cisaillement dans une section de poutre (problème de moment statique)

    Citation Envoyé par sitalgo Voir le message
    En fait ma formule suppose qu'on part de y=0 à la fibre neutre et non du bas de la poutre. Je ne saisis donc pas ta formule, ça dépend ptêt de ton schéma.
    En fait moi j'ai positionné mon origine sur la fibre supérieure de la poutre (en haut de la dalle de béton) et le sens positif descendant.
    Du coup la position de mon axe neutre vaut "y barre" (enfin j'ai noté ça comme ça).

    Par contre c'est pas bête de positionner l'origine au niveau de l'axe neutre, ça simplifie les calculs.
    Je trouve l'axe neutre dans la dalle de béton, donc une partie de la dalle travaille en compression et l'autre partie + l'IPE travaillent en traction. Au niveau des moments statiques ça change les signes non ?

    Pour la répartition moi je trouverai plus logique qu'on ait une contrainte de cisaillement nulle aux extrémités, il n'y a aucune raison pour que les extrémités de la poutre (l'ensemble acier+béton) soit cisaillée à ses extrémités à mon avis.

  12. #9
    sitalgo

    Re : Contrainte de cisaillement dans une section de poutre (problème de moment statique)

    J'ai l'impression qu'il y a confusion. La courbe que tu obtiens ne sert pas à grand chose, elle indique simplement la valeur qu'aurait le moment statique si la poutre était moins épaisse (si on enlève en haut, il faut enlever en bas à la même valeurpour garder la FN au même endroit).

    Le flux de cisaillement (phi) est constant sur la hauteur de la poutre, c'est la largeur à la hauteur considérée qui va donner la contrainte
    tau=phi/b.

    phi = T E_mu / EI
    avec E_mu le moment statique pondéré, mais comme tu utilises un moment statique à la Robin des bois qui aurait perdu un oeil, ta formule devient T mu /I. Je ne sais pas si c'est une bonne méthode.

    Maintenant, si la FN tombe en bas de la partie béton, la partie du béton sur les côtés et loin de l'IPN ne vont bien sûr pas participer à la continuité du cisaillement. Il faut tenir compte d'une diffusion à 45° depuis l'IPN.
    Mais si t'as l'gosier, Qu'une armure d'acier, Matelasse. Brassens, Le bistrot.

  13. #10
    onhernow

    Re : Contrainte de cisaillement dans une section de poutre (problème de moment statique)

    En fait, le but de la chose est d'arriver à tracer une courbe montrant l'évolution de la contrainte de cisaillement en fonction du chargement appliqué à la poutre.

    Mais dans un premier temps, j'aimerais avoir une répartition de cette contrainte de cisaillement le long de la section (sans faire varier le chargement). Juste histoire de voir l'allure de cette contrainte.

    Et c'est justement ça que je n'arrive pas à trouver : l'expression de la contrainte de cisaillement en tout point de la section.
    Comme cette contrainte de cisaillement dépend de la largeur de la section, on est obligé de diviser celle-ci en 4 portions et ainsi trouver 4 équations de la contrainte de cisaillement (pour chaque portion).

    Ma contrainte de cisaillement je l'écris : tau = T mu / I b (en reprenant tes notations).
    Maintenant effectivement cette formule ne fonctionne peut être pas pour une poutre mixte, dans ce cas je dois surement utiliser celle là (que tu as donné dans ton message précédent) :
    tau = T E_mu / EI b
    Mais dans ce cas, quelle est la forme du moment statique ?

    De plus si j'obtiens les expressions de la contrainte dans le béton et dans l'acier, dois-je transformer ce tau (béton) et tau(acier) équivalent ?



    C'est vrai que c'est pas très clair dans mon esprit tout ça

  14. #11
    sitalgo

    Re : Contrainte de cisaillement dans une section de poutre (problème de moment statique)

    Le moment statique de la partie béton au-dessus de la FN est
    E_mu = (y-yn) E2 S2 en partant du bas ou (y/2) E2 S2 en partant du haut (y est alors l'épaisseur de béton au-dessus de la FN).
    On voit que E apparaît, d'où la différence dans les formules.

    Maintenant, bonne nuit...
    Mais si t'as l'gosier, Qu'une armure d'acier, Matelasse. Brassens, Le bistrot.

  15. #12
    onhernow

    Re : Contrainte de cisaillement dans une section de poutre (problème de moment statique)

    Je n'arrive pas a bien saisir l'idée ...

    Bon pour simplifier admettons que la dalle en béton soit une dalle en acier de même hauteur et de même masse (en gros la largeur diminue du rapport des modules d'élasticité)

    Je trouve un axe neutre (centre de gravité de la section totale) dans la dalle supérieure (pas dans l'IPN).

    Si je veux pouvoir tracer l'évolution de la contrainte de cisaillement tau le long de la section, je pose :

    tau = T x mu / I x b
    (comme c'est homogène, le module d'élasticité disparait de l'expression, par simplification)

    b apparait, qui est la largeur de l'élément dans lequel on calcule la contrainte de cisaillement.
    Ceci implique donc bien qu'il faut calculer 4 expressions de tau différentes (comportement dans la dalle, dans la semelle sup de l'IPN, dans l'âme et dans la semelle inf de l'IPN)

    Maintenant ma question est de savoir comment on détermine les termes mu et I.
    Pour une portion donnée :

    1 - I est l'inertie totale de la section ou ce n'est pas le cas, et si ce n'est pas le cas quelle est cette inertie ?

    2 - Est-ce qu'on utilise dans les calculs le fait que l'on connait la position de l'axe neutre, et à quel moment ?

    3 - Comment peut-on exprimer mu (le moment statique) pour la portion en question ?



    Pour la 1ere question, à la base j'utilisais l'inertie de la section totale, mais j'ai de plus en plus de doutes et je ne vois pas quelle inertie calculer dans le cas où mon hypothèse de départ serait fausse.

    Question 2 : Finalement j'aurais tendance à ne pas utiliser cette information et à calculer par rapport à la fibre supérieure ... mais ce n'est pas clair dans mon esprit ...


    J'ai essayé plein de possibilités mais à chaque fois je tombe sur un problème et les hypothèses prises s'avèrent fausses ...

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  17. #13
    sitalgo

    Re : Contrainte de cisaillement dans une section de poutre (problème de moment statique)

    Citation Envoyé par onhernow Voir le message
    1 - I est l'inertie totale de la section ou ce n'est pas le cas, et si ce n'est pas le cas quelle est cette inertie ?

    2 - Est-ce qu'on utilise dans les calculs le fait que l'on connait la position de l'axe neutre, et à quel moment ?
    Déterminer la fibre neutre est la première étape et cela se fait par les moments statiques. C'est indispensable pour calculer l'inertie. L'inertie est l'inertie totale.
    On peut aussi avoir à calculer une dimension de la poutre pour que la fibre neutre tombe à un endroit voulu, toujours par les MS.
    Pour le reste, comme je ne veux pas dire de bêtises et que je n'ai pas trouvé de document sur le net, je n'en dirai pas plus.
    Mais si t'as l'gosier, Qu'une armure d'acier, Matelasse. Brassens, Le bistrot.

  18. #14
    onhernow

    Re : Contrainte de cisaillement dans une section de poutre (problème de moment statique)

    Bon je viens de me lancer dans un truc, à priori c'est pas mal, j'attends de tracer les diagrammes finaux pour voir si c'est cohérent. Si tel es le cas, je posterai les calculs.

    En tout cas merci pour ton aide et pour avoir pris le temps de m'expliquer certains points.

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