Mais où est passée la quantité de mouvement ?

[invitef5baef61]

On considère une bobine de masse négligeable, sur laquelle est enroulée une chaîne de masse M. La bobine roule sur une surface plane et horizontale, déroulant ainsi la chaîne qui, au fur et à mesure de l'avancement de la bobine, se retrouve déposée sur la surface.

Partons d'une vitesse linéaire initiale Vo de la bobine. La bobine possède une quantité de mouvement et un moment cinétique.

On sait qu'un point à la surface de la bobine va décrire une
cycloïde. A la position du point de contact bobine/surface où elle roule, le point de la bobine tangentiel à la surface possède une vitesse nulle par rapport à cette surface.
Donc chaque petite section de chaîne est déposée sur la surface au moment où elle a une vitesse nulle par rapport à cette surface : il n'y a donc pas transmission de quantité de mouvement de la chaîne vers la surface.

Quand la chaîne est totalement déposée sur la surface, où sont passés les quantité de mouvement et moment cinétique censés se conserver ?

Ca doit être trop gros pour que je le vois

A noter que gravité et frottements peuvent être supposés aussi petits
que l'on veut.
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[invite0ab6bca5]

Bonsoir,

C'est seulement en l'absence de force que la quantité de mouvement se conserve, et en l'absence de "moment des forces extérieures" que se conserve le moment cinétique.
Ici, quand le déroulement de la chaîne est terminé :
- si vraiment il n'y a ni force ni couple de frottement, on peut imaginer que la chaîne va se ré-enrouler sur la bobine ...(difficile à se représenter, car contraire à l'expérience quotidienne);
- d'une façon plus figurative, lorsque la chaîne est entièrement déroulée, les forces de frottement entre la chaîne et la table se mettent à intervenir pour résister à la continuation du mouvement.

Bonne fin de journée

[invite6dffde4c]

Bonjour.
L'énergie et la quantité de mouvement se conservent, mais pas le moment cinétique. À mesure que la bobine se vide elle est accélérée car l'énergie se conserve alors que la masse en mouvement diminue.
À la fin, c'est le rouleau vide qui a hérité de la quantité de mouvement et de l'énergie.
C'est ainsi que l'on déroule le tapis rouge: on donne une impulsion au rouleau et le rouleau continue à avancer en se déroulant malgré les pertes d'énergie dans le déroulement du tapis.
Au revoir.

[invité576543]

A noter que gravité et frottements peuvent être supposés aussi petits
que l'on veut.

Faut bien une force qui maintienne la chaîne déroulée en position fixe par rapport à la surface (suffit de regarder le mouvement du centre de masse de la chaîne, est-il uniforme par rapport à la surface?). C'est soit les frottements, soit le point d'accrochage du bout initial de la chaîne.

Dans les deux cas il y a moyen d'échanger quantité de mouvement et moment cinétique entre la chaîne et le support.

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6dffde4c]

Bonjour Michel.
Non. Rien n'oblige à ce que la chaîne soit tenue. Elle est déposée à vitesse zéro (verticale et horizontale) par le déroulement du rouleau.
Même si la friction était nulle, mais à condition que le rouleau commence à rouler sans glisser, il continuera à s'accélérer. En fait, le rouleau se comporte comme une fusée qui "expulse" de la masse vers l'arrière. Il suffit de le regarder d'un repère lié au rouleau.
Cordialement,

[invitee0b658bd]

bonsoir,
si le rouleau à une masse nulle, il termine à une vitesse infinie
fred

[invité576543]

Bonjour Michel.
Non. Rien n'oblige à ce que la chaîne soit tenue.

Si tu le dis...

Quelle est l'équation horaire du centre de masse de la chaîne? (Je préfère le référentiel du centre de masse au référentiel du rouleau...)

Cordialement,

[invité576543]

Prenons le problème autrement.

On se met dans le vide suffisamment loin de tout, le rouleau en chute libre, sans rotation par rapport aux astres lointains.

On met un pichenette là où il faut pour le dérouler, puis on ne touche plus à rien.

Il faudrait accepter que le rouleau va gentiment se dérouler et ce de manière à ce que la partie déroulée devienne bien plate ou droite, et ne change pas d'orientation par rapport aux astres lointains? Par quel miracle?

J'ai des doutes. Et si ces doutes sont confirmés, alors le mouvement sur le support est ce qu'il est (i.e., différent du cas de chute libre) parce qu'il y a des forces en jeu autres qu'interne au rouleau, et l'existence même de ces forces permet (ou plus exactement sont) des échanges de quantité de mouvement et de moment cinétique.

Cordialement,

[invitee0b658bd]

bonsoir,
il y a une condition qui est celle de roulement sans glissement
et surement une hypothèse non specifiée quand a la reaction de la table sur le rouleau.
dans ce cas ci, la condition de non glissement n'impose t'elle pas un frottement ?
fred

[invitee0b658bd]

bonsoir,
cela me turlupine un peu
si on reprend l'exemple du rouleau de tapis, quand il se deroule, le centre de gravité de l'ensemble baisse puisque le diametre diminue.
on a donc aussi l'energie potentielle mgh qui doit passer quelque part.
la par contre je ne suis vraiment pas sur de moi, peut on considerer que le fait d'assimiler inplicitement le rouleau à un cylindre est une hypothèse valide ?
dans un tel cas, le centre de gravité du rouleau n'est t'il pas sytèmatiquement devant le point de contact ?
ceci creant un couple faisant tourner le rouleau

bref je ne suis pas sur que cet exercice soit si trivial que cela
fred

[invitee0b658bd]

pour preciser un peu, le rouleau n'est il pas assimilable à une spirale et la tangente à la spirale ne doit pas être perpendiculaire à la ligne reliant le point de contact et le centre de gravité
fred

[invite6dffde4c]

bonsoir,
si le rouleau à une masse nulle, il termine à une vitesse infinie
fred

Re.
Pas tout à fait.
Le dernier morceau de la chaîne va taper violemment sur le sol car ce sera lui qui aura hérité de toute l'énergie initiale.
Revivez dans votre tête le déroulement d'un tapis. Le dernier morceau tape, alors même qu'une bonne partie de l'énergie est partie en cours de déroulement dans le "dépliage" du tapis.
A+

[invite6dffde4c]

Re.
On ne peut pas se mettre dans l'espace car le moteur du déroulement du tapis est la perte d'énergie potentielle, comme l'a bien dit Verdifre dans le post #10. Et il a aussi raison en ce que le centre de gravite du rouleau se trouve un peut en avant du point de contact au sol.

Mais j'ai peut-être parle trop vite en disant que la friction n'était pas nécessaire. Je pense que sans friction du tout, la chaîne glisserait vers l'arrière.

J'arrête pour aujourd'hui.
A+

[invitef5baef61]

Bonjour Michel.
Non. Rien n'oblige à ce que la chaîne soit tenue. Elle est déposée à vitesse zéro (verticale et horizontale) par le déroulement du rouleau.

je suis d'accord.

Même si la friction était nulle, mais à condition que le rouleau commence à rouler sans glisser, il continuera à s'accélérer. En fait, le rouleau se comporte comme une fusée qui "expulse" de la masse vers l'arrière. Il suffit de le regarder d'un repère lié au rouleau.
Cordialement,

Le rouleau donne l'impression d'expulser, mais en fait il "laisse" la chaîne se déposer : il n'y a pas de force avec une composante horizontale. Donc je ne pense pas qu'il accélèrera.
Même s'il accélère, on a supposé la bobine de masse négligeable, donc ce n'est pas la bobine qui pourra emporter au final, la quantité de mouvement du départ. D'ailleurs il peut ne pas y avoir du tout de bobine, il suffit de supposer la chaine enroulée sur elle-même et le problème reste le même.

[invitef5baef61]

bonsoir,
il y a une condition qui est celle de roulement sans glissement
et surement une hypothèse non specifiée quand a la reaction de la table sur le rouleau.
dans ce cas ci, la condition de non glissement n'impose t'elle pas un frottement ?
fred

Formellement oui.
Mais en fait si l'on fait tourner le rouleau sur lui-même (initialisation du mouvement circulaire) puis si on le lance sur une patinoire (pas de frottement) en lui faisant acquérir la même vitesse linéaire qu'il aurait s'il roulait, on ne pourrait pas distinguer ce cas sans frottement du cas avec frottement.

On peut aussi supposer 0 frottement, et fixer le bout de la chaîne au point de départ. Tout se passera de la même façon qu'avec frottement. La question qui restera à voir, c'est si le mouvement du rouleau provoquera ou pas une force de tension sur la chaîne, auquel cas avec ou sans frottement ne donneront pas le même résultat. Mais je ne le crois pas.

[invitef5baef61]

bonsoir,
cela me turlupine un peu
si on reprend l'exemple du rouleau de tapis, quand il se deroule, le centre de gravité de l'ensemble baisse puisque le diametre diminue.
on a donc aussi l'energie potentielle mgh qui doit passer quelque part.

Je dirais qu'à priori, on n'est pas obligé d'en tenir compte, l'expérience pouvant se passer de gravité, ou être effectuée dans une gravité très faible, juste pour maintenir les conditions du roulement, et avec de très grandes vitesses linéaires et angulaires de sorte que mgh serait négligeable par rapport à l'énergie cinétique.

[invitee0b658bd]

bonsoir,
si on considere un maillon de chaine en train de tourner sur le rouleau (la bobine ou je sais pas quel nom) ce maillon est soumis à une acceleration, cette acceleration, la maillon n'étant de pa masse nulle, va creer une force. Les seules forces capable de garder ce maillon en place ( dans le referentiel de la bobine) vont être exercées par les maillons voisins.
je crois que l'on peut donc affirmer, que du fait de la rotation, la chaine est tendue.
si maintenant on s'interesse au maillon qui va se poser sur le sol, lui aussi est soumis à 3 forces
( je ne suis pas vraiment à l'aise avec le changement de repere qu'il faudrait faire à ce niveau)
mais je pense que cette tension va aussi se transmettre sur la partie de chaine immobile sur le sol
ceci doit impliquer un frottement au sol (sinon la chaine se deroulerait à cause de la force centrifuge et se retrouverait un peu en vrac)
fred

[invitee0b658bd]

re,
la bobine serait donc soumise à 3 forces, son poid, la reaction et la tension de la chaine
savoir si la tension de la chaine va travailler ne me semble pas évident à priori, il faudrait que j'y reflechisse à tête reposée (et au frais) mais je crois que oui quand même
fred

[invitee0b658bd]

re, re
je crois qu'en fin de compte, le probleme, c'est de savoir quoi étudier
si on étudie la chaine dans son ensemble, un maillon de la chaine , la chaine deroulée et la chaine encore enroulée. Je crois que la plus grosse difficultée se situe à ce niveau.
fred

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Bon, je pense qu'il est bon temps qu'on arrête de faire de la philo et que l'on passe à de choses concrètes.
Je prends le modèle le plus simple: un chaîne de longueur L et de masse Mo enroulée dans un rouleau de rayon 'ho' (avec rayon intérieur nul).
La diminution d'énergie potentielle se transforme en énergie cinétique de ce qui reste dans le rouleau. Cette énergie est égale à l'énergie cinétique du centre de masses plus l'énergie de rotation:



Le moment d'inertie est , où 'h' et M sont le rayon et la masse courantes du rouleau. Et la vitesse angulaire est V/h.
J'obtiens:



Si on appelle 'x' la position du centre du rouleau, la masse et la hauteur du centre du rouleau évoluent comme:





L'énergie potentielle perdue sera égale à l'énergie de mouvement:



En remplaçant j'obtiens:



(Si je ne me suis pas planté).

Que faire avec ça? Pour obtenir la position et la vitesse en fonction du temps il faut intégrer la racine carrée de l'inverse de cette horreur. Ouf! Je n'ai pas envie de le faire analytiquement (en supposant que j'y arrive).
Je vais essayer de le faire numériquement.

Mais une fois que l'on aura la vitesse en fonction du temps, pour calculer la force horizontale du support sur le rouleau il faut tenir compte de F=ma, mais aussi de Fdt=Vdm.

Et tout cas, Michel avait raison de s'enquérir sur la position du centre de masses de la chaîne en fonction du temps. Comme il s'est déplace vers la droite il faut bien une force externe vers la droite. Donc la friction ne sert pas à tendre la chaîne, mais à éviter qu'elle glisse vers la gauche.

Je vais essayer de calculer numériquement tout ça.
Au revoir.

[invitef5baef61]

Bon je pense avoir fini par piger :

On part du point essentiel indiqué dans l'énoncé du problème, à savoir qu'un point sur la circonférence de la bobine roulante décrit une cycloïde et qu'au niveau du contact avec la surface, ce point possède une vitesse nulle.
Puisque c'est en ce point qu'on dépose la chaîne maillon par maillon, on en déduit qu'aucune quantité de mouvement ne peut être échangée avec la surface, autrement dit que la surface ne peut exercer aucune force sur la chaîne (mis à part bien sûr la force verticale de réaction au poids de la chaîne, si l'on considère qu'il y a de la gravité).

Sachant cela, l'évolution du système (bobine+chaine) ne dépendra pas de forces externes.

L'énergie cinétique de la chaine qui tourne est :
Ec = 1/2(m*v^2 + J*w^2).
avec m masse de la chaîne enroulée (variable, elle diminue quand la chaîne se déroule), v la vitesse linéaire, w la vitesse angulaire, les deux constantes, pour la raison qu'on a vue (pas de forces externes).

Cette équation est toujours vérifiée, tout au long du parcours. L'énergie se conserve bien. C'est seulement la masse de la partie enroulée de la chaine, ou bien de celle au sol, qui n'est pas conservée et c'est cette opération de passage de l'une à l'autre qui consomme l'énergie.

A quoi a servi l'énergie initiale ?

A déposer la chaîne, donc les maillons, sur la surface. En effet, la
chaîne, donc les maillons, tournent à la vitesse angulaire w et avancent à la vitesse linéaire moyenne v. Mais pour décélérer un maillon et pouvoir ainsi le poser au sol à vitesse nulle : il va falloir de
l'énergie.
Laquelle ? Pour passer le maillon à une vitesse nulle à partir de ses
vitesses w/v, il faudra évidemment la même énergie cinétique 1/2(dm*v^2+dJ*w^2), où dm est la masse d'un maillon, et dJ = 1/2 dmR^2.

_Autrement dit, chaque dépot d'un maillon au sol, nécessite toute l'énergie d'un maillon qui tourne !_

Quand tous les maillons seront au sol, cela aura représenté l'énergie Ec= 1/2(m*v^2 + J*w^2. Pas étonnant qu'à la fin, la chaîne soit au repos.

Bon WE !

[invite6dffde4c]

Re.
J'ai fait les calculs numériques. J'ai pris comme exemple une chaîne de 10 m et 8 kg enroulé sur un support de rayon nul (pas de bobine) en un rouleau de 25 cm de longueur.
Départ arrêté, ce qui pose un petit de problème de précision à l'origine que je n'ai pas essayé de résoudre mais que l'on voit bien au départ de la force en fonction du temps.
Évidemment j'ai arrêté le tracé des courbes un peut avant la fin, où la vitesse diverge. Mais je rappelle que le dernier tour ne supporte pas comme modèle de dire que c'est une chaîne enroulée: si elle ne fait qu'un demi ou un quart de tour, elle n'est plus enroulée.

Comme la validation des images met du temps, je les ai postées aussi chez un hébergeur.



Dans la première et seconde courbe la position est "normalisée": 1 correspond à la fin du parcours

La dernière courbe, la force horizontale du support en fonction du temps est calculée comme
F = ma – V(dm/dt)
où dm est la masse de chaîne déposée au sol pendant le temps dt.

Comme on pet voir, al force horizontale n'est pas nulle (comme j'avais dit imprudemment), mais dans le sens d'avancement du rouleau. La chaîne n'est pas tendue, et s'il n'y avait pas la friction elle serait plutôt entortillée.
A+

[Pio2001]

au niveau du contact avec la surface, ce point possède une vitesse nulle.
Puisque c'est en ce point qu'on dépose la chaîne maillon par maillon, on en déduit qu'aucune quantité de mouvement ne peut être échangée avec la surface

Pas prouvé !
Le point de contact peut se comporter comme une rotule par l'intermédiaire de laquelle le rouleau exerce une traction horizontale sans frottement sur le sol.