bonjour,
je m'interroge sur la signification physique d'une différentielle, j'en ai besoin pour un cours de thermodynamique chimique
si je prends une fonction f ayant deux variables x et y, sa différentielle exacte ou totale exacte est:
le 1er terme correspond à une variation de f par rapport à x tout en laissant y constant
est la variation de f par rapport à x
pourquoi remultiplier par dx ?
merci
*** latex corrigé ***
cata j'ai essayé d'utiliser LATEX et c raté
désolé
Il faut juste que tu évites de coller les items spéciaux (terme non consacré mais je voyais pas autre chose) genre "\partial" qui va donner une fois mis entre deux balise texEnvoyé par mathier
Parce que df n'est pas une application à valeur réelle. Autrement dit, sa valeur en un point P =(x,y) donné (la quantité df(P) donc) n'est pas un nombre mais une forme linéaire (parfois appelé covecteur).bonjour,
je m'interroge sur la signification physique d'une différentielle, j'en ai besoin pour un cours de thermodynamique chimique
si je prends une fonction f ayant deux variables x et y, sa différentielle exacte ou totale exacte est:
le 1er terme correspond à une variation de f par rapport à x tout en laissant y constant
pourquoi remultiplier par dx ?
La compréhension correcte de ce genre de chose nécessiterait quelques notions en dualité. Malheureusement, on explique absolument pas ce genre de chose dans les cours standards de thermodynamique.
En faite ce qu'il faut comprendre intuitivement c'est que l'objet
alors
On pourrait expliquer les choses plus en profondeur mais il faudrait que tu indiques ce que tu ne comprends pas et quelles sont tes connaissances en algèbre linéaire.
Une manière "simple" de montrer cela est de regarder la variation
On a
Cela fait apparaître la différentielle en un point comme une "sorte de vecteur", et (dx, dy) comme une base. Il s'agit en fait de formes, mais les formes constituent un espace vectoriel, et sont des vecteurs d'une certaine manière.
Le point important est de voir la différentielle non comme un scalaire mais comme une sorte de vecteur dont les coordonnées s'expriment simplement dans la base particulière (dx, dy).
Cordialement,
Bonjour,
de mon point de vue, les relations differentielles n'eclaircissent pas la signification physique : "l'integrale sur une boucle s'annulle" est la vraie signification physique. Corrolaire : l'integrale ne depend pas du chemin, mais seulement des points de depart et d'arrivee, que l'on traduit souvent en physique par "fonction d'etat".
Ca c'est pour une "différentielle exacte", ce qui est le cas quand on part d'une fonction.
La question d'origine ne semble pas porter sur la notion de "différentielle exacte", si?
Cordialement,
Peut-etre ai-je mal interprete ce dont il s'agit. J'ai suppose que le titre, associe a la mention explicite de la thermodynamique, indiquaient que la question portait sur la signification physique d'une differentielle exacte, et je n'ai pas ete clair sur le fait que pour comprendre l'idee de differentielle exacte, il ne faut pas partir d'une fonction.
Evidemment si l'on suppose l'existence d'une fonction
Mais si l'on fait de la thermodynamique, je crois que la premiere chose a dire pour expliquer
c'est la notion de differentielle exacte.
Je reconnais cependant ne pas etre toujours tres pedagogue ! D'ailleurs, a relire le message initial, je realise qu'effectivement mathier semble avoir des difficultes simplement avec la notion de "derivation", avant meme celle de "differentielle exacte".
Considère toi sur une montagne, avec f l'altitude et x et y les latitude et longitude.
dx est un petit déplacement en latitude, dy est un petit déplacement en longitude et df un petit déplacement en altitude. Comme tu es forcé de rester au sol (tu ne voles pas), alors ces trois déplacements sont liées.
Imagine que tu ne te déplaces d'abord qu'en latitude de (x0,y0) à (x1,y0), alors ta variation d'altitude sera l'intégrale de
Quand tu vas d'un point (x0,y0) à un point (x1,y1) en te balladant sur une montagne, la différence d'altitude entre ces deux points ne dépend pas de ton chemin. On peut donc au lieu de ce déplacer seulement en latitude puis seulement en longitude, se déplacer en longitude puis en latitude. On intègre donc
On peut même considérer n'importe quel chemin biscornu, et dans ce cas on intégrera successivement des petits déplacement en latitude et des petits déplacement en longitude.
Au final le plus simple, vu que ça ne dépend pas du chemin, c'est d'intégrer directement
afin de savoir quel sera la variation d'altitude.
je ne sais pas si ça t'éclaire un peu cette vision terre à terre
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
merci a tous pour vos réponses
Dixi Wiki au niveau mathématiques il semble aller encore plus loin en donnant une représentation plus généralement de la notion de différentiabilité et de différentielle sans avoir recours à des bases.
Pour une fonction réelle à deux variables z = f(x,y) :Soient E et F deux espaces vectoriels normés, et f une application de E dans F. Soit a un point de E. On abandonne la notation des vecteurs par des flèches dans ce paragraphe.
On dit que f est différentiable en a si et seulement s’il existe une application linéaire continue L de E dans F telle que :
Dans ce cas, L est appelée différentielle de f en a et se note L = df(a).
Remarque : on peut remarquer le changement sémantique entre la première définition, celle de Leibniz – un accroissement très petit –, et celle formalisée de nos jours – une application linéaire. Ce changement est l'aboutissement d'un évolution de plus de trois siècles entre un idée intuitive du calcul infinitésimal et sa formalisation.
Et comme tu le fais remarquer le calcul de
Si la fonction est différentiable, on montre que les coefficients α et β sont bien les dérivées partielles de f. On peut alors écrire
avec l'expression suivante qui est linéaire en
L'application linéaire L est appelée différentielle de f au point
Cette approche "moderne" est elle plus intéressante (ouvre la porte à de nouveaux horizons) pour la physique ?
Patrick
pour avoir pas mal manipuler ce genre d'objets ces derniers temps je peux te dire que se passer de l'expression dans une base donnée à un grand pouvoir simplificateur. Une fois qu'on a assimilé et pris l'habitude, écrire:Cette approche "moderne" est elle plus intéressante (ouvre la porte à de nouveaux horizons) pour la physique ?
devient bien plus compact, signifiant et opérationnel que
surtout quand on bosse en n dimensions.
En plus tu es sur que le choix de la base n'y est pour rien dans les résultats ou les propriétés que tu démontres.
Dans une démo sur laquelle j'ai travaillé un moment, j'avais commencé avec des dérivées partielles, et je m'était vite retrouvé avec des expressions de plusieurs lignes et dont je n'arrivais même plus à saisir le sens physique des termes. Quand je suis passé en vectoriel/matriciel, c'est devenu d'un seul coup beaucoup plus parlant et évident (après évidemment un temps d'adaptation à ces "nouveaux" objets)
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
Peut-on dire que la différentielle est une métrique que l'on peut exprimer sous forme tensorielle gijuivi ?
Le tenseur métrique inverse dont les composantes sont les quantités gij correspondrait à qu'elle entité ?
Patrick
Si on considère la surface courbe (voire même accidentée) d'une montagne, elle doit être décrite par une métrique qui est en relation avec le gradient, plus précisément avec la différentielle du gradient qui elle est un tenseur symétrique multiplié par un vecteur infinitésimal.
Dans une base donnée, les composante de ce tenseur sont les dérivées secondes partielles, c'est à dire des courbures.
Cependant je ne suis pas encore bien à l'aise avec la notion de métrique en espace courbe. Je ne peux donc t'en dire plus sur le lien entre la métrique et ce tenseur sans spéculer sur des choses non encore acquises.
sinon, j'ai oublié un d dans mon précédent post, il s'agit de
si un modo peut passer faire la correction?
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
Ce qui me gène toujours un peu dans ce style de notation c'est qu'elle utilise des objets mathématiques sans en donner vraiment une définition. Ici si l'on voulait donner une expression de
le produit avec
Mais surtout, le probleme est que ce genre de formule incite à croire que la différentielle (d'un champs scalaire) se défini à partir du gradient. Or il me semble plus correct de considérer l'inverse.
Non il ne me semble pas correcte de dire que la différentielle est une métrique ...
L'opération de dérivation/différentiation est une opération fondamentale des mathématiques qui a été au fil du temps généralisée à des fonctions de plus en plus exotiques (dans les cas les plus généraux on est meme pas obligé de considérer des fonctions).
Un opérateur de dérivation est une transformation qui extrait d'une fonction ce qui constitue intuitivement sa vitesse de variation : si je me déplace d'une "quantité" donnée sur l'espace de départ, est ce que f induit une variation rapide/lente sur l'espace d'arrivé ?
La notion de métrique est à l'origine un synonyme de distance, c'est à dire une façon d'évaluer quantitativement la séparation de deux point d'un ensemble.
Dans les espaces un peu bizzares que sont les variétés différentielles, le tenseur métrique est un objet fournissant une notion de distance. C'est donc un moyen (mais pas le seul ) de mesurer une variation et donc d'en déduire un opérateur de dérivation correspondant (appelé une connexion).
Pourquoi faire intervenir un produit tensoriel et pas tout simplementIci si l'on voulait donner une expression de
Si je fais l'analogie avec le produit scalaire en développant les vecteur u et v sur la même base {ei} u = uiei et v = vjej
le produit scalaire u . v donne uivj ei.ej avec gij = ei.ej on a u . v = gij uivj .
uivj sont les composantes 2 fois contravariantes, dans la base {ei}, du produit tensoriel le plus général
La quantité u . v est la multiplication contracté complète des quantités gij par les quantités uivj
Patrick
Parce quePourquoi faire intervenir un produit tensoriel et pas tout simplement
Donc si tu veux effectuer une opération entre eux s'apparentant à un produit, il faut savoir duquel on parle.
Sauf que le produit scalaire est un nombre et à priori l'élément notéSi je fais l'analogie avec le produit scalaire en développant les vecteur u et v sur la même base { ei} u = uiei et v = vjej
le produit scalaire u . v donne uivj ei.ej avec gij = ei.ej on a u . v = gij uivj .
uivj sont les composantes 2 fois contravariantes, dans la base {ei}, du produit tensoriel le plus général
La quantité u . v est la multiplication contracté complète des quantités gij par les quantités uivj
Patrick
Pour faire le produit dxiei, qui ne peut donc pas etre une simple multiplication de nombres réels, il n'y a a priori que de choix : un produit tensoriel ou un produit contracté (c'est à dire le crochet de dualité)
J'utilise la convention d'écriture d'Einstein.Parce que
...
Le produit scalaire est bien une forme bilinéaire (linéaire pour chacun des vecteurs) non ?
Le vecteur u en convention Einstein s'écrit uiei la base est {ei} et ui ses composantes. Si le vecteur u est fixé la forme Fu(v) = u .v est une forme linéaire.
Le produit scalaire de deux vecteurs quelconques u.v s'obtient par l'expression (dans la base {ei}) : gijuivj. Dans un espace euclidien il peut s'écrire sous une quelconque des formes : gijuivj = uivj = uivj = gijuivj
Maintenant le cas le plus simple : La différentielle d'un champ scalaire (tenseur variance (0,0)) peut se mettre sous la forme d'un produit scalaire : (gradient du champ scalaire/champ de vecteur) . (accroissement élémentaire) non ?
Patrick
Effectivement mais le terme produit scalaire (comme beaucoup de termes) possède une ambigüité. L'application produit scalaire est bien une certaine forme bilinéaire, mais le produit scalaire de deux vecteurs désigne le résultat de l'évaluation de cette forme sur le couple de vecteur, ce qui est bien un nombre. Lorsque tu écris u .v tu désigne un nombre (le résultat de l'évaluation du produit scalaire) et pas l'application elle même.
Lorsqu'on dit, (comme tu le fais) que
Ce qui me gène c'est encore une fois la vision naive qui consiste à dire que
Si on laisse de coté cette aspect, il est vrai qu'on peut écrire la différentielle au moyen de l'application produit scalaire (je comprends un peu mieux ou tu voulais en venir). Mais certainement pas uniquement avec ce produit scalaire. Autrement dit, l'information de vitesse de variation qu'est sensé contenir la différentielle est, dans le membre de droite de l'équation, portée par le gradient, pas par le produit scalaire. Donc dire qu'une différentielle c'est un produit scalaire (ou un tenseur métrique) me semble passer à coté de l'essentiel ...
Un dernier point. La différentielle est une opération beaucoup plus naturelle, plus primitive que le gradient. Ce dernier nécessite l'existence/le choix d'un produit scalaire (ce qui n'a RIEN D'OBLIGATOIRE pour un espace vectoriel quelconque MEME EN DIMENSION FINIE). Donc il me semble erroné de vouloir la définir comme "composée" d'entités plus primitives que serait le gradient, le produit scalaire et un accroissement.
Merci pour toutes ces précisions. Je comprends mieux les différences.
Patrick
Pour moiCe qui me gène toujours un peu dans ce style de notation c'est qu'elle utilise des objets mathématiques sans en donner vraiment une définition. Ici si l'on voulait donner une expression de
le produit avec
Le produit scalaire est une forme bilinéaire sur deux vecteurs du même espace, alors que
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
Bonjour,
Si on prend la définition mathématique donnée par WIKI. Gradient d'une fonction d'un espace de dimension finie vers
Et c'est bien l'image par cette différentielle (qui est une forme linéaire) d'un vecteur u qui est le résultat du produit scalaire.
Soit U un ouvert de
En application du théorème de Lax-Milgram en dimension finie, on sait qu'il existe un vecteur A tel que pour vecteur
Le vecteur A est appelé gradient de f en a, et il est noté
Il est aussi noté que :
PatrickEn physique, en analyse vectorielle, on définit le gradient comme une grandeur vectorielle qui indique de quelle façon une grandeur physique varie dans l'espace. En mathématiques, le gradient est un vecteur représentant la variation d'une fonction par rapport à la variation de ses différents paramètres.
Peux t-on combiner deux champs rotationnels de telle manière à obtenir en final un seul champ unidirectionnel ? Existe t-il des points singuliers ? Cette question a t-elle un sens ?
Evidemment, si pour toiPour moi
Le produit scalaire est une forme bilinéaire sur deux vecteurs du même espace, alors que
m@ch3
Si par contre on considère qu'il y a bien une différence, elle réside dans le fait que le gradient
Donc df peut s'écrire au point P :
ou encore si l'on convient que " . " désigne le produit contracté des tenseurs euclidiens (rendu possible par l'existence de g) :
où I est simplement le tenseur identité dual, qui s'écrit dans n'importe quelle base avec convention d'Einstein :
Pour terminer j'ai envie de faire le même genre remarque à propos de l'élément
Cette formule étant invariante apr changement de base orthonormée ...
ben pour moi, naïvementEvidemment, si pour toi
Si par contre on considère qu'il y a bien une différence, elle réside dans le fait que le gradient
Tu voles un peu trop haut pour moi, je n'ai pas encore atteint ce niveau de compréhension, et je peine à bien te suivre
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
Dans la multiplication contractée ne contracte ton pas un indice contravariant avec un indice covariant (ou l'inverse) ?
ou encore si l'on convient que " . " désigne le produit contracté des tenseurs euclidiens (rendu possible par l'existence de g) :
où I est simplement le tenseur identité dual, qui s'écrit dans n'importe quelle base avec convention d'Einstein :
Le tenseur découlant de la multiplication contractée n'est il pas plutôt
La multiplication contractée d'un tenseur une fois covariant (forme f) avec un tenseur une fois contravariant (vecteur u) ne permet t'elle pas d'obtenir un scalaire qui dans une base donné, sécrit fiui. Le résultat correspond bien à l'action d'une forme linéaire représenté par le tenseur f sur le vecteur u non ?
Patrick
Bonjour.
Et si on revenait sur terre et à la physique en tenant en compte la question originale?
J'avais la flemme de faire un petit dessin pour répondre a Mathier et pour illustrer la réponse de Mach3 (post #9), que je trouve être la plus pertinente, mais vue la teneur des messages, je me sens obligé.
La partie hachurée est un morceau de la surface de la fonction (ou du terrain).
Au revoir.
J'ai attendu l'intervention de Mathier http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2494606 pour chercher à aller plus en profondeur dans la compréhension de la différentielle proposé par Michel et l'étendre à une représentation sous forme de tenseur afin d'avoir un exemple concret sur l'usage des tenseurs.
Patrick
Cela illustre l'inconvénient de continuer sur un fil en changeant un peu le sujet.
Même si c'est un poil plus compliqué, il me semble qu'il eût été mieux de démarrer une nouvelle discussion.
Cordialement,
Il y a aussi des cas inverses comme ce fil http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2496780 ou on a perdu le fil du sujet et tous son contexte avec non ?
Maintenant je ne vois aucun incovénient qu'un modérateur génère un nouveau fil à partir du message #11 http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2494725 et en ne déplaçant pas le message http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2497019 de LPFR.
Patrick
