[exo] Cos, arccos, sin et équation horaire

[invite184ed467]

Bonjour voila j'ai fait un exo , mais il y a des truc que j'arrive pas trop.

Enoncé :
Le vecteur position d'un point m est caracterisé par les equations parametrique suivante : x(t) = 2cos5t et y(t) =2sin5t

1)Donner les dimensions des constantes "2" et "5" , sachant que t est le temps et x , y sont des distance.

Rep : "2" est une distance en m car cos5t na pas dunité
"5" ( pour y(t) , est une vitesse angulaire en rad/s , car [t]x[rad]/[t] = angle .

2) caracterisé la trajectoire , dessiné la trajectoire en indiquant le sens du mouvement.
Rep : je fait y(x) pour avoir lequation de la trajectoire :
x(t) = 2cos5t , x/2=cos5t , 5t = cos-1 x/2 t = (cos-1 x/2)/5

donc je met t dans y :

y(t) = 2sin5t et y(x) = 2sin cos-1 x/2

Apres pour decrire cet trajectoire et la dessiner sachane quon a pas le droit a la calculette . . . si vous avez une idée ?

3) calculé vecteur v , v , vecteur a et a Representer vecteur v et vecteur a pour un point m quelquconque.

Selon x : x(t)=2cos5t selon y : y(t) =2sin5t
vx(t)=-10sin5t vy(t)=10cos5t
ax=-50cos5t ay=-50sin5t

vecteur v (t) = (-10sin5t)ex + ( 10cos5t)ey
vecteur a (t) = ( -50cos5t)ex +(-50sin5t) ey


4) quel est la position de m à l'origine des temps ?
A l'originie des temps x(o)= 2 et y(o) = 0
m est donc à M(2:0)

5) A quel distance M passe til à la distance x = 0.50cm? pass -til au point A(3;1) ? et b(Racince 2 : racine 2 ), si oui à quel instant.

M passe à 50 cm lorsque :
0.50 = 2cos5t , 0.25 = cos5t , cos-1 0.25 =5t donc t = cos-1 0.25 /5 = 15 seconde.

non il me met math error ^^ . quand je fait cos-1 3/2 ce normale > 1 ^^ .

Par le point b ( racine 2 ; racine 2 ) ?
Oui , V2 =2cos5t , V2/2 =cos5t , cos-1 V2/2 = 5t t= (cos-1 V2/2)/5 = 9 s , je remplace dans Y(t) = 2sin45 = V2 donc ui .
il passe à 9s .

6) A partir des résultat obtenu pour le point b et a la question3) , calculer la periode du mouvement.
je sais pas faire . . .

7 ) calcuer la vitesse angulaire en rad/s et en tr/min . en deduire la perdiode du mouvement ? gné ? non plus pas arrive jcroi quil me fo la rep de la 6 XD .


Voila merci ^^
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[invite1c0eeca8]

pour la question 2, élève au carré x puis y et tu verras .....

[invite184ed467]

et pour les autres ?

[invite60be3959]

6) A partir des résultat obtenu pour le point b et a la question3) , calculer la periode du mouvement.
je sais pas faire . . .

Bonjour,

je ne vois pas pourquoi est-ce que l'on aurait besoin de la question 3) puisqu'en posant le système {x(t)=x(t+T) ; y(t)=y(t+T) pour t=9s on arrive à la valeur T. La 7) s'en déduit immédiatement.
C'est une autre façon de calculer la période. On pouvait cependant la déduire directement de la pulsation.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite184ed467]

vous m'avez pas dis si ce que j'ai fai est juste ?

[invite60be3959]

vous m'avez pas dis si ce que j'ai fais est juste ?

oui c'est bon, sauf pour la 2) comme l'a remarqué tempsréel1

[invite184ed467]

oui mais j'ai pas tres bien compris ? pourquoi élévé au carré ?

[invite60be3959]

oui mais j'ai pas tres bien compris ? pourquoi élévé au carré ?

quand on voit 2 équations paramétriques en cos et sin, ça sent à plein nez la trajectoire circulaire, car (acos(b))²+(asin(b))²=a²(cos²( b)+sin²(b))=a². C'est pythagore dans un cercle de rayon a.

[invitea29d1598]

salut,

oui mais j'ai pas tres bien compris ? pourquoi élévé au carré ?

le but c'est d'obtenir une équation plus simple que celle que tu as écrite et qui fait intervenir arccos (c'est le nom donné à la fonction inverse de cos). Ce que tu as fait est presque bon, mais :

- si tu regardes de plus près, tu verras que tu as fait une restriction sur le signe de x... en fait x et y peuvent être positifs ou négatifs, tous deux pouvant de plus être de signes différents

- parfois on n'arrive pas à obtenir une description explicite de la trajectoire sous la forme y=y(x) et on cherche plutôt une fonction f telle que f(x,y)=0. La description explicite n'existe pas toujours et ne permet parfois que de décrire une partie de la trajectoire mais pas de la décrire en entier (C'est ce qui se passe ici)

- comme on te l'a dit, quand tu cherches à obtenir une description non-paramétrée d'une trajectoire, il vaut mieux chercher à se débarrasser des fonctions trigonométriques en utilisant l'identité remarquable cos²+sin²=1. Dans ton cas, c'est d'autant plus utile que tu as un cercle (difficile à reconnaître avec l'écriture que tu en as donnée et en plus tu ne le décris pas entier), mais c'est vrai de manière générale quand tu as des fonctions trigonométriques dans l'écriture paramétrée.

[invite184ed467]

Merci ) (L)