Mouvement aléatoire

[stouflamb]

Bonjour à tous,

J'ai déjà posé ma question dans la rubrique mathématiques, mais je pense que j''aurai plus de chance d'avoir une réponse ici .

J'aurais voulu savoir si il existait une méthode générale pour résoudre le type d'équation décrit ci-dessous.

d²x/dt²= z(t).f(t,x) + (1-z(t)).g(t,x)

où
x est la position d'un mobile,
z(t) est une variable aléatoire valant soit 1 soit -1 à l'instant t.
f(t,x) et g(t,x) sont deux fonctions arbitraire mais différentes,
par exemple, f(t,x) = -kx et g(t,x) = 0.

Le résultat recherché est la distribution de probabilité p(x,t) de trouver le mobile à la position x à l'instant t ou une équation différentielle décrivant son évolution..
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[LPFR]

Bonjour.
Je parie un café qu'il n'y a pas de méthode générale de solution analytique.
Si f(t, x) et/ou g(t, x) sont des fonctions transcendantes, elles ne seront pas intégrables.
Il reste le traitement numérique et Monte-Carlo.
Au revoir.

[invité576543]

Une fonction qui vaut -1 ou 1 "aléatoirement" est une fonction "tératologique". On entre immédiatement dans les problèmes de l'infini non dénombrable!

Par exemple, la moyenne de cette fonction est très exactement égale à 0 sur tout intervalle de mesure non nulle!

J'ai quelques doutes qu'on puisse travailler aisément avec ce genre de fonction en mathématique.

Quand à la physique, je pense qu'une telle fonction n'a aucun sens physique. (1)

Cordialement,

(1) On convolue x par un gaussienne de sigma très inférieur à la distance de Planck, et on annule z(t) automatiquement! J'ai des doutes sérieux sur tout objet physique dans les théories actuelles qui n'est pas "invariant" (au sens "mêmes prédictions") par une telle convolution.

[stouflamb]

Je vous ai un peu induit en erreur car z(t) vaut 0 ou 1 (et pas -1 ou 1). Désolé, la précipitation...

Du côté mathématique on m'a renseigné le processus suivant qui semble correspondre à mon problème:
"Piecewise Deterministic Markov Processes".

Je vai donc investiguer dans ce sens.

Dans tous les cas, merci de vos remarques.
La remarque de LPFR reste bien évidemment la plus facile à mettre en oeuvre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Je vous ai un peu induit en erreur car z(t) vaut 0 ou 1 (et pas -1 ou 1).

Je m'en doutais fortement, et ai failli le faire remarquer. Mais ce n'est pas important, suffit de changer les fonctions f et g pour obtenir la même chose

Du côté mathématique on m'a renseigné le processus suivant qui semble correspondre à mon problème:
"Piecewise Deterministic Markov Processes".

C'est fondamentalement différent: la fonction est alors continue sauf en un nombre dénombrable de points. Du coup, ma remarque ne s'applique plus, et cela peut avoir un sens physique.

Mais je ne doute pas que c'est un modèle plus approprié que ce que décrivait le premier message

Cordialement,