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Signification physique d'une différentielle exacte



  1. #1
    mathier

    Signification physique d'une différentielle exacte


    ------

    bonjour,
    je m'interroge sur la signification physique d'une différentielle, j'en ai besoin pour un cours de thermodynamique chimique

    si je prends une fonction f ayant deux variables x et y, sa différentielle exacte ou totale exacte est:



    le 1er terme correspond à une variation de f par rapport à x tout en laissant y constant
    est la variation de f par rapport à x
    pourquoi remultiplier par dx ?

    merci

    *** latex corrigé ***

    -----
    Dernière modification par Rincevent ; 12/08/2009 à 10h24.

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  4. #2
    mathier

    Re : différentielle exacte

    cata j'ai essayé d'utiliser LATEX et c raté
    désolé

  5. #3
    gatsu

    Re : différentielle exacte

    Citation Envoyé par mathier Voir le message
    cata j'ai essayé d'utiliser LATEX et c raté
    désolé
    Il faut juste que tu évites de coller les items spéciaux (terme non consacré mais je voyais pas autre chose) genre "\partial" qui va donner une fois mis entre deux balise tex et les lettres "normales" genre "y" qui donnera une fois en latex. Du coup s'écrit "\partial y" et pas "\partialy" parce que sinon le compilateur ne reconnais pas l'item spécial.
    "Au fond..la musique si on la prend note par note c'est assez nul". Geluck

  6. #4
    Burakumin

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Citation Envoyé par mathier Voir le message
    bonjour,
    je m'interroge sur la signification physique d'une différentielle, j'en ai besoin pour un cours de thermodynamique chimique

    si je prends une fonction f ayant deux variables x et y, sa différentielle exacte ou totale exacte est:



    le 1er terme correspond à une variation de f par rapport à x tout en laissant y constant
    est la variation de f par rapport à x
    pourquoi remultiplier par dx ?
    Parce que df n'est pas une application à valeur réelle. Autrement dit, sa valeur en un point P =(x,y) donné (la quantité df(P) donc) n'est pas un nombre mais une forme linéaire (parfois appelé covecteur).

    La compréhension correcte de ce genre de chose nécessiterait quelques notions en dualité. Malheureusement, on explique absolument pas ce genre de chose dans les cours standards de thermodynamique.

    En faite ce qu'il faut comprendre intuitivement c'est que l'objet rend compte des variations de f au point P dans N'IMPORTE QUELLE direction. Si je définissais plutot df comme :



    alors serait simplement un nombre, et donc incapable d'indiquer les variations de f pour toute direction du plan.

    On pourrait expliquer les choses plus en profondeur mais il faudrait que tu indiques ce que tu ne comprends pas et quelles sont tes connaissances en algèbre linéaire.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    invité576543
    Invité

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Une manière "simple" de montrer cela est de regarder la variation pour un petit déplacement (dans une certaine direction donc) à partir d'un point donné.

    On a , ce qui peut se voir (formellement) comme un "produit scalaire" , et on peut alors voir (dx, dy) comme la base dans laquelle la différentielle df a pour coordonnées .

    Cela fait apparaître la différentielle en un point comme une "sorte de vecteur", et (dx, dy) comme une base. Il s'agit en fait de formes, mais les formes constituent un espace vectoriel, et sont des vecteurs d'une certaine manière.

    Le point important est de voir la différentielle non comme un scalaire mais comme une sorte de vecteur dont les coordonnées s'expriment simplement dans la base particulière (dx, dy).

    Cordialement,

  9. #6
    humanino

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Bonjour,

    de mon point de vue, les relations differentielles n'eclaircissent pas la signification physique : "l'integrale sur une boucle s'annulle" est la vraie signification physique. Corrolaire : l'integrale ne depend pas du chemin, mais seulement des points de depart et d'arrivee, que l'on traduit souvent en physique par "fonction d'etat".
    "Puisque toute ces choses nous depassent, feignons de les avoir organisees"

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  11. #7
    invité576543
    Invité

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Citation Envoyé par humanino Voir le message
    Bonjour,

    de mon point de vue, les relations differentielles n'eclaircissent pas la signification physique : "l'integrale sur une boucle s'annulle" est la vraie signification physique. Corrolaire : l'integrale ne depend pas du chemin, mais seulement des points de depart et d'arrivee, que l'on traduit souvent en physique par "fonction d'etat".
    Ca c'est pour une "différentielle exacte", ce qui est le cas quand on part d'une fonction.

    La question d'origine ne semble pas porter sur la notion de "différentielle exacte", si?

    Cordialement,

  12. #8
    humanino

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    La question d'origine ne semble pas porter sur la notion de "différentielle exacte", si?
    Peut-etre ai-je mal interprete ce dont il s'agit. J'ai suppose que le titre, associe a la mention explicite de la thermodynamique, indiquaient que la question portait sur la signification physique d'une differentielle exacte, et je n'ai pas ete clair sur le fait que pour comprendre l'idee de differentielle exacte, il ne faut pas partir d'une fonction.

    Evidemment si l'on suppose l'existence d'une fonction donnee au depart, il est trivial que


    Mais si l'on fait de la thermodynamique, je crois que la premiere chose a dire pour expliquer

    c'est la notion de differentielle exacte.

    Je reconnais cependant ne pas etre toujours tres pedagogue ! D'ailleurs, a relire le message initial, je realise qu'effectivement mathier semble avoir des difficultes simplement avec la notion de "derivation", avant meme celle de "differentielle exacte".
    "Puisque toute ces choses nous depassent, feignons de les avoir organisees"

  13. #9
    mach3
    Modérateur

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Considère toi sur une montagne, avec f l'altitude et x et y les latitude et longitude.
    dx est un petit déplacement en latitude, dy est un petit déplacement en longitude et df un petit déplacement en altitude. Comme tu es forcé de rester au sol (tu ne voles pas), alors ces trois déplacements sont liées.

    est la pente de la montagne selon la latitude
    est la pente de la montagne selon la longitude

    est donc la variation d'altitude pour un petit déplacement en latitude
    est donc la variation d'altitude pour un petit déplacement en longitude

    Imagine que tu ne te déplaces d'abord qu'en latitude de (x0,y0) à (x1,y0), alors ta variation d'altitude sera l'intégrale de de x0 à x1 en maintenant y constant. Ensuite tu te déplaces uniquement en longitude de (x1,y0) à (x1,y1), ta variation d'altitude sera l'intégrale de de y0 à y1 en maintenant x constant.
    Quand tu vas d'un point (x0,y0) à un point (x1,y1) en te balladant sur une montagne, la différence d'altitude entre ces deux points ne dépend pas de ton chemin. On peut donc au lieu de ce déplacer seulement en latitude puis seulement en longitude, se déplacer en longitude puis en latitude. On intègre donc de y0 à y1 d'abord, puis on additionne l'intégrale de x0 à x1 ensuite, pour obtenir le même résultat.
    On peut même considérer n'importe quel chemin biscornu, et dans ce cas on intégrera successivement des petits déplacement en latitude et des petits déplacement en longitude.
    Au final le plus simple, vu que ça ne dépend pas du chemin, c'est d'intégrer directement

    afin de savoir quel sera la variation d'altitude.

    je ne sais pas si ça t'éclaire un peu cette vision terre à terre

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  14. #10
    mathier

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    merci a tous pour vos réponses

  15. #11
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Cela fait apparaître la différentielle en un point comme une "sorte de vecteur", et (dx, dy) comme une base. Il s'agit en fait de formes, mais les formes constituent un espace vectoriel, et sont des vecteurs d'une certaine manière.
    Dixi Wiki au niveau mathématiques il semble aller encore plus loin en donnant une représentation plus généralement de la notion de différentiabilité et de différentielle sans avoir recours à des bases.

    Soient E et F deux espaces vectoriels normés, et f une application de E dans F. Soit a un point de E. On abandonne la notation des vecteurs par des flèches dans ce paragraphe.

    On dit que f est différentiable en a si et seulement s’il existe une application linéaire continue L de E dans F telle que :



    Dans ce cas, L est appelée différentielle de f en a et se note L = df(a).

    Remarque : on peut remarquer le changement sémantique entre la première définition, celle de Leibniz – un accroissement très petit –, et celle formalisée de nos jours – une application linéaire. Ce changement est l'aboutissement d'un évolution de plus de trois siècles entre un idée intuitive du calcul infinitésimal et sa formalisation.
    Pour une fonction réelle à deux variables z = f(x,y) :


    Si la fonction est différentiable, on montre que les coefficients α et β sont bien les dérivées partielles de f. On peut alors écrire



    avec l'expression suivante qui est linéaire en



    L'application linéaire L est appelée différentielle de f au point et notée
    Et comme tu le fais remarquer le calcul de peut aussi être présenté comme un calcul de produit scalaire avec le vecteur gradient de f : http://fr.wikipedia.org/wiki/Gradient


    Cette approche "moderne" est elle plus intéressante (ouvre la porte à de nouveaux horizons) pour la physique ?

    Patrick

  16. #12
    mach3
    Modérateur

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Cette approche "moderne" est elle plus intéressante (ouvre la porte à de nouveaux horizons) pour la physique ?
    pour avoir pas mal manipuler ce genre d'objets ces derniers temps je peux te dire que se passer de l'expression dans une base donnée à un grand pouvoir simplificateur. Une fois qu'on a assimilé et pris l'habitude, écrire:



    devient bien plus compact, signifiant et opérationnel que



    surtout quand on bosse en n dimensions.

    En plus tu es sur que le choix de la base n'y est pour rien dans les résultats ou les propriétés que tu démontres.

    Dans une démo sur laquelle j'ai travaillé un moment, j'avais commencé avec des dérivées partielles, et je m'était vite retrouvé avec des expressions de plusieurs lignes et dont je n'arrivais même plus à saisir le sens physique des termes. Quand je suis passé en vectoriel/matriciel, c'est devenu d'un seul coup beaucoup plus parlant et évident (après évidemment un temps d'adaptation à ces "nouveaux" objets)

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

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  18. #13
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Citation Envoyé par mach3 Voir le message


    Peut-on dire que la différentielle est une métrique que l'on peut exprimer sous forme tensorielle gijuivi ?

    Le tenseur métrique inverse dont les composantes sont les quantités gij correspondrait à qu'elle entité ?

    Patrick

  19. #14
    mach3
    Modérateur

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Peut-on dire que la différentielle est une métrique que l'on peut exprimer sous forme tensorielle gijuivi ?
    Si on considère la surface courbe (voire même accidentée ) d'une montagne, elle doit être décrite par une métrique qui est en relation avec le gradient, plus précisément avec la différentielle du gradient qui elle est un tenseur symétrique multiplié par un vecteur infinitésimal.
    Dans une base donnée, les composante de ce tenseur sont les dérivées secondes partielles, c'est à dire des courbures.
    Cependant je ne suis pas encore bien à l'aise avec la notion de métrique en espace courbe. Je ne peux donc t'en dire plus sur le lien entre la métrique et ce tenseur sans spéculer sur des choses non encore acquises.

    sinon, j'ai oublié un d dans mon précédent post, il s'agit de



    si un modo peut passer faire la correction?

    m@ch3
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  20. #15
    Burakumin

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Citation Envoyé par mach3 Voir le message
    Ce qui me gène toujours un peu dans ce style de notation c'est qu'elle utilise des objets mathématiques sans en donner vraiment une définition. Ici si l'on voulait donner une expression de ce serait par exemple quelque chose comme :



    le produit avec étant un produit contracté rendu possible par l'existence d'un produit scalaire.

    Mais surtout, le probleme est que ce genre de formule incite à croire que la différentielle (d'un champs scalaire) se défini à partir du gradient. Or il me semble plus correct de considérer l'inverse.


    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Peut-on dire que la différentielle est une métrique que l'on peut exprimer sous forme tensorielle gijuivi ?

    Le tenseur métrique inverse dont les composantes sont les quantités gij correspondrait à qu'elle entité ?

    Patrick

    Non il ne me semble pas correcte de dire que la différentielle est une métrique ...

    L'opération de dérivation/différentiation est une opération fondamentale des mathématiques qui a été au fil du temps généralisée à des fonctions de plus en plus exotiques (dans les cas les plus généraux on est meme pas obligé de considérer des fonctions).

    Un opérateur de dérivation est une transformation qui extrait d'une fonction ce qui constitue intuitivement sa vitesse de variation : si je me déplace d'une "quantité" donnée sur l'espace de départ, est ce que f induit une variation rapide/lente sur l'espace d'arrivé ?

    La notion de métrique est à l'origine un synonyme de distance, c'est à dire une façon d'évaluer quantitativement la séparation de deux point d'un ensemble.

    Dans les espaces un peu bizzares que sont les variétés différentielles, le tenseur métrique est un objet fournissant une notion de distance. C'est donc un moyen (mais pas le seul ) de mesurer une variation et donc d'en déduire un opérateur de dérivation correspondant (appelé une connexion).

  21. #16
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Citation Envoyé par Burakumin Voir le message
    Ici si l'on voulait donner une expression de ce serait par exemple quelque chose comme :

    Pourquoi faire intervenir un produit tensoriel et pas tout simplement = dxiei ?

    Si je fais l'analogie avec le produit scalaire en développant les vecteur u et v sur la même base {ei} u = uiei et v = vjej

    le produit scalaire u . v donne uivj ei.ej avec gij = ei.ej on a u . v = gij uivj .


    uivj sont les composantes 2 fois contravariantes, dans la base {ei}, du produit tensoriel le plus général

    La quantité u . v est la multiplication contracté complète des quantités gij par les quantités uivj

    Patrick

  22. #17
    Burakumin

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Pourquoi faire intervenir un produit tensoriel et pas tout simplement = dxiei ?
    Parce que est un vecteur / champs de vecteur et est une forme linéaire / forme différentielle. C'est la que la vision de comme "petite varation de " trouve ses limites. Ce n'est pas un nombre !

    Donc si tu veux effectuer une opération entre eux s'apparentant à un produit, il faut savoir duquel on parle.

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Si je fais l'analogie avec le produit scalaire en développant les vecteur u et v sur la même base { ei} u = uiei et v = vjej

    le produit scalaire u . v donne uivj ei.ej avec gij = ei.ej on a u . v = gij uivj .


    uivj sont les composantes 2 fois contravariantes, dans la base {ei}, du produit tensoriel le plus général

    La quantité u . v est la multiplication contracté complète des quantités gij par les quantités uivj

    Patrick
    Sauf que le produit scalaire est un nombre et à priori l'élément noté n'en n'est certainement pas un. Dans ton expression gij uivj toute les entités sont des nombres : ce sont des coordonnées dans une base.

    Pour faire le produit dxiei, qui ne peut donc pas etre une simple multiplication de nombres réels, il n'y a a priori que de choix : un produit tensoriel ou un produit contracté (c'est à dire le crochet de dualité)

    étant dans la façon dont je l'utilisais la base duale de , le produit contracté serait tout simplement l'entier n, dimension de l'espace ...

  23. #18
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Citation Envoyé par Burakumin Voir le message
    Parce que est un vecteur / champs de vecteur et est une forme linéaire / forme différentielle.
    ...
    J'utilise la convention d'écriture d'Einstein.

    Le produit scalaire est bien une forme bilinéaire (linéaire pour chacun des vecteurs) non ?

    Le vecteur u en convention Einstein s'écrit uiei la base est {ei} et ui ses composantes. Si le vecteur u est fixé la forme Fu(v) = u .v est une forme linéaire.

    Le produit scalaire de deux vecteurs quelconques u.v s'obtient par l'expression (dans la base {ei}) : gijuivj. Dans un espace euclidien il peut s'écrire sous une quelconque des formes : gijuivj = uivj = uivj = gijuivj

    Maintenant le cas le plus simple : La différentielle d'un champ scalaire (tenseur variance (0,0)) peut se mettre sous la forme d'un produit scalaire : (gradient du champ scalaire/champ de vecteur) . (accroissement élémentaire) non ?

    Patrick

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  25. #19
    Burakumin

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Le produit scalaire est bien une forme bilinéaire (linéaire pour chacun des vecteurs) non ?
    Effectivement mais le terme produit scalaire (comme beaucoup de termes) possède une ambigüité. L'application produit scalaire est bien une certaine forme bilinéaire, mais le produit scalaire de deux vecteurs désigne le résultat de l'évaluation de cette forme sur le couple de vecteur, ce qui est bien un nombre. Lorsque tu écris u .v tu désigne un nombre (le résultat de l'évaluation du produit scalaire) et pas l'application elle même.

    Lorsqu'on dit, (comme tu le fais) que est une forme linéaire, on opère en fait un raccourci pour dire que définie par est une forme linéaire. On va dire que je chippote mais ici la différence a son importance

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Maintenant le cas le plus simple : La différentielle d'un champ scalaire (tenseur variance (0,0)) peut se mettre sous la forme d'un produit scalaire : (gradient du champ scalaire/champ de vecteur) . (accroissement élémentaire) non ?
    Ce qui me gène c'est encore une fois la vision naive qui consiste à dire que est un accroissement élémentaire. Ca explique intuitivement certaines choses mais si on veut une compréhension complète, il faut se rendre à l'évidence que ce truc n'est pas un nombre, même infinitésimal. Il ne peut donc être utilisé comme coordonnées d'un vecteur (ce n'est pas un élément d'un corps).

    Si on laisse de coté cette aspect, il est vrai qu'on peut écrire la différentielle au moyen de l'application produit scalaire (je comprends un peu mieux ou tu voulais en venir). Mais certainement pas uniquement avec ce produit scalaire. Autrement dit, l'information de vitesse de variation qu'est sensé contenir la différentielle est, dans le membre de droite de l'équation, portée par le gradient, pas par le produit scalaire. Donc dire qu'une différentielle c'est un produit scalaire (ou un tenseur métrique) me semble passer à coté de l'essentiel ...

    Un dernier point. La différentielle est une opération beaucoup plus naturelle, plus primitive que le gradient. Ce dernier nécessite l'existence/le choix d'un produit scalaire (ce qui n'a RIEN D'OBLIGATOIRE pour un espace vectoriel quelconque MEME EN DIMENSION FINIE). Donc il me semble erroné de vouloir la définir comme "composée" d'entités plus primitives que serait le gradient, le produit scalaire et un accroissement.

  26. #20
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Citation Envoyé par Burakumin Voir le message
    ...
    Merci pour toutes ces précisions. Je comprends mieux les différences.

    Patrick

  27. #21
    mach3
    Modérateur

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Citation Envoyé par Burakumin Voir le message
    Ce qui me gène toujours un peu dans ce style de notation c'est qu'elle utilise des objets mathématiques sans en donner vraiment une définition. Ici si l'on voulait donner une expression de ce serait par exemple quelque chose comme :



    le produit avec étant un produit contracté rendu possible par l'existence d'un produit scalaire.
    Pour moi n'est pas un produit scalaire, mais l'application d'une forme linéaire sur le vecteur x. Vu que cela revient à la somme des produit des composante, ça ressemble à produit scalaire, mais ça n'en ai pas un.
    Le produit scalaire est une forme bilinéaire sur deux vecteurs du même espace, alors que et ne font pas parti du même espace. Le premier est une forme qui fait parti de l'espace dual de l'espace du second.

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  28. #22
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Bonjour,

    Si on prend la définition mathématique donnée par WIKI. Gradient d'une fonction d'un espace de dimension finie vers ce définit bien effectivement par rapport à la notion de différentielle mais pas l'inverse.


    Soit U un ouvert de . Soit f : U une fonction différentiable. Soit , on note alors la différentielle en a, notée , qui est une forme linéaire sur . On note l'image par cette différentielle d'un vecteur .

    En application du théorème de Lax-Milgram en dimension finie, on sait qu'il existe un vecteur A tel que pour vecteur , où < | > est le produit scalaire dans .

    Le vecteur A est appelé gradient de f en a, et il est noté . Il vérifie donc :


    Et c'est bien l'image par cette différentielle (qui est une forme linéaire) d'un vecteur u qui est le résultat du produit scalaire.

    Il est aussi noté que :

    En physique, en analyse vectorielle, on définit le gradient comme une grandeur vectorielle qui indique de quelle façon une grandeur physique varie dans l'espace. En mathématiques, le gradient est un vecteur représentant la variation d'une fonction par rapport à la variation de ses différents paramètres.
    Patrick

  29. #23
    invite765432345678
    Invité

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    J'utilise la convention d'écriture d'Einstein.

    Le produit scalaire est bien une forme bilinéaire (linéaire pour chacun des vecteurs) non ?

    Le vecteur u en convention Einstein s'écrit uiei la base est {ei} et ui ses composantes. Si le vecteur u est fixé la forme Fu(v) = u .v est une forme linéaire.

    Le produit scalaire de deux vecteurs quelconques u.v s'obtient par l'expression (dans la base {ei}) : gijuivj. Dans un espace euclidien il peut s'écrire sous une quelconque des formes : gijuivj = uivj = uivj = gijuivj

    Maintenant le cas le plus simple : La différentielle d'un champ scalaire (tenseur variance (0,0)) peut se mettre sous la forme d'un produit scalaire : (gradient du champ scalaire/champ de vecteur) . (accroissement élémentaire) non ?

    Patrick
    Peux t-on combiner deux champs rotationnels de telle manière à obtenir en final un seul champ unidirectionnel ? Existe t-il des points singuliers ? Cette question a t-elle un sens ?

  30. #24
    Burakumin

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Citation Envoyé par mach3 Voir le message
    Pour moi n'est pas un produit scalaire, mais l'application d'une forme linéaire sur le vecteur x. Vu que cela revient à la somme des produit des composante, ça ressemble à produit scalaire, mais ça n'en ai pas un.
    Le produit scalaire est une forme bilinéaire sur deux vecteurs du même espace, alors que et ne font pas parti du même espace. Le premier est une forme qui fait parti de l'espace dual de l'espace du second.

    m@ch3
    Evidemment, si pour toi représente une forme, et ne font pas parti du même espace. Mais alors où est la différence avec la différentielle de f ? Nulle part ! Pourquoi ne pas simplement écrire dans ce conditions :



    Si par contre on considère qu'il y a bien une différence, elle réside dans le fait que le gradient est un champ de vecteurs alors que la différentielle est un champ de forme linéaire. Si on note, pour rendre les choses plus visible le produit scalaire et le crochet de dualité on a pour tout vecteur et en tout point P:



    Donc df peut s'écrire au point P :

    ou encore si l'on convient que " . " désigne le produit contracté des tenseurs euclidiens (rendu possible par l'existence de g) :

    où I est simplement le tenseur identité dual, qui s'écrit dans n'importe quelle base avec convention d'Einstein : . On peut le noter si ça nous chante et écrire :



    Pour terminer j'ai envie de faire le même genre remarque à propos de l'élément qu'on trouve dans le theoreme de Stokes (version physique). On le définit généralement comme le produit de par le vecteur défini comme normal à la surface. Evidemment ca pose encore la même difficulté puisque n'est toujours pas un nombre ... On peut toutefois le définir dans une base orthonormé quelconque comme :

    Cette formule étant invariante apr changement de base orthonormée ...

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  32. #25
    mach3
    Modérateur

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Citation Envoyé par Burakumin Voir le message
    Evidemment, si pour toi représente une forme, et ne font pas parti du même espace. Mais alors où est la différence avec la différentielle de f ? Nulle part ! Pourquoi ne pas simplement écrire dans ce conditions :



    Si par contre on considère qu'il y a bien une différence, elle réside dans le fait que le gradient est un champ de vecteurs alors que la différentielle est un champ de forme linéaire.
    ben pour moi, naïvement est une 1-forme qui quand on l'applique à un vecteur donne un scalaire. Je vois ça comme le produit d'une matrice ligne par une matrice colonne.

    Tu voles un peu trop haut pour moi, je n'ai pas encore atteint ce niveau de compréhension, et je peine à bien te suivre

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  33. #26
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Citation Envoyé par Burakumin Voir le message

    ou encore si l'on convient que " . " désigne le produit contracté des tenseurs euclidiens (rendu possible par l'existence de g) :

    où I est simplement le tenseur identité dual, qui s'écrit dans n'importe quelle base avec convention d'Einstein : .
    Dans la multiplication contractée ne contracte ton pas un indice contravariant avec un indice covariant (ou l'inverse) ?

    Le tenseur découlant de la multiplication contractée n'est il pas plutôt avec pour composantes ?

    La multiplication contractée d'un tenseur une fois covariant (forme f) avec un tenseur une fois contravariant (vecteur u) ne permet t'elle pas d'obtenir un scalaire qui dans une base donné, sécrit fiui. Le résultat correspond bien à l'action d'une forme linéaire représenté par le tenseur f sur le vecteur u non ?


    Patrick

  34. #27
    LPFR

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Bonjour.
    Et si on revenait sur terre et à la physique en tenant en compte la question originale?

    J'avais la flemme de faire un petit dessin pour répondre a Mathier et pour illustrer la réponse de Mach3 (post #9), que je trouve être la plus pertinente, mais vue la teneur des messages, je me sens obligé.

    La partie hachurée est un morceau de la surface de la fonction (ou du terrain).
    Au revoir.
    Images attachées Images attachées  

  35. #28
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Citation Envoyé par LPFR Voir le message
    Bonjour.
    Et si on revenait sur terre et à la physique en tenant en compte la question originale?
    J'ai attendu l'intervention de Mathier http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2494606 pour chercher à aller plus en profondeur dans la compréhension de la différentielle proposé par Michel et l'étendre à une représentation sous forme de tenseur afin d'avoir un exemple concret sur l'usage des tenseurs.

    Patrick

  36. #29
    invité576543
    Invité

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Cela illustre l'inconvénient de continuer sur un fil en changeant un peu le sujet.

    Même si c'est un poil plus compliqué, il me semble qu'il eût été mieux de démarrer une nouvelle discussion.

    Cordialement,

  37. #30
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Signification physique d'une différentielle exacte

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Cela illustre l'inconvénient de continuer sur un fil en changeant un peu le sujet.
    Il y a aussi des cas inverses comme ce fil http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2496780 ou on a perdu le fil du sujet et tous son contexte avec non ?

    Maintenant je ne vois aucun incovénient qu'un modérateur génère un nouveau fil à partir du message #11 http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2494725 et en ne déplaçant pas le message http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2497019 de LPFR.

    Patrick

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