résolution de l'équation de poisson avec un terme source gaussien

[invitef616531d]

Bonjour à tous,
J'aimerais savoir s'il existe une solution analytique pas trop tordue au problème de poisson (en coordonnees cylindriques) :

laplacien (P (r , teta, z ) ) = exp(-r^2) * exp (-z^2)

Je ne parviens pas à résoudre l'EDP comme ça. J'ai vu que des méthodes répandues consistent à passer par la fonction de green en coordonnées cylindriques, mais je n'ai trouvé aucun exemple où on applique cette méthode pour arriver à une expression concrètement utilisable pour faire des simulations numériques par exemple.

Bonne journée.
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[invite2d9f8ffe]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonctio...ur_avanc.C3.A9

[invitea29d1598]

salut,

tu devrais regarder du côté des fonctions de Bessel qui sont celles qui interviennent pour Laplace en géométrie cylindrique.

[invitef616531d]

Merci de répondre aussi rapidement.

J'avais été voir du côté des fonctions de Bessel, qui interviennent dans une fonction de green en coordonnées cylindriques, par exemple celle proposée ici, en bas de l'article :

http://en.wikipedia.org/wiki/Green's_function_for_the_three-variable_Laplace_equation

Je dois convoluer cette fonction avec une gaussienne en r et z, mais le calcul me paraît horrible, je ne suis pas sûr de savoir manipuler cette méthode. Le calcul est-il simplifiable, exprimable avec des fonctions plus simples que des triples ou doubles intégrales sur des fonctions de Bessel ?

Mon espoir est de pouvoir ensuite dériver le potentiel obtenu pour trouver la force qui en résulte.

(J'ai l'espoir que ce problème soit connu de certains car la densité gaussienne me semble être un cas d'école. En symétrie sphérique je l'ai fait et ce n'est pas compliqué. Peut-être que le cas cylindrique est plus complexe....)

[A voir en vidéo sur Futura]