Signification physique d'une différentielle exacte

[Burakumin]

Cela illustre l'inconvénient de continuer sur un fil en changeant un peu le sujet.

Même si c'est un poil plus compliqué, il me semble qu'il eût été mieux de démarrer une nouvelle discussion.

Tu as sans doute raison. Mais ce genre de digression apparait souvent me semble-t-il. Peut on encore scinder les discussions de manière cohérente ?

Dans la multiplication contractée ne contracte ton pas un indice contravariant avec un indice covariant (ou l'inverse) ?

Si, tout à fait ! Mais dés lors qu'on a un produit scalaire il devient possible de contracter deux indices contravariants. Il y a bien entendu utilisation implicite du produit scalaire, sauf en convention d'Einstein (et encore on peut le virer si la base d'expression est orthonormée).

Le tenseur découlant de la multiplication contractée n'est il pas plutôt avec pour composantes ?

Mais qu'appellerais tu et ici ? En fait, en chaque point, est une base de vecteur et la base duale (donc une base de forme linéaire).
L'expression de I est donc bien Attention ! Ici on n'utilise pas la convention d'Eintsein sur des composantes mais bien des vecteurs et covecteurs !

Si tu veux avoir les coordonnées de I tu peux noter qu'on peut ecrire de manière équivalente . Les coordonnées sont donc ce qui est logique puisque I est l'identité !


Pour récapituler :
- est un tenseur (1,1)
- Le produit contracté euclidien noté . cache ici un produit scalaire qui est un tenseur (0,2)
- est un vecteur, donc un tenseur (1,0)
- est une forme linéaire, donc un tenseur (0,1)
En remplaçant la contraction euclidienne (sur deux indices contravariants) par deux contractions normales grâce au produit scalaire on retrouve nos oeufs :

(0,1) = (1,0) contraction (0,2) contraction (1,1)

Bonjour.
Et si on revenait sur terre et à la physique en tenant en compte la question originale?

Je ne vais certainement pas dire que mes messages était adressé à Mathier mis à part le tout premier où je proposais qq indications intuitives ...

Cela dit pour ce qui est de la physique et de la terre j'ai un petit coup gueule à faire :
- soit les physiciens se soucient un minimum de ce qui signifie leur équation et de ce que sont les etres mathématiques qu'ils utilisent pour modéliser leur théories
- soit ils considèrent que c'est des conneries, qu'on a pas besoin de ça, que la physique ce n'est QUE de la paillasse ! Mais alors au moins qu'ils aillent au bout de leur raisonnement, et qu'il laisse tomber les dérivés / intégrals / vecteurs / produit tensoriel and co ...

Et petite remarque pour LPFR, c'est avec le genre d'explication que tu donne que j'ai eu beaucoup de mal à comprendre tout un tas de trucs en physique (à commencer par la thermo) Ou pire : que j'ai cru, à tord, avoir compris ...
-----

[LPFR]

Et petite remarque pour LPFR, c'est avec le genre d'explication que tu donne que j'ai eu beaucoup de mal à comprendre tout un tas de trucs en physique (à commencer par la thermo) Ou pire : que j'ai cru, à tord, avoir compris ...

Re.
Oui, je vous comprends. Vous, les matheux, avez du mal à comprendre la physique et croyez que la vérité du monde ne se trouve que dans les maths.
Je ne partage pas votre opinion.
A+

[invite6754323456711]

Re.
Oui, je vous comprends. Vous, les matheux, avez du mal à comprendre la physique et croyez que la vérité du monde ne se trouve que dans les maths.
Je ne partage pas votre opinion.
A+

J'ai un ressenti de contradiction.

Je me situe dans la catégorie néophyte en physique (j'ai passé un Deug de physique il y a belle lurette, mais j'ai poursuivi dans des études en l'informatique en me spécialisant dans l'IA pour au final faire ma carrière professionnelle dans les Réseaux et Télécom spatiale). Mes premiers posts en physique étaient plus philosophique que mathématiques ce qui m'a valu des remarques sur le fait que le langage de la physique n'est pas le blabla mais bien les mathématiques.

Je fais l'effort de me remettre dans le bain du langage mathématiques pour mieux cerner les mystères de la physique actuelle qui me passionne toujours autant et maintenant on chercherait à me faire comprendre que les mathématiques ne sont pas le langage adéquat pour appréhender la physique

Patrick

[gatsu]

Bonjour.
Et si on revenait sur terre et à la physique en tenant en compte la question originale?

Pour ma part la réponse la plus pertinente concernant la physique a été donnée par humanino (ne m'en veut pas mach3 c'est juste que je la trouve adaptée à la question posée et vraiment pragmatique). Le fil s'est ensuite développé dans le sens inverse de la question i.e. "si j'ai une fonction alors qu'est ce qu'une differentielle ?" (sans faire de distinction entre exacte, fermée etc...). Ton ultime réponse au sujet avec le dessin appartient d'ailleurs à cette classe.
D'autres intervenants se sont ensuite interrogés plus en profondeur sur les notions de gradient, differentiel, dérivée extérieure etc...ce qui n'est pas spécialement anormal dans le fil d'une telle discussion.

[Scorp]

J'ai un ressenti de contradiction.

Je me situe dans la catégorie néophyte en physique (j'ai passé un Deug de physique il y a belle lurette, mais j'ai poursuivi dans des études en l'informatique en me spécialisant dans l'IA pour au final faire ma carrière professionnelle dans les Réseaux et Télécom spatiale). Mes premiers posts en physique étaient plus philosophique que mathématiques ce qui m'a valu des remarques sur le fait que le langage de la physique n'est pas le blabla mais bien les mathématiques.

Je fais l'effort de me remettre dans le bain du langage mathématiques pour mieux cerner les mystères de la physique actuelle qui me passionne toujours autant et maintenant on chercherait à me faire comprendre que les mathématiques ne sont pas le langage adéquat pour appréhender la physique

Patrick

Contradiction ? Peut être pas. Il faut sûrement en venir à la conclusion que les 2 approches sont indispensables. Lorsqu'on souhaite comprendre la physique, quelque soit le niveau, il y a toujours 2 facettes : la compréhension du phénomène physique, et le formalisme mathématique. Ce qui est important, c'est que les deux sont liés. Il ne faut pas se perdre dans les mathématiques (comme c'est un peu le cas ici : Il y a-t-il besoin, du point de vue de la question posée sur les différentielles en thermodynamique, d'aller pinailler sur le produit scalaire ou les formes linéaires etc... Je pense que c'est ce qu'à voulu dire LPFR).
Ce qui n'empèche pas à certains voulant approfondir le sujet d'ouvrir un topic dans la section mathématiques. Car pour aller plus loin en physique, il est nécessaire de passer par un peu de math pour clarifier et codifier tout ca.

[invite6754323456711]

Ce qui n'empèche pas à certains voulant approfondir le sujet d'ouvrir un topic dans la section mathématiques. Car pour aller plus loin en physique, il est nécessaire de passer par un peu de math pour clarifier et codifier tout ca.

Dans la section mathématiques j'ai bien peur de ne pas trouver réponse à une problématique de l'usage de cette dernière au domaine de la physique et passer à coté du point me semble t-il important souligné par Burakumin :

La vision de dx_i comme "petite varation de " trouve ses limites. Ce n'est pas un nombre ! dx_i est une forme linéaire / forme différentielle

La vision naïve qui consiste à dire que dx_i est un accroissement élémentaire. Ça explique intuitivement certaines choses mais si on veut une compréhension complète, il faut se rendre à l'évidence que ce truc n'est pas un nombre, même infinitésimal. Il ne peut donc être utilisé comme coordonnées d'un vecteur (ce n'est pas un élément d'un corps).

et de l'intérêt de bien comprendre cette différence dans un contexte physique.

Patrick

[Magnétar]

Bonsoir,

Cela dit pour ce qui est de la physique et de la terre j'ai un petit coup gueule à faire :
- soit les physiciens se soucient un minimum de ce qui signifie leur équation et de ce que sont les etres mathématiques qu'ils utilisent pour modéliser leur théories
- soit ils considèrent que c'est des conneries, qu'on a pas besoin de ça, que la physique ce n'est QUE de la paillasse ! Mais alors au moins qu'ils aillent au bout de leur raisonnement, et qu'il laisse tomber les dérivés / intégrals / vecteurs / produit tensoriel and co ...

Et petite remarque pour LPFR, c'est avec le genre d'explication que tu donne que j'ai eu beaucoup de mal à comprendre tout un tas de trucs en physique (à commencer par la thermo) Ou pire : que j'ai cru, à tord, avoir compris ...

Là tu exagères largement, car si il y a une personne ici qui ne se soucie pas de ce que signifie les équations c'est bien toi. En particulier dire que df est une forme linéaire ne signifie strictement rien physiquement.

Quant à la compréhension de ces objets en physique il faut savoir que le calcul différentiel a été inventé par les physiciens pour les physiciens et que l'interprétation originelle des dx, dy et compagnies était que ce sont des "nombres infinitésimaux", ce n'est qu'après que les mathématiciens en ont fait leur jouet et ont fait correspondre des concepts bien à eux aux objets que manipulaient les physiciens et ce de façon à ce que ces objets aient les mêmes comportements pour eux que celui que leur donnaient les physiciens.

Cependant il ne faut pas oublier une chose, c'est que quand un physicien fait des calculs il ne se base pas uniquement sur les mathématiques et les propriétés des objets qu'il manipule, il doit aussi s'approprier la physique des phénomènes qu'il étudie et ce de façon à pouvoir porter un regard critique sur les équations données par un usage aveugle des maths (Un exemple très basique serait le changement de milieu d'une onde électromagnétique si on ne fait pas attention à la physique, les maths nous créent de l'énergie ! Et ce genre d'exemples existent à la pelle.).

De plus les physiciens ne considèrent pas les concepts mathématiques comme des conneries, bien au contraire, mais ils doivent en plus d'apprendre des maths digérer ces concepts afin de leur donner une interprétation qui leur sera utile en tant que physiciens et qui leur permettra de faire de la physique efficacement. Je veux bien te concéder que cette étape de "digestion" n'est pas triviale (contrairement à ce que l'on pourrait penser) et je ne sais pas quelle formation tu as reçu (ou même si tu es autodidacte) mais si tu viens d'une formation de mathématiques il ne faut pas s'inquiéter de cette difficulté car c'est surement par manque d'habitude, si tu viens de la physique et bien disons que ça n'a pas du être facile tous les jours pour toi. Je rajouterais tout de même que beaucoup de physiciens s'intéresse aux maths pour les maths (mais il savent faire la différence entre les mathématique et la physique) ce qui prouve d'après moi ce que je disais c'est-à-dire que les physiciens ne considèrent pas les maths comme de la connerie.

Enfin pour ce qui concerne la dernière partie de la citation, je ne sais pas comment tu fais de la thermodynamique (j'avais suivi de près le fil sur lequel tu essayais de trouver une formulation mathématique de la thermo qui te convenait), mais ce que je pense c'est que si ça ressemble à ce que tu fais dans ce fil alors d'après moi tu n'as toujours pas compris la thermodynamique au mieux tu auras compris son formalisme (deux choses différentes crois moi).

[gatsu]

Je vais me permettre quelques observations avant que ù100fil ne réponde directement.

Là tu exagères largement, car si il y a une personne ici qui ne se soucie pas de ce que signifie les équations c'est bien toi. En particulier dire que df est une forme linéaire ne signifie strictement rien physiquement.

Je ne suis pas d'accord sa démarche est de comprendre le rôle des maths en physique et pourquoi tel objet est utilisé au lieu de tel autre etc.. ce que tout physicien devrait se demander selon moi.
Par ailleurs, peut être que ça peut te sembler ne rien vouloir dire que df est une forme differentielle mais ça a un interet physique très important. En particulier l'utilisation correcte de ce genre de formalisme conduit à avoir un regard nouveau sur tout ce qui est théorie de l'intégration et ne gros si je dis que df n'est rien d'autre que la dérivée exterieur d'une 0-forme alors je peux utiliser le théorème de Stockes "généralisé" (celui de l'algèbre exterieur) pour arriver au résultat que l'intégrale ne dépend pas du chemin suivi. L'avantage c'est qu'on vient de faire une description locale d'une propriété qui ne l'est pas.
Pour couper court à l'argument "oui mais on ferait pareil si on disait que c'est une quantité infinitésimale" je dirais que non parce que précisément c'est dans ce genre de cas où ne sait pas faire la difference entre un et un en thermo qui sont toutes les deux infinitésimales.

Quant à la compréhension de ces objets en physique il faut savoir que le calcul différentiel a été inventé par les physiciens pour les physiciens et que l'interprétation originelle des dx, dy et compagnies était que ce sont des "nombres infinitésimaux", ce n'est qu'après que les mathématiciens en ont fait leur jouet et ont fait correspondre des concepts bien à eux aux objets que manipulaient les physiciens et ce de façon à ce que ces objets aient les mêmes comportements pour eux que celui que leur donnaient les physiciens.

Ce ne sont pas que des jouets pour matheux, il faut bien voir que lorsqu'on va au delà de la simple mesure de Lebesgue sur on peut avoir affaire à des mesures d'intégrations bizarres pouvant s'écrire comme le produit d'une densité et d'une mesure de Lebesgue où la densité n'est rien d'autre qu'un determinant d'une transformation de coordonnées (genre en coordonnées sphériques par exemple). Si on cherche à avoir une représentation coordonnées indépendante on se rend compte qu'on est obligé de dire que les entités qu'on intègre ne sont rien d'autre que des formes exterieures appliquées à des vecteurs élementaires.

Cependant il ne faut pas oublier une chose, c'est que quand un physicien fait des calculs il ne se base pas uniquement sur les mathématiques et les propriétés des objets qu'il manipule, il doit aussi s'approprier la physique des phénomènes qu'il étudie et ce de façon à pouvoir porter un regard critique sur les équations données par un usage aveugle des maths (Un exemple très basique serait le changement de milieu d'une onde électromagnétique si on ne fait pas attention à la physique, les maths nous créent de l'énergie ! Et ce genre d'exemples existent à la pelle.).

Oui enfin là c'est un peu prendre les matheux pour des débiles. En outre personne n'a jamais dit qu'un matheux était physicien parce qu'en effet comme tu le dis il n'y a pas de concept "naturel" associé à chaque objet en math a priori même si ils veulent dire quelque chose.

Enfin pour ce qui concerne la dernière partie de la citation, je ne sais pas comment tu fais de la thermodynamique (j'avais suivi de près le fil sur lequel tu essayais de trouver une formulation mathématique de la thermo qui te convenait), mais ce que je pense c'est que si ça ressemble à ce que tu fais dans ce fil alors d'après moi tu n'as toujours pas compris la thermodynamique au mieux tu auras compris son formalisme (deux choses différentes crois moi).

Tu as dû mal suivre le fil ou alors tu as eu un très mauvais cours de thermo. Un problème quand même important en thermo des petites années est dans ce qu'on appelle une fonction d'état et la version vulgarisée qui en est donnée dans les premières années (même si c'est louable). En particulier ça n'étonne jamais personne qu'une fonction soit disant d'état puisse s'écrire en fonction de l'humeur du prof comme étant une fonction que de T et N ou bien de S,V et N ou que sais je encore en portant toujours le même nom (en l'occurence U pour l'exemple donné). Du point de vue des maths c'est quand même super maladroit et ça n'aide absolument pas à comprendre ce qu'il se passe.
A ce problème vient s'ajouter celui de la distinction ultra importante à faire entre et , puis celui du théorème de Shwartz de l'égalité des dérivées croisées qui conduisent à pleins de formules reliant toutes les variables d'états les unes avec les autres etc... Si on rajoute là dedans les concepts de transformations quasi-statique, très lente, réversible , irreversible + toutes les erreurs de vocabulaire consciente ou non que peuvent faire les profs d'amphi ou de Td (moi le premier) alors tu vois bien que les maths nécessitent vraiment d'être clarifiée pour quelqu'un vraiment désireux de comprendre la thermo et pas simplement appliquer des recettes de cuisine à la c... pour retrouver ce qu'il faut et avoir une bonne note.

[invite6754323456711]

Je vais me permettre quelques observations avant que ù100fil ne réponde directement.
...

Merci pour ces précisions très instructives. Je n'envisageais pas de poursuivre ce différent qui convergait vers une incompréhension mutuelle.

Il me semble juste dommageable de vouloir créer une frontière entre les matheux qui font de la physique et les physiciens qui font des math. Chacun des domaines math et physique ont plutôt tout intérêt de s'enrichir l'un l'autre.


Patrick

[vaincent]

Re.
Oui, je vous comprends. Vous, les matheux, avez du mal à comprendre la physique et croyez que la vérité du monde ne se trouve que dans les maths.
Je ne partage pas votre opinion.
A+

Bonjour,

je pourrais très bien dire LPFR que cette affirmation est typiquement celle d'un physicien qui a du mal à comprendre les maths et qui croît que la vérité se trouve dans la physique.
Le débat est alors clos, car ces 2 affirmations contradictoires montrent on ne peut plus clairement, qu'elles ne sont que le reflet de 2 façons de comprendre, d'interpréter, chacun à sa manière, l'expression de La Nature. Et normalement, cela ne devrait déranger personne, sauf que, les gens ont souvent, et très naïvement, tendance à se dire "ma façon de comprendre est la meilleure !", " je suis certains d'avoir raison !".
Tout le monde devrait pourtant savoir que la conviction d'avoir raison fait obstacle au dialogue et laisse les deux parties dans une imcompréhension maladive.

Tant pis pour eux....

[Magnétar]

Bon je vais quand même répondre car il semblerait que je ne me sois pas fais comprendre sur certains points.

Tu as dû mal suivre le fil ou alors tu as eu un très mauvais cours de thermo.

Je pense avoir plutôt bien suivi le fil (quant au cours de thermo je ne saurais répondre mais dans tous les cas j'ai pas mal lu sur le sujet), cependant quand je dis :

mais ce que je pense c'est que si ça ressemble à ce que tu fais dans ce fil

Je parle du fil actuel et non du fil où il cherchait une formulation de la thermo dans le langage de la géométrie différentielle.

A ce problème vient s'ajouter celui de la distinction ultra importante à faire entre et , puis celui du théorème de Shwartz de l'égalité des dérivées croisées qui conduisent à pleins de formules reliant toutes les variables d'états les unes avec les autres etc...

Pour moi c'est un problème de mathématiques auquel on pourra effectivement donner une signification physique.

Si on rajoute là dedans les concepts de transformations quasi-statique, très lente, réversible , irreversible

Et ça pour moi c'est la physique.

Oui enfin là c'est un peu prendre les matheux pour des débiles.

Je ne suis pas d'accord les mathématiciens qui s'essayent à la physique font souvent ce genre d'erreur car ils ne s'attachent pas assez à la signification de ce qu'ils écrivent (et quand je dis signification je parle de signification physique et non mathématiques.). Je précise quand même que je ne les prends absolument pas pour des idiots (ce ne sera jamais le cas de ma part si je n'avais pas fait de physique j'aurais fait des maths).

En particulier ça n'étonne jamais personne qu'une fonction soit disant d'état puisse s'écrire en fonction de l'humeur du prof comme étant une fonction que de T et N ou bien de S,V et N ou que sais je encore en portant toujours le même nom (en l'occurence U pour l'exemple donné). Du point de vue des maths c'est quand même super maladroit et ça n'aide absolument pas à comprendre ce qu'il se passe.

Sur ce point je suis entièrement d'accord (et c'est d'après moi la difficulté principale de la thermo des petites années pour reprendre ton expression), mais je le vois plus comme un problème de notations qu'autre chose.

Ce ne sont pas que des jouets pour matheux, il faut bien voir que lorsqu'on va au delà de la simple mesure de Lebesgue sur on peut avoir affaire à des mesures d'intégrations bizarres pouvant s'écrire comme le produit d'une densité et d'une mesure de Lebesgue où la densité n'est rien d'autre qu'un determinant d'une transformation de coordonnées (genre en coordonnées sphériques par exemple).

Nous sommes là aussi d'accord, quoique le coup des coordonnées sphériques peut-être aussi vu très simplement physiquement (l'exemple n'est peut-être pas le meilleur) cependant dans le cas général tu as raison.

Si on cherche à avoir une représentation coordonnées indépendante on se rend compte qu'on est obligé de dire que les entités qu'on intègre ne sont rien d'autre que des formes exterieures appliquées à des vecteurs élementaires.

Sauf qu'au moment de la construction de ton modèle te dire "tel objet est une forme extérieure" ou autre ça ne t'aidera surement pas à mathématiser ton modèle cependant le "j'interprète cet objet comme une variation infinitésimales" est physiquement beaucoup plus parlant (surtout pour les premières années) et ça te permettra de mathématiser ton modèle, quand à connaitre le langage de la géométrie différentielle ça te permettra de faire tes calculs de façon correcte et de leur donner une forme plus élégante.

Par ailleurs, peut être que ça peut te sembler ne rien vouloir dire que df est une forme differentielle mais ça a un interet physique très important.

Ca a effectivement un intérêt physique mais c'est encore du langage mathématique, la signification physique pour moi c'est que la variation (intégrée je veux dire) de f est telle qu'elle ne dépend pas de la succession d'état entre l'état initial et l'état final.
Je ne suis pas du tout un anti-maths bien au contraire je trouve que les maths (et je ne parle pas des "maths pour la physique") ne sont pas assez présent dans les cursus de physique universitaires. Et d'ailleurs je passe une bonne partie de mon temps à approfondir ma culture mathématique que ce soit en rapport avec ce que j'utilise en physique ou non.
Mais le titre du fil est "Signification physique d'une différentielle exacte" je ne vois pas en quoi ceci :

Mais qu'appellerais tu et ici ? En fait, en chaque point, est une base de vecteur et la base duale (donc une base de forme linéaire).
L'expression de I est donc bien Attention ! Ici on n'utilise pas la convention d'Eintsein sur des composantes mais bien des vecteurs et covecteurs !

Si tu veux avoir les coordonnées de I tu peux noter qu'on peut ecrire de manière équivalente . Les coordonnées sont donc ce qui est logique puisque I est l'identité !


Pour récapituler :
- est un tenseur (1,1)
- Le produit contracté euclidien noté . cache ici un produit scalaire qui est un tenseur (0,2)
- est un vecteur, donc un tenseur (1,0)
- est une forme linéaire, donc un tenseur (0,1)
En remplaçant la contraction euclidienne (sur deux indices contravariants) par deux contractions normales grâce au produit scalaire on retrouve nos oeufs :

(0,1) = (1,0) contraction (0,2) contraction (1,1)

réponds à la question. Surtout que même si je trouve ça intéressant (d'autant plus que j'étudie ce genre de chose en ce moment) vu les questions que pose mathier (voir celles aussi posées dans le forum de maths) il doit tout au plus sortir de Terminale S et ça ne fera rien d'autre que l'embrouiller. Aussi je comprends parfaitement le message de LPFR et je trouve Burakumin un tantinet excessif quand il dit :

- soit les physiciens se soucient un minimum de ce qui signifie leur équation et de ce que sont les etres mathématiques qu'ils utilisent pour modéliser leur théories
- soit ils considèrent que c'est des conneries, qu'on a pas besoin de ça, que la physique ce n'est QUE de la paillasse ! Mais alors au moins qu'ils aillent au bout de leur raisonnement, et qu'il laisse tomber les dérivés / intégrals / vecteurs / produit tensoriel and co ...

[gatsu]

Je parle du fil actuel et non du fil où il cherchait une formulation de la thermo dans le langage de la géométrie différentielle.

Ok.

Pour moi c'est un problème de mathématiques auquel on pourra effectivement donner une signification physique.

...

Et ça pour moi c'est la physique.

Je pense que tu fais des distinctions qui n'ont pas lieu d'être. Faire la distinction mathématique entre un et un a une signification physique. En outre les concepts semi-experimentaux tels que "quasi-statique", "très lent" etc.. doivent absolument avoir une traduction mathématique pour faire de la physique et c'est bien là qu'est le problème

Je ne suis pas d'accord les mathématiciens qui s'essayent à la physique font souvent ce genre d'erreur car ils ne s'attachent pas assez à la signification de ce qu'ils écrivent (et quand je dis signification je parle de signification physique et non mathématiques.).

Ouah tu a l'air d'en avoir cotoyer un certain nombre pour sortir de telles généralités sur "les mathématiciens qui s'essayent à la physique". Pour ma part ceux que je cotoie tous les jours s'en sortent plutot bien parce qu'ils ne font pas de physique a proprement parlé (car ce n'est d'ailleurs ni leur formation ni leur métier).
J'aurai plutot tendance à dire le contraire, c'est à dire que le langage naturel de la physique c'est les maths et que certains physiciens ont un peu tendance à l'oublier.

Sauf qu'au moment de la construction de ton modèle te dire "tel objet est une forme extérieure" ou autre ça ne t'aidera surement pas à mathématiser ton modèle cependant le "j'interprète cet objet comme une variation infinitésimales" est physiquement beaucoup plus parlant

Enfin ça, ça dépend, voir ça comme une forme n'est pas forcément un problème non plus surtout pour "mathematiser un modèle" comme tu dis.

et ça te permettra de mathématiser ton modèle, quand à connaitre le langage de la géométrie différentielle ça te permettra de faire tes calculs de façon correcte et de leur donner une forme plus élégante.

Enfin la géométrie differentielle a heureusement d'autres interets que rendre élégants les calculs qu'on peut faire.

Ca a effectivement un intérêt physique mais c'est encore du langage mathématique,

Encore une fois la physique passe forcément par les maths c'est pourquoi je ne comprends pas vraiment ce genre d'affirmations.

Mais le titre du fil est "Signification physique d'une différentielle exacte" je ne vois pas en quoi ceci :

C'est vrai mais le truc c'est que je pense que les premières contributions ont déjà répondues à la question de départ. Ensuite comme on l'a vu la discussion a bifurquée sur des aspects plus techniques pas forcément dénués de sens physique.

[invité576543]

J'aurai plutot tendance à dire le contraire, c'est à dire que le langage naturel de la physique c'est les maths et que certains physiciens ont un peu tendance à l'oublier.

Les maths, c'est la grammaire du langage. La sémantique du langage de la physique, c'est la physique.

Cordialement,

[invite6754323456711]

Les maths, c'est la grammaire du langage. La sémantique du langage de la physique, c'est la physique.

Cordialement,

Une théorie en physique c'est donc un discours en langage mathématiques qui fait sens en physique

Patrick

[mathier]

bonsoir a tous,
toujours sur la différentielle
je suis souvent amené à utiliser la relation df = grad f . dOM
est -elle toujours vraie ?
merci et pas de "baston intellectuelle" ce coup-ci SVP (je déconne)
bonne soirée

[LPFR]

je suis souvent amené à utiliser la relation df = grad f . dOM
est -elle toujours vraie ?

Bonjour.
En physique oui.
En maths de haut vol, je n'en sais rien et je m'en fous.

Au revoir.

[invite6754323456711]

je suis souvent amené à utiliser la relation df = grad f . dOM
est -elle toujours vraie ?

Ce message http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2493975 t'avais me semble t'il apporté une réponse simple à cette forme non ?

Patrick

[invité576543]

Une théorie en physique c'est donc un discours en langage mathématiques qui fait sens en physique

Pas exactement. C'est un discours qui utilise un langage combinant la syntaxe (et une partie de la sémantique) du langage mathématique et un sémantique purement physique.

Ce n'est pas un discours de mathématique faisant sens en physique, parce que ce "sens" ne vient pas tout seul. Il est donné par ailleurs, indépendamment des formules. Le sens physique des phrases "mathématiques" est toujours externe, indépendant même de ces phrases.

A l'envers, j'ai été frappé un jour par le fait que les cours de maths (en particulier les exercices) jusqu'au collège inclus, au moins, parlent de physique: au lieu de se limiter au sens mathématique, un sens supplémentaire est donné, qui est concret donc physique.

La frontière entre la sémantique mathématique et la sémantique physique est du coup très floue dans la tête des gens...

Je pourrais développer, en prenant des tas d'exemples, mais un forum n'est pas adapté à cela.

Cordialement,

[invité576543]

bonsoir a tous,
toujours sur la différentielle
je suis souvent amené à utiliser la relation df = grad f . dOM
est -elle toujours vraie ?

Non.

Elle n'est employable que dans les cas où une métrique canonique (un produit scalaire) est bien définie, avec un sens physique clair. (La métrique est alors employée deux fois: une -implicite- pour passer de la forme au gradient, l'autre, explicite, dans la formule même.)

C'est par exemple le cas pour l'altitude vue comme fonction des coordonnées horizontales: l'espace 3D est euclidien, c'est à dire muni implicitement d'une métrique (d'un produit scalaire donnant longueurs et angles).

Mais ce n'est pas le cas en thermodynamique, domaine dans lequel on se garde bien de notations vectorielles.

-------

La vision "gradient" est trop connotée par les espaces euclidiens pour être générale.

A l'opposé, la vision par les formes différentielles est plus générale, s'adaptant aussi bien aux cas avec métrique canonique (e.g., l'espace 3D usuel) qu'aux cas sans métrique canonique.

Cordialement,

[mach3]

La vision "gradient" est trop connotée par les espaces euclidiens pour être générale.

A l'opposé, la vision par les formes différentielles est plus générale, s'adaptant aussi bien aux cas avec métrique canonique (e.g., l'espace 3D usuel) qu'aux cas sans métrique canonique.

mince alors, j'aurais donc fait un truc interdit sans le savoir?
J'ai récemment étudier des comportement de grandeurs molaires (enthalpie libre molaire, entropie molaire) dans un diagramme de phase. Etant donné qu'il n'y a pas métrique dans l'espace des compositions (c'est un fermé convexe d'un espace vectoriel, mais il n'y a ni angles, ni distances définies univoquement, en gros c'est selon le choix de représentation quand on veut le dessiner...) j'ai été un peu enquiquiner en voulant utiliser le gradient sur l'espace des compositions.
Puis j'ai cru comprendre qu'en fait le gradient était toujours orthogonal aux lignes de niveau, peu importe le repère étant donné que les formes se transforment à l'inverse des vecteurs lors d'un changement de coordonnée, du coup l'utilisation du gradient s'est averée très fructueuse ici et m'a permis de refaire une démo bien proprement.

J'ai utilisé le gradient en dehors du cadre d'un espace euclidien et ça à pourtant très bien marcher. Donc je ne comprends pas pourquoi la notion de gradient ne peut pas être plus générale...

m@ch3

[invité576543]

Pour préciser...

Dans le message #5, la notation ne représente PAS . Ce sont les coordonnées de la différentielle de f dans la base . Cette base ne dois pas être confondue avec la base des vecteurs de type ou .

Formellement, l'écriture


est "correcte" au sens où la sommation des composantes donne le bon résultat [je remplace les d par des pour virer la confusion entre ce qui dénote la différentielle et la modification infinitésimale de f(P) de la différentielle appliquée à un changement infinitésimal de ]. Il s'agit d'une "astuce" qui marche en euclidien, et qui consiste à confondre une forme et un vecteur ayant les mêmes coordonnées dans une "bonne" paire de bases respectives (une pour les formes, l'autre pour les vecteurs).

Mais cette notion de "bonne" paire de bases n'existe qu'en euclidien, et cela n'a un sens physique que si l'espace sous-jacent a une structure euclidienne ayant un sens physique. (On peut toujours munir mathématiquement un espace d'une structure euclidienne, mais si elle n'a pas de sens physique, le choix est arbitraire, et il devient difficile de distinguer ce qui a un sens physique intrinsèque et ce qui vient de ce choix arbitraire.)

------

Il y a différentes notations qui permettent de distinguer les choses. Une assez simple, sauf avec des éditeurs de texte, est de noter les coordonnées verticalement pour les vecteurs et horizontalement pour les formes.

On a alors et

Il y a alors deux "produits scalaires": celui entre un vecteur "horizontal" et un vecteur "vertical", qui ne demande pas de métrique:



et le produit scalaire entre deux vecteurs verticaux, qui demande une métrique.



(J'ai volontairement utilisé le uniquement pour le produit scalaire "métrique", entre vecteurs stricto sensu.)

En espérant que ça aide...

Cordialement,

[invité576543]

mince alors, j'aurais donc fait un truc interdit sans le savoir?

Pas nécessairement.

J'ai utilisé le gradient en dehors du cadre d'un espace euclidien et ça à pourtant très bien marcher. Donc je ne comprends pas pourquoi la notion de gradient ne peut pas être plus générale...

Tu l'as utilisé dans un cadre euclidien, avec une structure euclidienne arbitraire implicite.

Et cela "marche" tant que tu ne fais pas de changement de base! Si on reste tout le temps avec les deux "bonnes bases", les formules restent formellement correctes, et il n'y a pas de raison que cela ne marche pas.

Les "défauts" sont donc de deux ordres. Le premier est le sens physique : voir la pente (différentielle de l'altitude) comme la direction "de plus grande pente" et la valeur de cette pente dans cette direction est une erreur. Le second est quand on change de base. Le cas le plus simple (mais pas toujours bien perçu comme un changement de base) est de changer l'unité: et là on voir que si on change les degrés de latitude en km il faut multiplier par 111 pour les déplacement, mais diviser par 111 pour les gradients! Raison bien suffisante pour voir qu'à mélanger les deux on risque gros.

Exemple d'erreur de sens physique (désolé ):

Puis j'ai cru comprendre qu'en fait le gradient était toujours orthogonal aux lignes de niveau

Tu utilises le mot orthogonal alors que tu écris toi-même

Etant donné qu'il n'y a pas métrique dans l'espace des compositions

Vois-tu l'énorme contradiction? Est-ce que cela n'est pas suffisant pour appuyer mon affirmation que tu utilises dans ta tête un espace euclidien, qui est nécessairement arbitraire?

Cordialement,

[Rincevent]

salut,

J'ai utilisé le gradient en dehors du cadre d'un espace euclidien et ça à pourtant très bien marcher. Donc je ne comprends pas pourquoi la notion de gradient ne peut pas être plus générale...

le gradient est général car c'est une 1-forme. C'est la dérivée extérieure d'une fonction (une 0-forme), ce qui se définit même sur un espace pas muni d'une métrique. Ce que tu as probablement fait sans le savoir c'est prendre le produit interne entre la 1-forme associée au gradient avec le vecteur dont tu parles. Tu aurais par contre commencé à faire du n'importe quoi si tu avais cherché à utiliser la norme du "vecteur gradient"... autrement dit, est toujours valable. Ce qui ne l'est pas toujours, c'est l'association à d'un truc qui vit dans le même espace que le vecteur déplacement élémentaire.

Tout ça étant à regarder dans les détails car j'ai lu en diagonal ton explication

[mach3]

Tu utilises le mot orthogonal alors que tu écris toi-même

Etant donné qu'il n'y a pas métrique dans l'espace des compositions

Vois-tu l'énorme contradiction?

oui, mais j'entendais ici orthogonal au sens que le gradient est dans le sous-espace du dual qui est orthogonal au sous-espace tangent à la ligne de niveau. Du coup il n'y a pas de contradiction et quelque soit le repère, on a orthogonalité.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_dual#Orthogonal

comme dit dans le wiki, il ne faut pas confondre cette notion d'orthogonalité entre sous-espace et sous-espace du dual avec la notion d'orthogonalité entre un sous-espace et son complément orthogonal dans un espace euclidien. Confusion que j'ai faite au tout début de mon étude, mais c'est devenu clair depuis quelques jours, indépendamment de cette discussion.

Tu l'as utilisé dans un cadre euclidien, avec une structure euclidienne arbitraire implicite.

Et cela "marche" tant que tu ne fais pas de changement de base! Si on reste tout le temps avec les deux "bonnes bases", les formules restent formellement correctes, et il n'y a pas de raison que cela ne marche pas.

ben en fait si, quelque soit la base ça marche justement, parce que vecteurs et formes se transforment à l'inverse. De plus, il est vrai qu'au départ j'ai implicitement choisi une base, mais j'ai fini par réussir à faire évoluer ma démo pour la rendre indépendante du choix du repère

Ce que tu as probablement fait sans le savoir c'est prendre le produit interne entre la 1-forme associée au gradient avec le vecteur dont tu parles.

oui, au début je faisais bien ça sans le savoir , un peu comme Georges Dandin... Mais bon, j'ai beaucoup progressé ces derniers temps

m@ch3

[gatsu]

Ce qui ne l'est pas toujours, c'est l'association à d'un truc qui vit dans le même espace que le vecteur déplacement élémentaire.

Oui mais justement n'est ce pas cet objet que l'on appelle gradient de façon usuelle (en physique) ?

[invite6754323456711]

Pour préciser...

Dans le message #5, la notation ne représente PAS . Ce sont les coordonnées de la différentielle de f dans la base . Cette base ne dois pas être confondue avec la base des vecteurs de type ou .

Formellement, l'écriture

si est la syntaxe d'une forme linéaire (wiki : ) qui peut s'exprimer dans la base ? les éléments de la base étant aussi des formes linéaires (base duale e^*i). Qu'elle est alors la différence entre et ? représente un rapport de forme linéaire ?

Il s'agit d'une "astuce" qui marche en euclidien, et qui consiste à confondre une forme et un vecteur ayant les mêmes coordonnées dans une "bonne" paire de bases respectives (une pour les formes, l'autre pour les vecteurs).

Sémantiquement parlant dans un espace euclidien la notion de base réciproque vecteur eⁱ défini par eⁱ = g^ije_j associé à la base {e_i} n'est pas à confondre avec la base duale e^*i non ?

La base réciproque est une autre base de l'espace vectoriel E_n. Par produit scalaire, les vecteur de base forment avec leurs vecteurs réciproques tout les types de tenseur métrique. L'espace dual n'intervient pas.

L'espace vectoriel euclidien se suffit à lui même à condition d'exprimer les quantités à l'aide de la base originale et de la base réciproque.

Maintenant il existe un lien étroit entre base duale et base réciproque :

Une forme linéaire associé un scalaire à un vecteur ; le produit scalaire et un vecteur donnée associent également un scalaire à un vecteur. Les deux associations possèdent les mêmes propriétés de linéarité.

Soit une forme linéaire f^* qui au vecteur x associée le scalaire f^*(x). A cette forme , faisons correspondre le vecteur f tel que f^*(x) = f . x, pour tout x (développement de f^* dans la base duale = f_ie^*i de telle sorte que f^*(x) = f_ixⁱ). Soit le vecteur f de E_n défini par f = f_ieⁱ de telle sorte que f.x = f_ixⁱ.

La correspondance entre f* et f ainsi définie est telle que f^*(x) = f . x. Les deux espaces E_n et E^*_n sont complètement isomorphe, la base réciproque {eⁱ} correspondant à la base duale {e^*i} grâce à la propriété : e^*i(e_j) = eⁱ . e_j

Patrick

[invité576543]

oui, mais j'entendais ici orthogonal au sens que le gradient est dans le sous-espace du dual qui est orthogonal au sous-espace tangent à la ligne de niveau.

Si tu veux... Mais quand je lis "ligne de niveau" et "orthogonal aux lignes de niveau", c'est l'image euclidienne qui vient à l'esprit.

Et utiliser le mot "orthogonal" pour l'orthogonalité dont tu parles alors qu'on parle de métrique ne peut qu'être une belle source d'ambiguïté.

Par ailleurs, toute la question débattue ne devient qu'un problème de notation si on dit que le gradient est une forme. La notation avec une flêche identique à celle des vecteurs ne peut être, là encore, qu'une source d'ambiguïté.

Si pour toi le gradient est une forme, pourquoi n'utilises-tu pas une notation sans flêche, comme le fais Rincevent par exemple?

Perso je m'adapte aux notations, et cela ne me gène pas d'utiliser ou df pour la forme, mais je ne vois pas l'intérêt de autrement que pour le "vecteur gradient", celui obtenu par application de la métrique à la forme.

-----

En bref, il ne semble pas y avoir de contradiction sur les notions, mais une longue discussion juste pour des notation ambiguës, non?

Cordialement,

[invité576543]

(...)

Je vois bien ce qu'on appelle la base duale d'une base, une fois donnée une métrique. Mais je ne vois pas trop ce qu'est la base réciproque, ou, si j'arrive à le voir (ça ?), quel intérêt cela a.

Cordialement,

[invite6754323456711]

Je vois bien ce qu'on appelle la base duale d'une base, une fois donnée une métrique. Mais je ne vois pas trop ce qu'est la base réciproque, ou, si j'arrive à le voir (ça ?), quel intérêt cela a.

Cordialement,

Cela vient du livre que je lis "Introduction au calcul tensoriel, Applications à la physique" Edition Dunod de Claude Semay et Bernard Sivestre-Brac

Soit {e_i} une base d'un espace vectoriel Euclidien E_n à n dimensions. On appelle vecteur réciproque du vecteur e_i, le vecteur eⁱ défini par eⁱ = g^ije_j. L'ensemble des n vecteurs {eⁱ} s'appelle la base réciproque associée à la base {e_i}

La base réciproque est imposé de façon non ambiguë par le produit scalaire, dés qu'un choix de base est fait. Les projections parallèles dans la base réciproque sont les projections orthogonales dans la base originale et réciproquement.

Pour un vecteur u nous avons u_i = e_i . u ; uⁱ = eⁱ . u

Patrick

[mach3]

En bref, il ne semble pas y avoir de contradiction sur les notions, mais une longue discussion juste pour des notation ambiguës, non?

effectivement, le problème est qu'il ne semble pas y avoir de convention dominante, et qu'en plus des notations, les objets sont ambigües pour de nombreuses personnes (dont moi, mais ça s'arrange), ce qui ajoute à la confusion générale.

je note le gradient avec une flèche comme un vecteur pour la simple raison idiote que c'est un vecteur au sens large, c'est à dire un élément d'un espace vectoriel et un truc qui a plusieurs coordonnées si on se donne une base, contrairement à des scalaires qui sont les éléments d'un corps et n'ont trivialement qu'une composante. En plus on peut très bien inverser la vapeur et dire que les vecteurs sont des formes pour les vecteurs de l'espace dual , ça ne changerait rien non? C'est juste qu'on se donne un espace vectoriel au départ et qu'ensuite on défini le dual, mais on aurait très bien pu partir du dual au départ. Me corriger si je fais erreur.

Après il est vrai que mon choix de notation est très criticable... mais y en a t il qui ne le seront pas? Existe-t-il une notation pour indiquer qu'un objet est une forme, comme on met une petite flèche (ou alors en gras) pour un "vrai" vecteur.

m@ch3