mecanique [exo]

[invite8978bf5a]

Bonjour, je bute sur un exercice dont voici l'énoncé:
"Une particule de masse m se déplaçant selon l'axe des x est soumise à la force de rappel f=-k*x^3*u (u vecteur unitaire de l'axe des x).
A t=0 on a x=x0 et dx/dt=0 ; la période des oscillations est alors T.
Que devient la période si à t=0 on a x=2*x0 et dx/dt=0 ?"

Le PFD donne une equa diff non lineaire donc j'ai essayé d'employer une methode energetique en cherchant l'energie potentielle dont derive la force f puis en appliquant la conservation de l'energie mecanique mais je n'arrive pas en tirer la periode.

Merci de votre aide.
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[Jeanpaul]

Je te fais remarquer qu'on ne te demande pas de calculer la valeur de T, n'est-ce pas ?
Alors, tu écris l'équation différentielle, avec l'énergie, et tout et tout, mais tu prends soin de poser x = x0 . u où u est une grandeur sans dimension.
v est alors égal à x0 . du/dt et tu auras une équa diff en u qui ne dépendra pas de x0.
Ca donne assez bien la variation de T en fonction de x0.

[invite8978bf5a]

Merci de votre aide mais je suis désolé je ne comprends pas.
L'équa diff obtenue avec x=x0*u (u variable) est toujours non lineaire et x0 apparait dans son expression: d²u/dt²+k/m*x0²*u^3=0
D'autre part je ne vois pas comment on peut discuter sur la periode en fonction des conditions initiales sans connaitre la solution de l'équa diff du mouvement.

[Jeanpaul]

Essaie de prendre les choses d'un autre côté. Tu poses x = x0 u où u est un paramètre sans dimension. Au départ : t=0, u = 1 et après 1/4 de période, t=T/4 et u=0 (au centre)
Il te vient :
m x0 d²u/dt² = - k x0^3 u^3
Simplifie par x0 et écris cela d²u/dt² = - k/m x0² u^3
Disons pour alléger d²u/dt² = - A u^3.
On multiplie par du/dt des 2 côtés et on intègre
1/2 (du/dt)² = A/4 (1 - u^4) car on n'oublie pas les conditions initiales : si u=1, alors du/dt=0 (lâcher sans vitesse initiale)
On se limite au premier quart de période où du/dt<0 :
du/dt = - racine(A/2) racine(1 - u^4)
que l'on intègre pour t variant de 0 (avec u=1) à t=T/4 (avec u=0)
On voit que racine(A/2) . T/4 est l'intégrale de 0 à 1 de du/quelque chose, qui est une constante que tu peux chercher sur le web si tu veux, mais ce n'est pas demandé, je crois. Vérifie quand même que ça converge.
Ca donne la relation entre T et x0 mais pas l'équation du mouvement, qui n'est pas demandée.
On peut aussi essayer par des arguments de dimensions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8978bf5a]

merci beaucoup c'a m'a bien aidé!