Démonstration de la relation E = gamma mc²

invite5a685214 · 19/06/2009, 20h59

Tout est dans le titre... Lycéen de première S, je m'intéresse beaucoup à la relativité restreinte (la base m'est mathématiquement accessible), et lorsqu'on définit le quadrivecteur énergie-impulsion d'un mobile, sa composante temporelle est égale à: gamma mc.

Et les explications que j'ai lues à ce sujet affirment que cette valeur est égale à l'énergie totale de la particule, divisée par c. Cela permet d'établir des équations fondamentales, et de définir l'énergie cinétique, l'impulsion en fonction de v et E, etc etc...

Mais je n'ai jamais trouvé la démonstration de cette relation. Alors ma question est: existe-t-il une démonstration simple de l'équation:
E = gamma mc² ?

Merci d'avance, et si je dis une bêtise, reprenez-moi....

**Seirios** · 19/06/2009, 21h55

Bonjour,

Mais je n'ai jamais trouvé la démonstration de cette relation. Alors ma question est: existe-t-il une démonstration simple de l'équation:
E = gamma mc² ?

La relation pour l'énergie d'une particule libre est $\text{[math]}$ ; dans le cas de la composante temporelle du quadrivecteur énergie-impulsion, l'on peut la rapprocher de l'énergie par un développement limité (pour v<<c) : $\text{[math]}$ , où l'on reconnaît l'énergie au repos et l'énergie cinétique à une constante multiplicative près.

invite6754323456711 · 19/06/2009, 22h02

Bonsoir,

Voir http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post1546649

Patrick

**Seirios** · 19/06/2009, 22h10

Cela dit, dans ce fil, il me semble que l'on n'est pas arrivé à une démonstration impécable, mais seulement à une ébauche avancée.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite5a685214 · 20/06/2009, 01h18

Envoyé par Phys2

La relation pour l'énergie d'une particule libre est $E= \gamma mv^2$

Ah bon? Avec m et v la masse et la vitesse classique?

Envoyé par Phys2

dans le cas de la composante temporelle du quadrivecteur énergie-impulsion, l'on peut la rapprocher de l'énergie par un développement limité (pour v<<c) : $\gamma mc \approx \frac{1}{c} \left( mc^2+ \frac{1}{2}mv^2 \right)$ , où l'on reconnaît l'énergie au repos et l'énergie cinétique à une constante multiplicative près.

Arf, les développements limités, ça se fait en prépa ça... Et je ne suis pas sûr que passer par une approximation "classique" soit un élément de démonstration.

Envoyé par ù100fil

Voir http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post1546649

Oui, j'ai déjà été voir ce topic. Malheureusement, je n'ai pas les connaissances suffisantes pour apprécier à leur juste valeur les démonstrations qui ont été faites. De plus, trouver l'énergie d'une particule au repos ne pourra pas beaucoup me renseigner, à priori, sur la formulation de son énergie totale...

J'espérais qu'il existait une démonstration relativement simple, en tout cas que je puisse comprendre, de la relation E= gamma mc². Dois-je comprendre que ce n'est pas le cas?

invite3c68aec2 · 20/06/2009, 02h16

Hum un peu dur de répondre avec des connaissance de 1ere.
Pour moi cette expression vient de la formulation même de la relativité restreinte quand on passe à un formalisme quadrivectorielle.

Pour faire simple, quand on passe en relativité restreinte, on ne considère plus le temps comme une coordonnée à part. La position d'un objet est donc décrite non plus par sa position (vecteur de dimension 3) ET un temps à partir d'une certaine origine mais par un vecteur de dimension 4 (ct,x,y,z) de l'espace temps qui a la dimension d'une longueur.
On construit ensuite le vecteur quadrivitesse. Il faut donc différencier ce vecteur par rapport au temps pour obtenir quelque chose d'analogue. Le problème c'est qu'on aimerait avoir une vitesse invariante par changement de réferentiel galiléen (transformation de Lorentz) donc il faut différencier par rapport à un temps élémentaire invariant de Lorentz et ce temps c'est le temps propre. On trouve alors la quadrivitesse = (gamma,gamma*v/c). Attention ce n'est pas homogène à une vitesse (mais on pourrait en le multipliant par c).
L'étape suivante est la construction de la quadri impulsion où par analogie avec l'impulsion classique on multiplie par m*c. Le vecteur quadri impulsion s'écrit donc (gamma*m*c,gamma*m*v) qui est bien homogène à une impulsion.

Et c'est ainsi qu'apparait le terme gamma*m*c homogène à E/c. Ce n'est pas rééllement à proprement parler une démonstration. Il s'agit plutot du cheminement logique qui part uniquement du postulat considèrant l'espace et le temps comme un tout et la vitesse de la lumière invariante dans tous référentiel galiléen pour arriver à une expression de l'énergie = gamma*m*c**2.

J'espère que ca t'aidera un peu dans la compréhension de cette formule.

invite3c68aec2 · 20/06/2009, 02h31

Je n'ai pas expliqué ce qu'est le temps propre car c'est un peu compliqué mais tu peux le voir comme :
- le temps comme il s'écoule pour l'objet.
- un simple paramètre qui permet de paramètrer une trajectoire dans l'espace temps : en effet en méca classique ce paramètre est le temps car il ne varie pas avec le mouvement. En relativité restreinte le temps est une position comme une autre. On est donc obligé de prendre un autre paramètre pour décrire une trajectoire dans l'espace temps. Comme on peut choisir ce paramètre un peu comme on veut, pour qu'il soit défini d'une seule manière on impose à la vitesse d'être constante et normalisée (parce que avoir une vitesse constante et invariante par changement de référentiel c'est cool

). On se rend alors compte qu'ainsi définit ce paramètre est le temps comme il s'écoule pour l'objet

inviteaa0ade65 · 20/06/2009, 07h42

Envoyé par Simontheb

Mais je n'ai jamais trouvé la démonstration de cette relation. Alors ma question est: existe-t-il une démonstration simple de l'équation:
E = gamma mc² ?

Une possibilité qui repose bien sûr comme toute théorie physique sur quelques postulats. Il faut bien sûr définir ce que l'on appelle énergie. Pour moi l'énegie relativiste est la quantité qui vérife le même type d'équation que l'énergie classique, par exemple le théorème de la puissance mécanique.

Le principe fondamental de la dynamique, en relativité garde la même forme qu'en mécanique classique à condition de poser $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$

Comme en mécanique classique multiplions membre à membre scalairement cette relation par $\text{[math]}$ , pour établir le théorème de la puissance mécanique. Il vient
$\text{[math]}$ en notant $\text{[math]}$ la puissance des forces non conservative et $\text{[math]}$ l'énergie potentielle associée aux forces conservatives.

Mais en dérivant le carré de la pseudo-norme du quadri-vecteur quantité de mouvement $\text{[math]}$ par rapport au temps il vient
$\text{[math]}$ , soit en explicitant $\text{[math]}$ . On en déduit donc
$\text{[math]}$ .

Dès lors le théorème de la puissance mécanique donne
$\text{[math]}$

La forme en mécanique classique étant
$\text{[math]}$ on est donc amené à définir l'énergie du point matériel par
$\text{[math]}$

Je pense que cette démonstration te sera accessible d'après ce que tu dis connaître. Bon courage

Cordialement

invite6754323456711 · 20/06/2009, 10h01

Envoyé par Simontheb

De plus, trouver l'énergie d'une particule au repos ne pourra pas beaucoup me renseigner, à priori, sur la formulation de son énergie totale...

Relis ce qui est proposé par mach3. L'énergie acquise par la masse m de l'état initiale de repos à l'état final est égale au travail de la force.
...
On a donc $\text{[math]}$ , qui se trouve après quelques lignes de calcul être $\text{[math]}$

Pour l'énergie totale il faut s'intéresser à la norme du quadivecteur énergie-impulsion.

Une démarche plus rigoureuse présentant les concepts peut être trouvé dans ce cours http://www.phys.ens.fr/cours/notes-d...relativite.pdf paragraphe 3.2

Patrick

**ordage** · 20/06/2009, 10h56

Envoyé par Simontheb

Tout est dans le titre... Lycéen de première S, je m'intéresse beaucoup à la relativité restreinte (la base m'est mathématiquement accessible), et lorsqu'on définit le quadrivecteur énergie-impulsion d'un mobile, sa composante temporelle est égale à: gamma mc.

Et les explications que j'ai lues à ce sujet affirment que cette valeur est égale à l'énergie totale de la particule, divisée par c. Cela permet d'établir des équations fondamentales, et de définir l'énergie cinétique, l'impulsion en fonction de v et E, etc etc...

....

Salut

Puisque tu connais le 4-vecteur énergie impulsion p de composantes p^µ d'une particule, la mesure de l'énergie de la particule par un observateur de 4-vecteur vitesse de composantes U^µ vaut simplement: E = (p_µ)(U^µ)

C'est le produit scalaire en relativité (en RR et RG) des deux vecteurs. (on projette le 4-vecteur énergie impulsion sur le référentiel de l'observateur qui mesure l'énergie, puisque c'est dans ce référentiel que s'effectue la mesure). Du pur calcul vectoriel.
Le reste n'est plus que de l'application de ce calcul....

**Seirios** · 20/06/2009, 13h28

Envoyé par Simontheb

Ah bon? Avec m et v la masse et la vitesse classique?

En fait pas du tout, je ne sais pas à quoi je devais penser, mais l'énergie est bien $\text{[math]}$ ...

Arf, les développements limités, ça se fait en prépa ça... Et je ne suis pas sûr que passer par une approximation "classique" soit un élément de démonstration.

Le développement limité que l'on utilise ici est : si $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ la dérivée n-ème de la fonction f et $\text{[math]}$ le factoriel de n. Mais en pratique, en physique, l'on va jusqu'à n=2 ou n=3, rarement plus. Dans notre cas, on pose x=v/c, x est proche de zéro lorsque v est très faible devant c, c'est-à-dire dans le cas classique.
L'approximation permet alors d'établir un parallèle avec la mécanique classique, ce qui est très important pour la compatibilité entre mécanique classique et relativité restreinte.

invite60be3959 · 20/06/2009, 16h13

Envoyé par Simontheb

Alors ma question est: existe-t-il une démonstration simple de l'équation:
E = gamma mc² ?

Bonjour,

Il me semble que les explications qui t'ont été donné ici supposent d'emblée l'existence du facteur $\text{[math]}$ , comme dans l'impulsion par exemple avec $\text{[math]}$ . Si tu désires vraiment savoir d'où vient ce fameux facteur $\text{[math]}$ à la base, tu vas être obligé de comprendre la déduction des transformations de Lorentz.

Avant tout tu dois connaître les transformations de Galilée (que tu connais surement déjà) qui sont très simples et intuitives puisqu'elles font appel à la notion de vitesse absolue et relative. Dans ces transformations le temps est supposé absolue quelque soit le référentiel. Ces transformations linéaires sont un cas particulier des transformations de Lorentz(également linéaires) lorsque la vitesse de la lumière est supposée infinie.
Ensuite tu t'attaques aux transformations de Lorentz en allant par exemple voir sur wiki : http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_de_Lorentz
Passes directement au paragraphe "La méthode géométrique" qui est la déduction à ta portée et qui est très pédagogique pour une 1ère approche (surtout pour un élève de 1ère !).
La principale différence ici est que l'on postule que la vitesse de la lumière est finie et qu'elle est la même quelque soit le référentiel (il n'y a pas de notion de vitesse relative pour la lumière). Et ça change tout ! C'est là que l'on voit apparaître le facteur $\text{[math]}$ .

Cela fait tu verras pourquoi $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est le temps de la particule ou l'objet en mouvement. Tu vas voir alors ici http://fr.wikipedia.org/wiki/Relativit%C3%A9_restreinte au paragraphe "le quadri-vecteur vitesse" qui permet de définir le quadri-vecteur impulsion (ou quantité de mouvement) de la même façon qu'en physique classique. La composante "temporelle" de ce quadri-vecteur n'est autre que l'energie divisée par c et tu obtiens finalement la relation $\text{[math]}$ .

Je sais que c'est un peu long, mais avec un peu de courage tu auras compris d'où vient cette formule et qu'est-ce qu'elle implique (énergie au repos différente de zéro, équivalence masse énergie, etc...)

**Seirios** · 20/06/2009, 16h38

Une autre manière d'aborder les transformations de Lorentz-Poincaré, que je trouve plus intéressante mais qui est également plus complexe, est de considérer l'invariance des équations de Maxwell par changement de référentiel galiléen ; même si l'on ne comprend pas les détails, il est intéressant de comprendre la démarche de manière qualitative.

invite5a685214 · 20/06/2009, 17h39

Déjà, merci à vous tous pour vos réponses.

Mythe: Le raisonnement que tu résumes, je l'avais à peu près compris. Là où ça coince, c'est sur cette phrase:

Envoyé par Mythe

Et c'est ainsi qu'apparait le terme gamma*m*c homogène à E/c.

Qu'est ce qui te permet de dire que gamma*m*c est homogène à E/c? C'est précisément ça que je cherche à savoir.

Cerfa: Après quelques recherches sur le théorème de la puissance mécanique et sur le concept de force conservatrice (pas vus en 1ère), ta démonstration me parait simple et élégante. Mais il y a deux choses que je ne comprend pas:

Envoyé par Cerfa

le carré de la pseudo-norme du quadri-vecteur quantité de mouvement $||4-p||^2=m^2c^2$

Que représente le 4? La composante temporelle du 4-vecteur énergie impulsion, c'est bien ça? Donc on peut remplacer 4 par gamma mc?

Envoyé par Cerfa

$\text{[math]}$ , soit en explicitant $-\vec{p}.\frac{d(\vec{p})}{dt}+ \gamma mc\frac{d(\gamma mc)}{dt}=0$

Comment passe-tu de $\text{[math]}$ à $-\vec{p}.\frac{d(\vec{p})}{dt}+ \gamma mc\frac{d(\gamma mc)}{dt}=0$ ? Je n'arrive pas à retrouver la deuxième expression à partir de la première.

ù100fil: Malheureusement, la démonstration que tu me proposes fait largement appel au calcul avec des intégrales, ce que je n'ai pas du tout vu pour l'instant. Je n'ai pas encore le niveau pour ça. De plus, Mach3 ne dit pas comment on peut montrer que $\gamma v dv = -c^2 d\frac{1}{\gamma}$ .

Ordage: Je ne trouve pas tes explications très claires... Que représente µ ?

Phys2: D'accord pour le rapprochement avec la physique classique. C'est d'ailleurs par un développement limité qu'Enstein met en évidence E=mc² dans son livre de vulgarisation, il me semble. Pour ma part, j'espère voir tout ça plus tard, de même que les équations de Maxwell qui vont me passer bien au dessus de la tête. Il est cependant logique que les équations de Maxwell restent invariante par changement de référentiel inertiel, puisqu'elles concernent les ondes électromagnétiques... c'est bien ça?

Vaincent: J'examinerai avec attention ton lien sur la démonstration des transformations de lorentz, j'espère ne pas être largué.
J'avais déjà visité plusieurs fois le paragraphe à propos du 4-vecteur vitesse et énergie impulsion, dans l'article "Relativité Restreinte". Le temps propre, je l'avais déjà abordé avec l'intervalle d'espace-temps et les lignes d'univers de genre temps.

Envoyé par Vaincent

La composante "temporelle" de ce quadri-vecteur n'est autre que l'energie divisée par c

D'accord, mais pourquoi? C'est ça que je cherche à savoir. C'est la démonstration de cette affirmation.

**Seirios** · 20/06/2009, 18h08

Envoyé par Simontheb

Mythe: Le raisonnement que tu résumes, je l'avais à peu près compris. Là où ça coince, c'est sur cette phrase:
Qu'est ce qui te permet de dire que gamma*m*c est homogène à E/c? C'est précisément ça que je cherche à savoir.

Dire que $\text{[math]}$ est homogène à E/c veut simplement dire que l'unité de ses deux expressions est identique, donc il suffit d'effectuer une analyse dimensionnelle.

Cerfa: Après quelques recherches sur le théorème de la puissance mécanique et sur le concept de force conservatrice (pas vus en 1ère), ta démonstration me parait simple et élégante. Mais il y a deux choses que je ne comprend pas:
Que représente le 4? La composante temporelle du 4-vecteur énergie impulsion, c'est bien ça? Donc on peut remplacer 4 par gamma mc?

4-p est la notation du quadrivecteur énergie-impulsion ; donc $\text{[math]}$ est la pseudo-norme de ce quadrivecteur.

Pour ma part, j'espère voir tout ça plus tard, de même que les équations de Maxwell qui vont me passer bien au dessus de la tête. Il est cependant logique que les équations de Maxwell restent invariante par changement de référentiel inertiel, puisqu'elles concernent les ondes électromagnétiques... c'est bien ça?

Tout à fait, les équations de Maxwell régissent les phénomènes électromagnétiques.

**Seirios** · 20/06/2009, 18h17

Envoyé par Simontheb

Comment passe-tu de $\text{[math]}$ à $-\vec{p}.\frac{d(\vec{p})}{dt}+ \gamma mc\frac{d(\gamma mc)}{dt}=0$ ? Je n'arrive pas à retrouver la deuxième expression à partir de la première.

Le quadrivecteur énergie-quantité de mouvement peut s'écrire : $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$ . On a donc dans la métrique de Minkowski, de signature ---+, le produit scalaire $\text{[math]}$ .

En effet, dans une géométrie euclidienne, le produit scalaire se calcule par $\text{[math]}$ , mais en relativité restreinte, on a dans le formalisme quadrivectoriel : $\text{[math]}$ .

**Seirios** · 20/06/2009, 18h28

Envoyé par Simontheb

De plus, Mach3 ne dit pas comment on peut montrer que $\gamma v dv = -c^2 d\frac{1}{\gamma}$ .

On a $\text{[math]}$ , d'où la relation.

Si tu as des questions sur le calcul, n'hésite pas.

Ordage: Je ne trouve pas tes explications très claires... Que représente µ ?

µ est un indice ; lorsque que l'on a un vecteur $\text{[math]}$ , on écrit de manière générale $\text{[math]}$ une des composantes du vecteur.

Désolé pour les trois postes de suite...

inviteaa0ade65 · 20/06/2009, 20h49

Envoyé par Simontheb

Déjà, merci à vous tous pour vos réponses.

Cerfa: Après quelques recherches sur le théorème de la puissance mécanique et sur le concept de force conservatrice (pas vus en 1ère), ta démonstration me parait simple et élégante.

C'était le but recherché

Mais il y a deux choses que je ne comprend pas:
Que représente le 4? La composante temporelle du 4-vecteur énergie impulsion, c'est bien ça? Donc on peut remplacer 4 par gamma mc?
Comment passe-tu de $\text{[math]}$ à $-\vec{p}.\frac{d(\vec{p})}{dt}+ \gamma mc\frac{d(\gamma mc)}{dt}=0$ ? Je n'arrive pas à retrouver la deuxième expression à partir de la première.

Cool

, je n'ai même pas besoin de répondre moi-même Phys2 s'en est chargé !

J'ai utilisé le formalisme avec les quadri-vecteur parce que tu en parlais dans le post initial alors je pensais que cela ne te poserait pas de problème.

Cordialement

invite5a685214 · 20/06/2009, 20h51

Envoyé par Phys2

Désolé pour les trois postes de suite...

Au contraire, merci pour tes réponses détaillées.

Envoyé par Phys2

Dire que est homogène à E/c veut simplement dire que l'unité de ses deux expressions est identique

Ah d'accord, au temps pour moi.

Envoyé par Phys2

4-p est la notation du quadrivecteur énergie-impulsion ; donc est la pseudo-norme de ce quadrivecteur.

Ah ok! Je pensais que le tiret était une soustraction, d'où méprise.
La relation est évidente grâce à tes explications à propos du produit scalaire.

Envoyé par Phys2

On a $d \left( \frac{1}{\gamma} \right)= d \left( \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2} } \right) = \frac{- \frac{2v}{c^2} dv}{2 \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}=- \frac{ \gamma}{c^2}v dv$ , d'où la relation.

En effet. Mais je me rend compte d'un truc: est-ce que E(v) ne serait pas égale à $\text{[math]}$ , plutôt qu'à $\gamma m v + \frac{1}{\gamma}mc^2$ ?

**Seirios** · 20/06/2009, 21h46

L'expression $\text{[math]}$ n'a d'ailleurs aucun sens, puisque non homogène.

invite60be3959 · 21/06/2009, 06h38

Envoyé par Simontheb

D'accord, mais pourquoi? C'est ça que je cherche à savoir. C'est la démonstration de cette affirmation.

On est dans l'espace-temps c-à-d un espace à 4 dimensions (une de temps et 3 d'espace). Le vecteur position d'une particule (ou du centre d'inertie d'un objet) est donc à 4 dimensions. Naturellement un vecteur vitesse dans cette espace sera également doté de 4 dimensions (le quadri-vecteur vitesse $\text{[math]}$ ). En se basant sur la physique classique on pose par analogie pour la quantité de mouvement dans l'espace-temps :

$\text{[math]}$

(un quadri-vecteur est noté en gras, alors que m est un nombre)

La composante temporelle de ce quadri-vecteur est égale à $\text{[math]}$ . Au départ on ne sait pas trop ce que cela représente, mais en la multipliant par c on constate qu'elle a la dimension d'une énergie. Par comparaison avec la physique classique encore une fois, on remarque que lorsque v<<c cette composante vaut :

$\text{[math]}$

Le 2ème terme est l'énergie cinétique habituelle et on découvre un nouveau terme mc² qui n'a pas d'équivalent classique. On la définie comme l'énergie au repos car la composante temporelle du quadri-vecteur impulsion (ou quantité de mouvement) est précisément égale à mc² lorsque v=0. On en conclue que cette composante temporelle représente l'énergie de la particule (sans tenir compte d'éventuelles énergies potentielles).

Il n'y a donc pas de démonstration rigoureuse de la nature de ce terme mais une constatation par analogie avec la physique classique.

invite5a685214 · 21/06/2009, 14h05

Je vois. Merci à tous, je pense être comblé par vos réponses.

Démonstration de la relation E = gamma mc²

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