équation cos/sin

[Universmaster]

bonjour à tous,

J'suis confronté à une équation, que j'arrive pas à résoudre :s.

Quelqu'un aurait-il une méthode pour trouver les solution teta de:



avec c un nombre quelconque


Cordialement, Universmaster.
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[Dr. NucleYous]

Je crois qu'il faudrait passer par l'étude de dérivée et faire une étude de fonction .

[Universmaster]

Ok, j'y avais pas penser, j'vais essayer... j'suis en train de tenter un changement de variable là mais bon

[Universmaster]

L'étude de fonction ne m'apporte rien.
En effet, il y a une infinité de solutions. Mon but est de toutes les connaître. Si quelqu'un a une idée

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universmaster]

Bon j'ai eu recours a Maple, il trouve une solution, mais j'comprends pas tout

dedans y'a par exemple : 16* cos(_Z)+4_Z² ...

Quelqu'un connaît la signification de _Z ?

Cordialement, Universmaster.

[MiMoiMolette]

Salut,

If Maple has to invent a new variable to produce the answer to something it will use names prefixed with underscore.

Donc en gros, Maple n'est pas capable de résoudre l'équation sans apposer de nouvelle variable.
Je pense que c'est dû au fait qu'il y ait une infinité de solution...

Sinon, pour l'équation de départ, je crois avoir trouvé 1 solution (pas encore toutes )...

Tu sais que sin(pi/2-x) = cos(x) et cos(pi/2-x) = sin(x)

Remplace tout ça pour n'avoir que des cos, par exemple.

Ensuite, si tu te sers de la formule générale :
cos(p)+cos(q) = 2*cos((p+q)/2)*(cos((p-q)/2)

Comme ton équation de départ s'écrit (theta+1)(cos(theta)+sin(theta )) + c = 0, tu te retrouveras avec (theta+1)([un produit de termes]) + c = 0

Et ce qui pose problème, c'est le c

[MiMoiMolette]

Ah mais en fait, tu peux d'abord dériver la fonction, puis appliquer la méthode que je t'ai montrée...

bon c'est l'heure de manger et j'ai faim, vois d'abord si tu comprends la méthode

[Universmaster]

Uiui je sais qu'il y a une infinité de solution... mais y'a pas un moyen de les connaître avec une variable genre k que l'ont fait varier dans Z... (tu vois c'que j'veux dire?)

j'vais essayer avec ta méthode. Sinon j'viens de trouver autre chose en fait pour l'équation:



(j'mettais tromper dans le premier post )

[Universmaster]

Euh j'vois pas l'intérêt de dériver

[manimal]

Salut Univermaster ,
Je me suis penché sur ton équation qui me parait totalement insoluble mais j ai trouvé quelquechose qui peut t intéresser :
Je remplace tout d abord théta par x car je ne sais pas écrire théta en Latex
On a :
xcos(x)+xsin(x)+cos(x)+sin(x)+ c=0
(x+1)(cos(x)+sin(x))+c=0
1=cos²(x)+sin²(x)
Donc
(x+cos²(x)+sin²(x))(cos(x)+sin (x))+c=0
En développant on obtient
cos^3(x)+sin^3(x)+(sin(x)cos(x )+x)(cos(x)+sin(x))+c=0
Ceci fait penser directement à la méthode de Cardan permettant de résoudre les équations du troisième degré.
On a :
cos^3(x)+sin^3(x)=-c
et sin(x)cos(x)=-x qui se transforme en sin^3(x)cos^3(x)=-x^3
On se retrouve donc avec une somme et un produit d une équation du second degré avec pour racines sin^3(x) et cos^3(x).
Mais le but n est pas de résoudre cette équation qui ne mène à rien , l essentiel est que l on a posé sin(x)cos(x)=-x
On revient donc à l équation de départ et on a :
(x+1)(cos(x)+sin(x))+c=0
(x+1)(cos(x)+sin(x))=-c
(x+1)²(cos(x)+sin(x))²=c²
(x²+2x+1)(1+2sin(x)cos(x))=c²
sin(x)cos(x)=-x
(x²+2x+1)(1-2x)=c²
-2x^3-3x²+1-c²=0
Equation du troisième degré en x résolvable.
Avis aux experts : Médiat , Benjy-star , Gwyddon et tous les autres => corrigez moi si j ai fait une erreur ou dit des âneries.
Cordialement.
Manimal.

[MiMoiMolette]

Euh j'vois pas l'intérêt de dériver

C'était une idée comme ça ^^
La méthode de manimal semble donner une solution plus proche de ce que donnent les logiciels de calcul.

Je connaissais pas la méthode de cardan tiens ^^

[Universmaster]

avec cardan j'vois pas trop le truc.. j'comprends pas toute tes étapes. Par contre la suite me semble intéressante. J'ai réduit aussi a:



Avec la nouvelle équation que j'ai posté au message #8

[manimal]

Univermaster => ton équation c est ça?

[Universmaster]

oui j'avais changer désolé

Mais ça ne change pas grand chose.

[Universmaster]

j'me retrouve avec

Soit:



Maple me case toujours des _Z et _S06

[Universmaster]

Les _Z de Maple, c'est des variables.. mais on peut les remplacer par quelque chose? comme j'disais avant du genre ?

[MiMoiMolette]

Je vois pas en quoi cos(k) avec k appartenant à Z t'aidera ^^

[DSCH]

Mais le but n est pas de résoudre cette équation qui ne mène à rien , l essentiel est que l on a posé sin(x)cos(x)=-x

Bonsoir, tu ne peux pas « poser » cela. C'est une autre équation, qui entraîne une restriction assez forte sur la valeur de , puisque sa seule solution est !

Pour revenir à l'équation du posteur initial, en-dehors du cas particulier (et peut-être d'autres qui m'auraient échappé ?), il semble compromis d'obtenir des solutions à l'aide de closed formulæ, c'est-à dire que les solutions ne s'expriment pas à l'aide des fonctions élémentaires, et qu'on ne peut pas vraiment faire mieux qu'une étude de fonction.

[DSCH]

Bon j'ai eu recours a Maple, il trouve une solution, mais j'comprends pas tout

dedans y'a par exemple : 16* cos(_Z)+4_Z² ...

Quelqu'un connaît la signification de _Z ?

Cordialement, Universmaster.

Cela fait un bail que je n'ai pas touché à Maple, mais j'imagine que le logiciel désigne par _Z les solutions d'une autre équation transcendante, aussi imbitable que la tienne… Bref, cela ne te fait pas vraiment avancer.

[MiMoiMolette]

Bonsoir, tu ne peux pas « poser » cela. C'est une autre équation, qui entraîne une restriction assez forte sur la valeur de , puisque sa seule solution est !

Pour revenir à l'équation du posteur initial, en-dehors du cas particulier (et peut-être d'autres qui m'auraient échappé ?), il semble compromis d'obtenir des solutions à l'aide de closed formulæ, c'est-à dire que les solutions ne s'expriment pas à l'aide des fonctions élémentaires, et qu'on ne peut pas vraiment faire mieux qu'une étude de fonction.

Dériver la fonction pour étudier sa variation ?
Je pense qu'elle sera tout aussi invivable :s je me suis peut-être plantée dans mes calculs

[Universmaster]

Je vois pas en quoi cos(k) avec k appartenant à Z t'aidera ^^

C'était juste pour essayer de comprendre la signification, ce que Maple veut dire par _Z, une autre variable..

[MiMoiMolette]

Même si ça l'était, ça ne t'aiderait pas, c'est cela que je voulais dire mais c'est bien une nouvelle variable qu'ils t'ont mise, pas une valeur.


Pour la question initiale, vraiment j'ai du mal :s ça me rappelle une équation que quelqu'un avait posée, avec un x et un ln(x)..."impossible à résoudre algébriquement" je crois que quelqu'un avait dit

[Universmaster]

Ah ça existe? Impossible de résoudre algébriquement?

[DSCH]

Dériver la fonction pour étudier sa variation ?
Je pense qu'elle sera tout aussi invivable :s je me suis peut-être plantée dans mes calculs

Très juste ! On n'est pas dans la m…

[DSCH]

Ah ça existe? Impossible de résoudre algébriquement?

Non seulement cela existe, mais c'est même très courant. C'est déjà le cas pour les équations polynômiales de degré supérieur à cinq, sauf cas particuliers…

Peut-on savoir pour quelle raison cherches-tu à résoudre cette équation (comment es-tu tombé dessus ?) ?

[Universmaster]

J'essayais de résoudre les points d'intersection de deux courbes (équations polaires) ^^

Cela ce traduit par un échec..

En tout cas merci pour votre aide Si jamais quelque chose vous traverse l'esprit sur cette équation, n'hésitez pas à en faire part

Bonne nuit et merci à tous.

Cordialement, Universmaster.

[MiMoiMolette]

Tu ne veux pas plutôt nous donner l'énoncé ? ^^
Il y a peut-être quelque chose qui n'a pas été dit (questions précédentes ? question demandée ?)

[Universmaster]

Lol ^^

C'est pas un DM ni DS ou exos à faire^^. J'ai un week end sans devoir donc j'me faisais plaiz' un p'tit coup

En fait, j'avais vu une sorte d'expérience physique théorique (quantique me semble-t-il) où un rayon de lumière traverse une spirale.
Mon objectif n'a quasiment aucun rapport avec cela, mais bon.. j'me suis demandé les points d'intersection d'une droite avec une spirale. La spirale se donnant que en coordonnées polaire, faut donc prendre une droite de coordonnées polaire.
J'ai donc pris:





Ensuite

Voilà

[Universmaster]

SInon ça existe pas des équations cartésiennes d'une spirale?