Principe de relativité de Galilée et fonction de Lagrange

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai parcouru le début du cours de Landau en mécanique, et l'auteur se propose de déterminer la forme du lagrangien d'une particule libre grâce au principe de relativité de Galilée. Pour cela, il introduit le lagrangien de la particule dans un premier repère galiléen (il a été démontré précédemment que ne dépendant que de la norme de la vitesse), puis le lagrangien de la même particule dans un second repère galiléen en translation rectiligne uniforme par rapport au premier, avec une vitesse infinitésimale .

L'on a alors , puis l'auteur écrit alors . Mais pour cela, il a dû négliger "les infiniment petits d'ordre supérieur".

Ma première question est donc de savoir si cette négligence n'est pas trop arbitraire ?

Ensuite, d'après le principe de relativité de Galilée, les deux lagrangiens ne doivent se différencier que d'une dérivée totale par rapport au temps d'une fonction. sera alors cette dérivée si l'expression est fonction linéaire de la vitesse .

Ma deuxième interrogation vient sur le caractère linéaire de la fonction ; est-ce la seule solution ?

Sinon je suis d'accord que la solution fonctionne, car alors est une constante et , avec a un coefficient de proportionnalité ; puis l'on retrouve l'invariance pour des référentiels galiléens avec une vitesse quelconque .

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer sur mes deux interrogations ?

Merci d'avance
Phys2
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[Seirios]

Vraiment personne ?

[invite8d75205f]

bonjour,
pour ce qui est des infiniments petits, epsilon a été justement choisi pour être ausi petit qu'on le veut. epsilon^2 est d'autant plus inférieur à epsilon que celui-ci est petit. On peut donc négliger les "infiniments petits d'ordre supérieur". C'est l'idée de base du calcul différentiel.

Pour ta 2ème question, si l'expression dont tu parles est fct linéaire de la vitesse, alors c'est une dérivée totale du temps, puisque la vitesse l'est. Si cette expression n'est pas fonction linéaire de la vitesse, peut-elle être quand même une dérivée totale par rapport à t?
Bonne question...Je vais essayer de trouver la réponse.

cordialement

PS: une question bête : où trouves-tu les beaux symboles mathématiques que tu emploies ? (je ne suis pas très doué en info)

[Seirios]

pour ce qui est des infiniments petits, epsilon a été justement choisi pour être ausi petit qu'on le veut. epsilon^2 est d'autant plus inférieur à epsilon que celui-ci est petit. On peut donc négliger les "infiniments petits d'ordre supérieur". C'est l'idée de base du calcul différentiel.

Et cela convient même en mathématiques ? Pour moi, dès qu'il y a négligeance d'un terme, il y a toujours approximation et un à la place du signe égal.

Si cette expression n'est pas fonction linéaire de la vitesse, peut-elle être quand même une dérivée totale par rapport à t?
Bonne question...Je vais essayer de trouver la réponse.

Merci de prendre ce temps

PS: une question bête : où trouves-tu les beaux symboles mathématiques que tu emploies ? (je ne suis pas très doué en info)

Tu peux regarder ici et ce pdf.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5e5dd00d]

Pour le signe "à peu près égal", tu as raison. Cela me surprend que Landau utilise une égalité stricte (à part s'il y a des pointillés à la fin du développement). Je ne reviens pas là dessus, Landau néglige les termes d'ordre supérieur, il en a le droit.

Le vecteur vitesse est une dérivée totale par rapport au temps (du vecteur position...). Rappel : on a aussi le produit scalaire qui se dérive comme un produit classique. Donc le produit scalaire est une dérivée totale par rapport au temps (epsilon ne dépend pas du temps).

Reste le problème de la dérivée partielle du lagrangien en v². On a "montré" (ou supposé, je n'ai pas le Landau) que le lagrangien ne dépendait que de v². S'il n'est pas en plus linéaire en v², alors sa dérivée partielle en fonction de v² n'est pas constante et dépend de v², et alors le terme global (avec le produit scalaire) n'est surement plus linéaire en v... Problème car un terme non linéaire en v n'est pas une dérivée totale du temps... enfin je crois pas, j'ai essayé quelques exemples, rien ne marche

Donc le lagrangien doit être lui linéaire en v². Je crois que c'est ça la logique que Landau emploie...
Ca demande confirmation =)

[invite8ef897e4]

Et cela convient même en mathématiques ? Pour moi, dès qu'il y a négligeance d'un terme, il y a toujours approximation et un à la place du signe égal.

Ce genre de raisonnement a ete justifie rigoureusement par l'analyse non-standard. Si tu etudies les limites en topologie, tu verras que l'on fait toujours les memes constructions avec des voisinages et des infiniement petit ou grand. Cela revient a redefinir le signe egal. Ce n'est pas trivial sur la forme, mais sur le fond l'analyse non-standard n'est qu'un reformulation, une sorte de court-circuit et je crois n'a jamais vraiment laisse d'impression formidable parmi les mathematiciens.

Pour repondre a la seconde question, oui c'est la seule solution que l'on puisse obtenir ainsi, a une constante pres, c'est simplement un developement de Taylor, et Landau a deja discute du fait que le langrangien ne pouvait en principe que dependre des positions et de leur premiere derivee temporelle. La methode n'exclue pas qu'il existe d'autres solutions que je qualifierais de "non-perturbatives".

[invite8d75205f]

bonjour,
phys2: merci pour les liens LaTeX

Sigmar: d'accord pour le "à peu près égal" (je ne l'ai pas trouvé dans latex!!) entre les deux expressions du Lagrangien, mais par habitude les "approximations au premier ordre" (ultra courantes en physique) s'écrivent avec le signe =.

Phys2: pour ce qui est de la dépendance linéaire de

en fonction de v, c'est finalement tout simple : il suffit d'utiliser un théorème bien connu (mais vite oublié !) sur les différentielle totale exactes :

"pour que soit une différentielle totale exacte il faut et il suffit que P et Q vérifient la relation : "

Pour que l'expression ci-dessus soit une dérivée totale d'une fct de la position et du temps, alors sa dépendance linéaire en v est obligatoire si l'on veut respecter la condition invoquée. En effet, si elle est une fonction plus compliquée, alors on peut la développer en série suivant les puissances de v : apparaîtrons alors des termes en , , etc... qui ne peuvent être des dérivées totales de fcts de la position et du temps (tu peux le vérifier par toi-même)

cordialement

[Seirios]

Merci à vous trois pour vos réponses !

d'accord pour le "à peu près égal" (je ne l'ai pas trouvé dans latex!!)

\approx pour , et \simeq pour

Phys2: pour ce qui est de la dépendance linéaire de

en fonction de v, c'est finalement tout simple : il suffit d'utiliser un théorème bien connu (mais vite oublié !) sur les différentielle totale exactes :

"pour que soit une différentielle totale exacte il faut et il suffit que P et Q vérifient la relation : "

Dans ce cas, nous pouvons peut-être raisonner ainsi :

On a , d'où l'expression comme dérivée totale par rapport au temps si et seulement si . Comme est arbitraire, l'on doit également avoir la condition , d'où par soustraction des deux contraintes : ; on peut également trouver : . On a donc qui est une constante.

Cela reste-t-il correcte ?

[invite8d75205f]

merci pour le .

Je ne vois pas d'où tu tires ta 2ème condition (celle qui découle du fait que est arbitraire).
De plus la conclusion de tes calculs signifie seulement que ne dépend ni de x ni de y mais pourrait être une fonction de v et donc ne pas être une constante.

Ce qu'il faut faire c'est considérer les différentes puissances de v comme des dérivées d'une fonction du temps et montrer que cette dérivée ne satisfait la condition évoquée dans mon précédent message que pour v (c'est-à-dire ni pour , ni pour , ...)

cordialement

[Seirios]

De plus la conclusion de tes calculs signifie seulement que ne dépend ni de x ni de y mais pourrait être une fonction de v et donc ne pas être une constante.

Faisons comme si je n'avais rien dit

Ce que je ne comprends pas, c'est cet argument :

En effet, si elle est une fonction plus compliquée, alors on peut la développer en série suivant les puissances de v : apparaîtrons alors des termes en , , etc... qui ne peuvent être des dérivées totales de fcts de la position et du temps (tu peux le vérifier par toi-même)

Par exemple, en prenant le cas le plus simple, pourquoi ne pourrait-il pas être la dérivée totale par rapport au temps d'uen fonction ?

[invite8d75205f]

Bonsoir,

[QUOTE=Phys2;2437801]Faisons comme si je n'avais rien dit

De quoi veux-tu parler?

Bon, je te donne la solution pour montrer que est bien une dérivée totale d'une fonction de la position et du temps (ce qui est évident par ailleurs, puisque c'est la définition de ) et je te laisse montrer que ce n'est pas le cas pour ni pour les puissances supérieures de .

Tu te souviens de la condition : est la dérivée totale par rapport au temps de la fonction f(q,t) ssi
avec une notation plus adaptée à notre problème et où est la dérivée partielle de f par rapport à t.

Essayons avec

On en déduis donc avec par identification :
et
D'où :

Les dérivées partielles croisées sont égales : cqfd

cordialement

PS : dis, tu ne connaîtrais pas le moyen pour faire des copiés-collés sur FS ? LaTeX c'est beau mais c'est long !

[Seirios]

Bon, je te donne la solution pour montrer que est bien une dérivée totale d'une fonction de la position et du temps (ce qui est évident par ailleurs, puisque c'est la définition de ) et je te laisse montrer que ce n'est pas le cas pour ni pour les puissances supérieures de .

Tu te souviens de la condition : est la dérivée totale par rapport au temps de la fonction f(q,t) ssi
avec une notation plus adaptée à notre problème et où est la dérivée partielle de f par rapport à t.

Essayons avec

On en déduis donc avec par identification :
et
D'où :

Les dérivées partielles croisées sont égales : cqfd

D'accord, tu m'as convaincu.

PS : dis, tu ne connaîtrais pas le moyen pour faire des copiés-collés sur FS ? LaTeX c'est beau mais c'est long !

On ne peut pas tout avoir Tu verras, avec la pratique, écrire en LaTeX devient très rapide.