Resolution d'une equadiff dans le cas d'un glissement avec frottement visqueux

[moebius2]

Bonjour, voilà mon problème :

J'ai un objet de masse M lancé avec une vitesse initiale v0 sur l'eau (horizontalement; en fait il glisse depuis un moment ms on a changé l'origine des temps).
Bilan des forces selon (Ox): la force de frottement visqueux -alphav
(on prend alpha pour les coefficients de l'air et de l'eau regroupés).
J'ai donc mon équadiff en projettant selon (Ox):

Mx''=-alphax'

J'intègre : M (x'+cte)=-alpha x
à t=0, x=0 et v=v0
>> x'+(alpha/M) x=v0

Le problème c'est qu'après, en resolvant je trouve x=(alphav0/M)(1-exp (-alphat/M))

et en dérivant v=x' ne s'annulle jamais !!!!!!


A l'aide svp !
Ca doit être tout simple ms je ne vois pas où j'ai fait faux.

Merci d'avance
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[invite1f022528]

Bonjour,

Vous avez un oscillateur hamonique en v.

dv/dt + (alpha/M) v(t) = 0

Nan ?

La solution est donc du type

v(t) = v0 cos (wt)

avec w = racine( alpha /M)

donc

v(t) = V0 cos (racine( alpha /M)*t)

Vous pouvez ainsi trouver une valeur de t pour laquelle v s'annule.

** A soumettre à correction : oscillateur me semble étrange ... C'est du va vite donc je mettrai pas ma main à couper **

A bientot

[moebius2]

Et non, ce n'est pas un oscillateur car mon objet avant sans revenir.
C'est comme si je lancait un bout de fer sur l'eau: si je me debrouille bien il va un peu avancer en flottant puis il va couler.

En fait j'ai essayer de modéliser une situation qui ressemble à celle là.
Et je veux savoir au bout de quelle distance il va s'arreter de "glisser" (verticalement) et donc quand sa vitesse s'annule.
Après, horizontalement, j'aurais son poids et une force de portance qui le maintiendra un petit moment hors de l'eau avant qu'il coule.

[moebius2]

En fait, vous avez peut être raison.
Parce que dans ma tête oscillateur (harmonique) >> oscillations et donc mouvement de va et vient.
Mais ce n'est pas tjs le cas, non ?
Dans ce cas mon message précédent est absurde et votre raisonnement est bon ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Ygo]

Vous avez un oscillateur hamonique en v.
dv/dt + (alpha/M) v(t) = 0

C'est du va vite donc je mettrai pas ma main à couper

Bonjour

Heureusement que JPzarb n'a pas mis sa main...

Pour un oscillateur harmonique on aurait d²x/dt² + (alpha/M) x(t) = 0, dans le deuxième terme nous aurions x(t) et non pas dx/dt comme dans le problème qui nous intéresse...

Donc il faut en revenir à l'idée de l'exponentielle décroissante, c'est bien cela la solution.
Bien sûr, ça surprend... car "le mobile ne s'arrête jamais" (au moins théoriquement) puisque la dérivée dx/dt ne s'annule que pour t -> infini.
Mais ça ne veut pas dire que le mobile va parcourir une distance illimitée ! Lorsque t devient assez grand, la vitesse devient si faible que la distance va tendre vers une limite finie.

Moebius, tu y es presque : reprends ton calcul !

[moebius2]

Ok, merci Ygo.
Cela dit, je ne vois toujours pas comment déterminer cette distance...
(du moins sans faire d'expérience)
Voila donc mon calcul complet :
Mx''=-alpha x'
>> M(x'+cte)=-alphax

A t=0, x=0 et x'=v0 >> cte=-vo

>> x'+alpha/M x=v0

Résolution:
x=Mv0/alpha + Aexp (-alphat/M) + B
x'=-alpha/M Aexp(...)

A t=0, x=0 et x'=v0

>> 0=Mvo/alpha + A +B
v0=-alpha/M A

>> A=-alphav0/M
B= alphav0/M-Mv0/alpha

>> x=alphav0/M (1-exp (-alphat/M))

[Ygo]

là , il y a quelque chose qui m'échappe... tu dis :

v0=-alpha/M A >> A=-alphav0/M

est-ce que ce ne serait pas plutôt A=- M v0 / alpha ???

Alors la valeur de B n'est plus ce que tu as calculé, et l'expression de x(t) non plus.

Et pour déterminer la distance parcourue, si tu relis mon post précédent, tu pourrais avoir l'idée de faire tendre t vers l'infini pour voir ce que donne x...

Encore un peit effort !

[moebius2]

Ok, oui merci... je refais mes calculs

[moebius2]

Je trouve B=0 et x=Mv0/alpha (1-exp (-alphat/M))
x'=-v0exp(...)

Si t-> +inf, alors x=Mv0/alpha

et après ?

[Ygo]

Une erreur de signe : x' = v(t) = + v0 exp(...)

Il me semble que l'expression de x(t) est correcte.

Tu as vu, quand t-> infini, x tend vers une limite finie...

Et après? je ne sais pas, ça dépend de ce qu'on te demande !

[moebius2]

Ben après je veux savoir au bout de combien de temps la vitesse s'annulle. Et là, je ne vois pas ?? puisqu'on a dit t->inf
Même pour t grand ok, mais comment le déteminer ?

[invite1f022528]

Re,
Oups... je serai manchot à l'heure qu'il est...
Désolé pour l'erreur, merci les reviewer...

A+

[Ygo]

"au bout de combien de temps la vitesse s'annule"... ?
plusieurs réponses possibles...

1- la vitesse ne s'annule jamais (un peu sec, risque de faire croire que tu n'as pas compris le problème)
2- la vitesse s'annule quand t=infini (à éviter absolument, l'infini n'est pas "une valeur" et dire qu'une grandeur est "égale" à l'infini est critiquable)
3- la vitesse tend vers zéro quand t tend vers l'infini (ça, c'est inattaquable !)
4- etc... etc...

Tout dépend de la manière dont la question a été posée. Tu peux mettre la réponse 3 et ajouter une phrase du genre "la vitesse devient très petite au bout de quelques secondes, alors que la distance parcourue est déjà très voisine de la limite x_lim = M.v₀ / alpha
Et si tu veux fignoler, tu peux calculer la valeur de t pour laquelle v(t) = v₀ /1000 par exemple, et la différence entre x(t) et x_lim à moment là...

Tu commences à comprendre pourquoi mes élèves se demandaient toujours quelle question tordue j'allais avoir inventé ?

[moebius2]

Ok merci bcp!