Signification physique d'une différentielle exacte

[invite6754323456711]

Existe-t-il une notation pour indiquer qu'un objet est une forme
m@ch3

Une étoile non ?

Patrick
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[invité576543]

C'est juste qu'on se donne un espace vectoriel au départ et qu'ensuite on défini le dual, mais on aurait très bien pu partir du dual au départ.

Tout à fait. Mais on parle de notations, donc de méthode pour échanger des informations, pour communiquer. Ce sont des conventions, mais cela aide quand même.

La notion mathématique de vecteur est très large, d'accord. Le "prototype" de la notion de vecteur reste néanmoins la notion physique de "quantité dans une direction spatiale ". A ce sens-là (physique) il n'y a pas d'ambiguité entre "vecteurs" et les formes correspondantes.

Et la flêche rappelle bien visuellement cette notion de "quantité dans une direction spatiale".

Existe-t-il une notation pour indiquer qu'un objet est une forme, comme on met une petite flèche (ou alors en gras) pour un "vrai" vecteur.

Il en existe plein, ce qui plutôt un problème. Comme écrire v_i et f_i, ou |v> et <f|.

Le problème est que chaque notation est utilisée dans un domaine particulier et qu'on perd ainsi l'idée d'ensemble.

Perso celle que je préfère c'est la notation avec indices, que je ne vois pas comme des coordonnées, mais juste comme un "typage" de l'objet. L'avantage principal que j'y vois est que cela permet d'indiquer en clair les contractions pour les différents ordres de tenseur, ce que ne permettent pas les autres notations.

Et je réserve la flêche aux vecteurs en 3D spatial... Mais ce sont mes choix personnels, d'amateur!

Cordialement,

[mach3]

La notion mathématique de vecteur est très large, d'accord. Le "prototype" de la notion de vecteur reste néanmoins la notion physique de "quantité dans une direction spatiale ". A ce sens-là (physique) il n'y a pas d'ambiguité entre "vecteurs" et les formes correspondantes.

Le problème est que dans le cas que j'ai étudié, aucun des deux espaces n'est "spatial" au sens position dans l'espace 3D physique donc dans certain cas comme le mien, ça reste complétement ambiguë.

Perso celle que je préfère c'est la notation avec indices, que je ne vois pas comme des coordonnées, mais juste comme un "typage" de l'objet. L'avantage principal que j'y vois est que cela permet d'indiquer en clair les contractions pour les différents ordres de tenseur, ce que ne permettent pas les autres notations.

faudra que j'étudie comment marche cette notation, ça pourrait être interessant. Ce serait ce qu'on vois de temps en temps sous le nom "notation d'einstein"?

m@ch3

[invité576543]

faudra que j'étudie comment marche cette notation, ça pourrait être interessant. Ce serait ce qu'on vois de temps en temps sous le nom "notation d'einstein"?

Oui, pour la contraction.

Si vⁱ est un vecteur et f_i une forme, alors vⁱf_i est un scalaire, le résultat de la forme sur le vecteur (ou du vecteur sur la forme ).

Le produit scalaire usuel de deux vecteurs se note g_ijvⁱw^j, avec indication explicite de la métrique.

Etc.

Quand les indices sont différents, cela dénote un produit tensoriel, par exemple vⁱw^j est un tenseur d'ordre 2.

Cordialement,

[invite6754323456711]

Oui, pour la contraction.

Si vⁱ est un vecteur et f_i une forme, alors vⁱf_i est un scalaire, le résultat de la forme sur le vecteur (ou du vecteur sur la forme ).

Le produit scalaire usuel de deux vecteurs se note g_ijvⁱw^j, avec indication explicite de la métrique.

Etc.

Quand les indices sont différents, cela dénote un produit tensoriel, par exemple vⁱw^j est un tenseur d'ordre 2.

Cordialement,

Maintenant dans un espace Euclidien si on utilise les bases réciproques nous avons aussi le produit scalaire qui s'écrit sous la forme vⁱu_i. Expression est valable dans toutes les bases.

Un tenseur d'ordre p + q est toujours défini dans l'espace vectoriel euclidien; son type de variance (p,q) étant déterminé par le fait qu'on l'exprime à l'aide de p vecteur e_i et q vecteur e^j. Il n'est pas besoin d'introduire l'espace dual.

Patrick

[invité576543]

Il n'est pas besoin d'introduire l'espace dual.

Je ne comprends pas trop la logique de tout cela.

L'espace dual n'est pas introduit par "besoin": une application linéaire c'est une application linéaire, et les applications linéaires se structurent en espace vectoriel. Les applications linéaires ont un sens par elles-mêmes sans même un quelconque "besoin" de les introduire.

C'est le besoin de l'introduction de cette notion d'espace réciproque (un simple jeu sur des isomorphismes, à ce que j'en comprends) qu'il faudrait expliquer.

Cordialement,

[invite6754323456711]

C'est le besoin de l'introduction de cette notion d'espace réciproque (un simple jeu sur des isomorphismes, à ce que j'en comprends) qu'il faudrait expliquer.

C'est justement ce que je cherche à comprendre car il possède les mêmes propriétés de linéarité.

Pour tout problème physique s'exprimant dans un espace euclidien est il besoin d'introduire la notion d'espace dual et donc de forme linéaire ?

Patrick

[gatsu]

C'est justement ce que je cherche à comprendre car il possède les mêmes propriétés de linéarité.

Pour tout problème physique s'exprimant dans un espace euclidien est il besoin d'introduire la notion d'espace dual et donc de forme linéaire ?

Patrick

De ce que j'ai compris "l'avantage" du dual par rapport au réciproque c'est qu'il est définissable indépendamment d'une métrique sur l'espace de départ ce qui n'est parfois pas négligeable.

[invite6754323456711]

De ce que j'ai compris "l'avantage" du dual par rapport au réciproque c'est qu'il est définissable indépendamment d'une métrique sur l'espace de départ ce qui n'est parfois pas négligeable.

Merci c'est la conclusion vers laquelle je tendais car c'est la seule différence qui apparaissait dans mes lectures.

Patrick

[invité576543]

Pour tout problème physique s'exprimant dans un espace euclidien est il besoin d'introduire la notion d'espace dual et donc de forme linéaire ?

Je ne comprends pas cette notion de "besoin".

La notion d'application linéaire est importante par elle-même.

La notion d'application f:E --> K est importante. Et parmi celles-ci les applications linéaires ont un rôle particulier en liaison même avec la notion d'espace vectoriel.

Vectoriel = linéarité, pourquoi s'étonner (ou parler de "besoin"?) que les applications linéaires aient un rôle important?

---

La notion d'espace réciproque n'est (pour moi) qu'une manière assez tordue de représenter les applications linéaires, demandant l'introduction d'une base, choisie plus ou moins arbitrairement (ou plutôt, de manière ad-hoc à chaque problème rencontré). Je ne vois pas l'intérêt de remplacer des notions intrinsèques (application et linéarité) par une représentation particulière.

Cordialement,

[invite6754323456711]

Je ne comprends pas cette notion de "besoin".

"besoin" est à comprendre au sens "intérêt".

Ta réponse en complément de celle de gatsu me convient très bien. L'introduction de l'espace dual est plus "générique". Le produit scalaire n'étant qu'une forme linaire spéciale.

Patrick

[invité576543]

"besoin" est à comprendre au sens "intérêt".

Si c'est sur ce plan là, c'est encore plus simple. Il y a, pour moi, autant d'intérêt à introduire les applications linéaires qu'à introduire les espaces vectoriels, pas plus pas moins.

Simplement parce que les applications linéaires sont les morphismes correspondant à la structure vectorielle, et qu'en maths l'introduction d'une structure va main dans la main avec l'introduction des morphismes correspondants.

Cordialement,

[mach3]

La notion d'espace réciproque n'est (pour moi) qu'une manière assez tordue de représenter les applications linéaires, demandant l'introduction d'une base, choisie plus ou moins arbitrairement (ou plutôt, de manière ad-hoc à chaque problème rencontré). Je ne vois pas l'intérêt de remplacer des notions intrinsèques (application et linéarité) par une représentation particulière.

l'intérêt que je vois, c'est que le formalisme "prêt à l'emploi" espace réel/espace réciproque permet aux cristallographiste d'étudier la théorie de la diffraction sur les cristaux et de résoudre des structures cristalline sans savoir explicitement ce qu'est un espace vectoriel.

m@ch3

[invité576543]

l'intérêt que je vois, c'est que le formalisme "prêt à l'emploi" espace réel/espace réciproque permet aux cristallographiste d'étudier la théorie de la diffraction sur les cristaux et de résoudre des structures cristalline sans savoir explicitement ce qu'est un espace vectoriel.

(pour la partie en bleu)

Cela confirme mon impression que c'est un concept ad-hoc, pour un usage spécifique.

Cordialement,

[philou21]

l'intérêt que je vois, c'est que le formalisme "prêt à l'emploi" espace réel/espace réciproque permet aux cristallographiste d'étudier la théorie de la diffraction sur les cristaux et de résoudre des structures cristalline sans savoir explicitement ce qu'est un espace vectoriel.

m@ch3

Bof...je ne suis vraiment pas persuadé que les cristallographes ignorent tout des espaces vectoriels...

[invite6754323456711]

Bonjour,

Ce qui m'a perturbé, c'est après avoir présenté cette notion de base réciproque dans un espace vectoriel euclidien tous le reste de l'ouvrage ne fait plus usage de l'espace dual.

Les différents types de variance d'un tenseur métrique peuvent être étudier sans l'introduction de l'espace dual. Par exemple la différentielle absolue d'un champ de vecteur ne fait pas appel à la notion d'espace dual (forme linéaire).

C'est le même tenseur métrique qui permet par contraction sur un indice à la fois de changer la variance et de faire passer d'un vecteur de base à son vecteur réciproque.

Patrick

[invité576543]

Ce qui m'a perturbé, c'est après avoir présenté cette notion de base réciproque dans un espace vectoriel euclidien tous le reste de l'ouvrage ne fait plus usage de l'espace dual.

Normal, selon mon interprétation: l'espace réciproque est juste l'espace dual "déguisé". L'isomorphisme entre espace dual et espace réciproque permet d'utiliser le second en lieu et place du premier.

Cordialement,

[invite6754323456711]

Normal, selon mon interprétation: l'espace réciproque est juste l'espace dual "déguisé". L'isomorphisme entre espace dual et espace réciproque permet d'utiliser le second en lieu et place du premier.

Cordialement,

Avec pour différence, comme la souligné gatsu, de l'existence d'une base réciproque nécessite une métrique ce qui n'est pas le cas pour les formes linéaires non ?

Patrick

[invité576543]

Avec pour différence, comme la souligné gatsu, de l'existence d'une base réciproque nécessite une métrique ce qui n'est pas le cas pour les formes linéaires non ?

Je ne le vois pas comme cela (c'est le mot "existence" qui me fait tiquer). Si une métrique est donnée, elle permet de construire un isomorphisme qui amène à parler de base réciproque (si je comprends bien).

Les formes linéaires sont définies pour tout espace vectoriel, sans qu'il y ait besoin de métrique.

Par contre, une fois une métrique choisie parmi l'infinité des métriques possibles d'un espace vectoriel donné, on peut construire des tas de choses, dont la notion de base réciproque d'une base de E.

(Et à bien regarder, je ne suis toujours pas bien sûr de comprendre cette notion d'espace réciproque. J'arrive à voir une série d'isomorphismes, mais pas un espace.)

Cordialement,

[invite6754323456711]

J
(Et à bien regarder, je ne suis toujours pas bien sûr de comprendre cette notion d'espace réciproque. J'arrive à voir une série d'isomorphismes, mais pas un espace.)

C'est une notion sur les vecteurs réciproques (base réciproques à une base donnée). L'espace vectoriel En est inchangé.


Patrick

[Burakumin]

Salut tout le monde

Revenu de vacances , je constate que cette discussion a été beaucoup alimenté. Je ne reviendrais pas sur les notions d'espaces réciproques and co, mais je souhaiterais plutôt régir à des remarques qui m'ont été faite pendant mon absence.

Là tu exagères largement

Je suis désolé. Ma remarque était un peu aggressive et ma phrase donne l'impression que les "physiciens" sont une masse uniforme de gens ayant tous la même façon de voir les choses (ce qui n'est d'ailleurs pas plus vrai pour les mathématiciens). J'ai simplement un peu sur-réagit vis-à-vis de la pique de LPFR.

Mais le titre du fil est "Signification physique d'une différentielle exacte" je ne vois pas en quoi ceci : [...] réponds à la question.

A ce propos, je veux quand même répéter que seul mon premier post répondait à mathier. Le reste de mes messages consistait en une discussion avec ù100fil. Je veux bien croire que ça n'a pas forcément été d'une grande aide pour mathier, mais bon, personne ne va quand même me dire que c'est la première fois qu'un fil sur ce forum évolue par rapport à la question initiale ! A ce que je vois, c'est même souvent l'inverse qui est rare.

En particulier dire que df est une forme linéaire ne signifie strictement rien physiquement.

Ceci soulève un problème interessant. Qu'est ce que la signification physique d'un objet mathématique ? Le vecteur électrique est-il physiquement plus réel que ? Et qu'en est-il du tenseur des contraintes, des vecteurs unitaires ou encore d'une variation infinitésimale ? Sur quelle critère évalue-t-on le degré de réalité physique de ce genre d'entitée ? A mon humble avis, ce genre de débat est plus complexe que ce que Magnétar a l'air de penser et touche clairement à des problèmes de philosophie des sciences. Quoi qu'il en soit, je suis d'avis que si une forme linéaire semble moins "naturelle" c'est qu'on a moins souvent l'occasion de l'utiliser. Mais au final, comme le rappelle Michel (mmy), ce n'est jamais qu'un type de vecteur. Et pas un vecteur exotique de dimension infinie sur le corps ! Non, rien qu'un gentil vecteur réel de dimension . Simplement, pour reprendre Rincevent, ce n'est pas un vecteur "qui vit dans le même espace que le vecteur déplacement élémentaire"

Enfin pour ce qui concerne la dernière partie de la citation, je ne sais pas comment tu fais de la thermodynamique (j'avais suivi de près le fil sur lequel tu essayais de trouver une formulation mathématique de la thermo qui te convenait), mais ce que je pense c'est que si ça ressemble à ce que tu fais dans ce fil alors d'après moi tu n'as toujours pas compris la thermodynamique au mieux tu auras compris son formalisme (deux choses différentes crois moi).

Et bien c'est possible ! Je vais donc réessayer de reparler un peu de thermo, de ce que j'en ai compris, de ce que je peut en dire à mathier et chacun jugera si ce que je dis est sencé ou erroné, si je fais des raccourcis etc (et j'insiste bien : c'est tout à fait possible, je ne prétends pas avoir la science infuse et encore moins en thermo).

En particulier ça n'étonne jamais personne qu'une fonction soit disant d'état puisse s'écrire en fonction de l'humeur du prof comme étant une fonction que de T et N ou bien de S,V et N ou que sais je encore en portant toujours le même nom (en l'occurence U pour l'exemple donné). Du point de vue des maths c'est quand même super maladroit et ça n'aide absolument pas à comprendre ce qu'il se passe.

Je pense que gatsu tape dans le mille à propos d'un des principaux problèmes de la présentation usuelle de la thermo (si ce n'est le principal). Pour moi, la différence fonction / variable d'état ne m'a au mieux pas vraiment fait comprendre ce qui se passait, au pire embrouillé. Un autre problème est qu'on explique rarement que dans et , est un opérateur mais pas . Par ailleurs, est une fonction alors que est un nombre. Ou si l'on souhaite vraiment le voir comme une fonction c'est à la limite une fonction d'un chemin . Evidemment on a toujours pas répondu au problème soulevé par gatsu. est fonction de quoi ? Et (ce qui est en faite la même question) le chemin c'est un chemin défini sur quoi ?

* L'état du système

Pour un système thermo, un état représente ce qu'on imagine intuitivement : un mode d'existence possible du système. Deux états distincts ont des propriétés macroscopiques différentes. Il faut noter que tous les états ne sont pas effectivement rencontrés ! On envisage simplement les états dans lesquels le système pourrait se trouver ; mais au cours d'une manipulation donnée, il est évident que le système ne va effectivement transiter que par certains états. L'ensemble des états potentiels, c'est à ma connaissance ce qu'on appelle trés généralement en physique l'espace des phases (que je noterais ).

Chaque point de l'espace des phase est donc un état possible du système thermo. Un chemin, qui correspond donc à une transformation thermodynamique, c'est une succession d'état dans le temps. Dis plus mathématiquement, c'est une fonction continue du temps dans .

* Fonctions d'état

A chaque état on va pouvoir associer plusieurs grandeurs physiques macroscopiques. C'est ce qu'on appelle une fonction d'état. Le nom parle de lui-même : , , , , , , ,... sont des fonctions qui dépendent de l'état dans lequel on se trouve. Ce sont donc des fonctions définies sur l'espace des phases. J'ai choisi intentionnellement de noter ses grandeur en gras pour pouvoir indiquer que je parle ici de fonctions.

* Dimension du système thermo

Pour deux états distincts (les points et dans ) il se peut tout à fait qu'une fonction d'état ait la même valeur (par exemple ). Par contre il est impossible que toutes les fonctions d'états soient en même temps dans ce cas (on ne peut avoir , , etc). En effet, on a dit que deux états différents et étaient par définition macroscopiquement distincts donc au moins une grandeur marcoscopique doit prendre des valeurs différentes en et .

Pour un système thermo monophasé en (quasi)-équilibre, il s'avère que n'importe quel couple de fonction d'état distinctes a forcément des valeurs différente en deux états. Ainsi par exemple . Le système a 2 dimensions ! Ceci est fondamental ! Ca veut dire que si j'impose une valeur pour la température et une valeur pour la pression, il ne peut y avoir au plus qu'un seul et unique état correspondant (Ici et sont des valeurs et donc ne sont pas notées en gras !). Mathématiquement on pourrait noter pour indiquer que l'état se retrouve à partir des valeurs et grace aux fonctions et .

* Variables d'états

Partant de là, je peux voir par exemple la fonction d'état comme une fonction ou encore comme ou même etc... Bien sûr en pratique on utilise la même notation pour toutes ces fonctions, ce qui est un abus d'écriture. On a en faite

* Exemple

Comme je peux choisir arbitrairement deux grandeurs physiques et exprimer toutes les autres en fonction d'elles, elles reçoivent le nom de variable d'états. Par exemple je choisis le volume et l'entropie et je peux parler des fonctions , , , , , , ,...

Supposons que la figure ci-dessous soit une représentation de . Notez que la forme et les valeurs sont complétement fantaisistes. Le but n'est que d'illustrer qualitativement le fonctionnement.



Pour (enfin) répondre à mathier, comment dés lors peut-on voir ? Et bien moi je le vois comme dans la figure ci-dessous. Une forme linéaire c'est (en dimension 2) un plan qui s'incline dans l'espace (de dimension 3). Une forme différentielle c'est donc un champs de plans inclinés. La différentielle de correspond en faite à tous les plans tangents à la surface . Donc en un point donné indique des inclinaisons possibles pour toutes les directions que je peux prendre. Contrairement à LPFR et Magnétar, je maintiens qu'il est problématique de le voir comme un nombre. Dans le schéma fourni par LPFR, la différentielle c'est pour moi le plan hachuré en gris !



Par contre si je m'interesse à une direction donnée , la quantité mesure effectivement la variation au premier ordre de au point dans la direction . Et là, géométriquement, il s'agit effectivement de la variation de hauteur du plan incliné dans la direction considérée : ceci est bien un nombre.

On peut calculer la dérivé partielle de par rapport à , ce qui nous donne la fonction :



On notera que est également une forme différentielle, dont la forme est (lorsque les variables d'états sont et ) parfaitement triviale : c'est un champs de plans constants inclinés dans la direction de la variable . Même chose évidemment pour .

En tout point on peut faire le produit d'un nombre par une forme linéaire. Cela correspond intuitivement au fait d'augmenter l'inclinaison du plan (si le nombre est dans [1,inf[ ), de la diminuer (si le nombre est dans ]0,1]), l'inverser s'il est négatif, l'aplatir s'il est nul ... On sait donc définir qui est elle-meme une forme linéaire (un plan incliné)



De meme, la somme de deux formes linéaires est intuitivement la combinaison des inclinaisons des plans. est donc défini et il se trouve que c'est la forme linéaire .

Puisque cela est vrai en tout point, on a l'égalité de formes différentielles ( = de champs de plans inclinés)

* Pourquoi V et S ?

Est ce que ça aurait marché pour tout les couples de variables d'état possibles ? La réponse est oui.

Cependant, originalement on a quand même postulées que les fonctions d'états ont valeur dans . Et même si en choisissant des variables d'état particulières, on transforme ces fonctions en fonctions de , l'espace n'est pas ! Il peut simplement être paramétré par . Mais tout paramétrage, c'est à dire tout choix de variables d'état, est arbitraire. Les mathématiciens appellent un espace comme une variété différentielle de dimension 2. Il définisse la notion de différentiation dans les variétés qui est un peu plus abstraite que dans . Ceci permet encore de parler des différentiels des fonctions d'états, vues comme fonctions de .

On peut donc écrire dans lequel aucun choix arbitraire n'est fait.

* Pour finir

Je n'ai pas parler des notions d'intégration sur un chemin et de différentielles exactes et non exactes mais ça fait déjà trop longtemps que je parle et des gens comme gatsu, Michel (mmy) et ù100fil ont pas mal évoqué ces notions.

Wala, en espérant ne pas avoir dit trop de conneries.

[Magnétar]

Bonjour,

Heureux que tu puisses répondre. Alors je vais répondre sur ces nouveaux points même si je pense que l'un d'entre eux en particulier mériterait l'ouverture d'un nouveau fil.

A ce propos, je veux quand même répéter que seul mon premier post répondait à mathier. Le reste de mes messages consistait en une discussion avec ù100fil. Je veux bien croire que ça n'a pas forcément été d'une grande aide pour mathier, mais bon, personne ne va quand même me dire que c'est la première fois qu'un fil sur ce forum évolue par rapport à la question initiale ! A ce que je vois, c'est même souvent l'inverse qui est rare.

Bon j'admets volontier que les fils évoluent. Mais je remarquerais quelque chose quand même quand on reprends la première question de mathier il y a une chose qui saute aux yeux (enfin pour moi) c'est quand il dit que est la variation de f par rapport à x et qu'il demande pourquoi remultiplier par dx. Le premier message qui relève le problème de compréhension immédiat (et qui n'a pas besoins des notions de géo diff pour être expliqué) c'est celui de mach3 où il rappelle que est une pente (on pourrait utiliser "taux de variation") et non une variation, on peut le voir comme un rapport de variation de deux grandeurs, un truc typique de la physique aurait été de faire appelle à de l'analyse dimensionnelle pour pointer l'incohérence qu'il y aurait à ne pas "multiplier" par dx. Hors pour moi son problème de compréhension venait directement de là et non pas dans la difficulté qu'il peut y avoir à assimiler dx, dy ou df à un nombre. Donc en ce qui concerne la réponse à la question il n'y a que deux message à retenir le #6 et le #9 (bien que ce ne soit évidemment pas les seuls qui méritent de l'intérêt). Ce qui au vu du nombre d'intervenants et des concepts utilisés montre (à mon humble avis) la difficulté qu'il y a eu à comprendre cette question (et ça a été une partie de la motivation de mon intervention). En particulier on retrouve des termes très précis dans cette question "Signification physique" et "différentielle exacte" (même le "exacte" est important ).

Ceci soulève un problème interessant. Qu'est ce que la signification physique d'un objet mathématique ? Le vecteur électrique est-il physiquement plus réel que ?

Nous sommes en effet d'accord c'est un problème qui d'après moi est de très haute importance (d'où mon insistance sur le sujet).
Pour répondre à la dernière question pour moi (et je ne prétends pas avoir la réponse absolue) ni le vecteur champ électrique ni la différentielle de U (ou plutôt l'une des différentielles d'une des fonctions que l'on peut associer à la grandeur physique désignée par U) n'est réel (quoique encore faudrait-il s'entendre sur ce que veut dire réel ici mais je suppose que l'on a la même idée).

Qu'est ce que la signification physique d'un objet mathématique ? [...] Sur quelle critère évalue-t-on le degré de réalité physique de ce genre d'entitée ? A mon humble avis, ce genre de débat est plus complexe que ce que Magnétar a l'air de penser et touche clairement à des problèmes de philosophie des sciences.

C'est sur ce genre de sujet qu'il faudrait ouvrir un fil je pense. Cela touche en effet à des problèmes de philosophie des sciences et d'épistémologie. En particulier il y a des liens très forts (d'après moi) avec le problème de la réalité et de la description que l'on en fait à travers des modèles physiques/mathématiques, mais aussi avec des problèmes de sémantique et de langage. Bref je pense quand même me rendre compte un minimum de la complexité du sujet (mais je ne prétends pas tout connaitre de celui-ci)...

Evidemment on a toujours pas répondu au problème soulevé par gatsu. est fonction de quoi ? Et (ce qui est en faite la même question) le chemin c'est un chemin défini sur quoi ?

En ce qui concerne la fonction U (ou plutôt pour moi la grandeur U) ce que j'en pense c'est que ça n'est pas une fonction c'est une grandeur physique (un nombre ici) alors tu me diras "Comment y associer une différentielle ?" et ben en fait le problème vient, d'après moi, qu'en physique (ou plutôt quand les physiciens font leur calcul) il arrive que l'on note de la même manière une grandeur physique et la (les) fonction(s) mathématiques qui y sont associée(s). D'où ce que je disais dans un autre message, il s'agit d'un problème de notation qui ne doit pas faire oublier qu'il s'agit de fonctions différentes. Bon mais d'après la lecture que j'ai de ton message on est d'accord.


Pour le reste du message, que je ne commenterais pas en détail car premièrement il est long et surtout j'ai pas grand chose à y redire tout ce que tu dis me semble bon. Bon je signalerais quand même une chose c'est que ce que tu fais pour moi c'est surtout du formalisme (j'admets que ce terme est un peu réducteur). En particulier je trouve que les rappels à la "signification physique" sont très (trop?) rares mais comme il semble que l'on ne soit pas d'accord avec ce qu'est "signification physique" ça n'est pas spécialement étonnant. Sinon je ne peux que te féliciter pour le travail de rédaction effectué (avec les schémas et tout...).
Cependant sans entrer dans le formalisme j'ai toujours (enfin toujours disons plutôt pendant ma première année) vu la notion de directionnalité qui te gêne quand on fait apparaître (ou d quoique ce soit) comme un nombre comme implicitement contenu en physique dans ou . Pour moi choisir un chemin revenait à choisir le comportement de ces "rapports".

Les maths, c'est la grammaire du langage. La sémantique du langage de la physique, c'est la physique.

Cordialement,

Pas exactement. C'est un discours qui utilise un langage combinant la syntaxe (et une partie de la sémantique) du langage mathématique et un sémantique purement physique.

Ce n'est pas un discours de mathématique faisant sens en physique, parce que ce "sens" ne vient pas tout seul. Il est donné par ailleurs, indépendamment des formules. Le sens physique des phrases "mathématiques" est toujours externe, indépendant même de ces phrases.

A l'envers, j'ai été frappé un jour par le fait que les cours de maths (en particulier les exercices) jusqu'au collège inclus, au moins, parlent de physique: au lieu de se limiter au sens mathématique, un sens supplémentaire est donné, qui est concret donc physique.

La frontière entre la sémantique mathématique et la sémantique physique est du coup très floue dans la tête des gens...

Je pourrais développer, en prenant des tas d'exemples, mais un forum n'est pas adapté à cela.

Cordialement,

Voilà c'est exactement ce genre de chose que je n'arrive pas à développer (et ce surement par manque de vocabulaire) et qui m'empêche de me faire comprendre (enfin je crois). Désolé pour la longue double citation mais je ne voyais pas ou couper dans les messages de Michel.