Force

[invite5c98d667]

Bonjour,

Je suis bloquée dès l'intitulé d'un problème qui dit qu'une particule est soumise à la force (x²+y, xy). Je dois calculer le travail de cette force selon des trajectoires données, mais comment travailler avec cette forme? Je dois effectuer mon intégrale pour x²+y² ou pour xy ou pour la somme des 2? Je ne vois vraiment pas comment aboutir?

Merci de votre aide
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[invite60be3959]

Bonsoir (ou bonjour!)

cela signifie que la force varie comme x²+y² selon x, à y constant, quelque soit y appartenant à l'intervalle des ordonnées considéré(y est donc un paramètre et non une variable) et varie comme xy selon y, à x constant, quelque soit x appartenant à l'intervalle des abscisses considéré(c'est au tour de x d'être un paramètre). ça c'est pour la théorie.

En pratique le travail le long d'un arc est donné par :



où est un vecteur élémentaire tangent à l'arc . Le produit scalaire te donnera donc un nombre fonction de x et de y que tu devras intégrer.

[invite5c98d667]

J’ai effectué mon calcul, et pour la première trajectoire, qui est décrite comme suit :
Calculer son travail quand la particule va du point (0,0) au point (2,4) sur l’axe des x jusqu’à (0,2) puis verticalement jusqu’à (2,4), et je trouve donc que

W= (8/3+2y , 6x). Le travail total est donc (8/3+2y+6x) ???

[invite60be3959]

Calculer son travail quand la particule va du point (0,0) au point (2,4) sur l’axe des x jusqu’à (0,2) puis verticalement jusqu’à (2,4)

J'imagine que tu veux dire "sur l'axe des x jusqu'à (2,0)..."

Sur la 1ère partie du chemin, et sur la deuxième partie donc :



Dans la 1ère intégrale le paramètre est y et dans la 2ème c'est x. On obtient un résultat de la forme :



A ce niveau là, j'avoue que je ne sais pas trop comment faire. J'aurais tendance à remplacer x et y respectivement par (2-0) et (4-0) afin que le travail soit le même de (0,0) à (2,4) que de (1,1) à (3,5) par exemple. Cela marcherait même avec un autre chemin, ce qui est cohérent avec le fait que le travail ne doit pas dépendre du chemin suivi. On trouverait alors W~50,7 J. A vérifier auprès de ton professeur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiluc40]

Bonjour,

Je suis bloquée dès l'intitulé d'un problème qui dit qu'une particule est soumise à la force (x²+y, xy). Je dois calculer le travail de cette force selon des trajectoires données, mais comment travailler avec cette forme? Je dois effectuer mon intégrale pour x²+y² ou pour xy ou pour la somme des 2? Je ne vois vraiment pas comment aboutir?

Merci de votre aide

Bonjour,
On te demande de calculer le travail de déplacement selon un circuit connu. Vaincent a bien donné la formule. Dans ton circuit, tu te déplaces d'abord en ligne droite de (x,y)= (0,0) à (2,0). Ecris les composantes de ta force sur ce trajet, projette les sur la direction de déplacement et intégre le résultat. Applique le même raisonnement sur la partie du circuit allant en ligne droite de (2,0) à (2,4).

ce qui est cohérent avec le fait que le travail ne doit pas dépendre du chemin suivi.

Attention, ceci n'est valable que lorsque la force est conservative. Est-ce bien le cas?
Cordialement

[Tiluc40]

Petite précision: Lorsque je dit que vaincent a donné la bonne formule, je parlais de

où est un vecteur élémentaire tangent à l'arc . Le produit scalaire te donnera donc un nombre fonction de x et de y que tu devras intégrer.

En ce qui concerne le résultat de "W~50,7 J", j'ai quelques doutes par contre.

[invite60be3959]

Attention, ceci n'est valable que lorsque la force est conservative. Est-ce bien le cas?

une force F est conservative si la fonction existe(c'est l'énergie potentielle au point ). Une force qui ne dépend que des coordonnées sera donc conservative. C'est quasiment le même calcul que pour le travail(j'utilise et comme variables d'intégrations pour ne pas confondre avec les bornes).



or le travail d'une force conservative qui dérive d'une énergie potentielle U est donnée par :



Voilà démontré rigoureusement la valeur du travail trouvée dans mon précédent post. (je ne m'en rappelait plus donc je l'avais fait au feeling )

[Tiluc40]

Alors prenons le calcul en question. Mirelvi, si tu souhaites toujours faire l'exercice par toi même, ne déroule pas le spoiler.

 Cliquez pour afficher

Données de l'exercice de Mirelvi:
F(x,y)=(x²+y²,xy)
Je me déplace sur le segment allant de (0,0) à (2,0)
Sur tout ce segment, y vaut 0, donc F(x,0)=(x²,0)
Le déplacement est parallèle à l'axe x --> F.dl=x².dx
Le travail sur cette portion de circuit vaut donc l'intégrale (désolé, je ne maitrises pas LATEX) de x² entre 0 et 2, soit 8/3.

Je me déplace maintenant à x=2 (constant) sur la partie de (2,0) à (2,4).
F(x,y) vaut F(2,y)=(4+y²,2y)
En projetant sur la direction de déplacement (l'axe y), le travail revient à intégrer la fonction 2y entre 0 et 4, soit 16J.
Je trouve donc un travail total de 56/3 J.

En faisant le même calcul pour aller au point (2,4) en passant d'abord par l'axe des ordonnées
(trajet (0,0) à (0,4) : F(0,y)=(y²,0) projetté sur l'axe vertical --> travail nul sur ce segment.
puis ((0,4) à (2,4)), F(x,4)=(x²+16,4x), projetté sur x donc j'intégre x²+16 entre 0 et 2 et je trouve 104/3 J. Le travail réalisé dépendant du chemin parcouru, j'ai donc de gros doutes sur le fait que ta force soit conservative...

[invite5c98d667]

J'ai calculer l'intégrale et je trouve bien le résultat donné par Vaincent càd: W = 8/3 + 2y + 8x mais je ne vois pas ce que vous voulez dire par: "remplacer x et y respectivement par (2-0) et (4-0) "?

[Tiluc40]

J'ai calculer l'intégrale et je trouve bien le résultat donné par Vaincent càd: W = 8/3 + 2y + 8x mais je ne vois pas ce que vous voulez dire par: "remplacer x et y respectivement par (2-0) et (4-0) "?

re-bonjour,
Je ne crois pas que le calcul proposé par vaincent soit juste, parce que ce calcul mélange des x et des y correspondant à 2 bouts de trajectoires différents, d'où les difficultés que vous avez à la fin pour savoir par quoi il faut remplacer x et y (enfin, si j'ai bien compris ce qu'il a cherché à faire). Je ne pense pas non plus que la force dérive d'un potentiel. La justification du fait que la force soit conservative me parait erronée, et il me semble délicat de le considérer comme un postulat dans cet exercice. Tu as évoqué dans ton problème le calcul du travail selon d'autres trajectoires (et je t'ai montré le calcul pour 2 d'entre elles). J'imagine qu'on veut te faire démontrer que la force n'est pas conservative.
As tu des questions sur mon calcul?

[invite5c98d667]

J'ai repris le calcul selon la méthode que vous proposiez et j'ai trouvé le même résultat. Les autres trajectoires sont définies comme:
Une droite qui relie les 2 extrémités
La parabole y=x²
Pour la parabole, j'ai remplacé la valeur de y dans l'expression de la force par x². Est ce ainsi qu'il faut procéder?

[invite1c0eeca8]

bsr, j'abonde dans le sens de tiluc.
La force n'est pas conservative car sinon on aurait pu trouver une energie potentielle U / F = - grad U or les intégrales calculées (comme par ex - @U/@x = x² + y et l'autre) conduisent à 2 résultats différents pour U donc cette dernière n'existe pas et F est donc non conservative
cdlt

[Tiluc40]

J'ai repris le calcul selon la méthode que vous proposiez et j'ai trouvé le même résultat. Les autres trajectoires sont définies comme:
Une droite qui relie les 2 extrémités
La parabole y=x²
Pour la parabole, j'ai remplacé la valeur de y dans l'expression de la force par x². Est ce ainsi qu'il faut procéder?

Je pense, oui, et n'oublie pas de projeter la force sur la tangente à la trajectoire (un vecteur constant dans le cas de la droite, mais pas dans le cas de la parabole) pour trouver le travail élémentaire

[invite60be3959]

Je ne crois pas que le calcul proposé par vaincent soit juste

En effet, au temps pour moi ! Je me suis trompé au niveau du calcul de l'intégrale . On peut le voir également en essayant de déterminer la fonction U à l'aide de et . En intégrant chacune des 2 expressions on obtient et , où f(x) et g(y) sont 2 fonctions qui ne dépendent repectivement que de x et de y. En identifiant les deux expressions de U, on remarque en effet qu'il est impossible de déterminer ces 2 fonctions. La force n'est donc pas conservative. Désolé