Energie cinétique relativiste

[invite11496878]

Bonjour à tous. je suis tombé sur cette question mais j'ai des doutes concernant la manière dont il faut la résoudre:

1. quelle est la vitesse maximale qu'une particule peut atteindre de façon à ce que son énergie cinétique puisse être écrite m₀v²/2 avec une erreur de 0,5% ?

Je pense qu'il faut faire un Développement limité de donc où

donc l'énergie cinétique est et le 0,5%m₀v²/2 est le terme restant.

mais jusqu'à quel ordre doit-on faire ce Développement Limité? Merci pour votre aide.

P.S: si vs avez une autre méthode , je suis preneur.
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[invite11496878]

quelqu'un peut il m'aider?

[obi76]

J'ai fais un petit truc, mais j'attend confirmation pour savoir si c'est bon (sans passer par les DL) :

L'écart entre l'équation exacte et l'approximée pour l'énergie est :



Il ne faut pas plus de 0.5 % d'écart relatif, donc il faut trouver v tel que



Bon bah maintenant c'est tambouille et companie :
On a

=>

on pose (pour simplifier l'écriture et par fainéantise de le recopier 50 fois en Latex).

On tombe sur



.

On pose (déduire X nous permettra de trouver v tel que l'hypothèse soit vérifiée.

.
D'où

On tombe sur

Tu résous, et tu tombe finalement sur :



Pour le je te laisse trouver le signe qui convient (un indice : la vitesse doit être réelle et inférieure à c )

Cordialement,