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Mecanique pendule simple



  1. #1
    Heroes1991

    Mecanique pendule simple

    Bonjour, voila j'ai un petit soucis sur un exercice concernant un pendule simple ...

    Enoncé : un pendule simple est formé par un point matériel M de masse M suspendu à un fil au point O. Le fil est de longueur L. On néglige les frottements.
    Soit θ l'angle du pendule avec la verticale. On le lance à partie d'un angle θ(0) avec une vitesse nulle.

    1ère question, on me demande d'établir l'équation différentielle, je trouve :
    d²θ/dt² + g/L*sinθ = 0

    2ème question : En multipliant cette équation par dθ/dt pour pouvoir l'intégrer, calculer la vitesse en tout point de la trajectoire...

    La, ça coince, j'ai tenté d'intégrer, je tombe sur - (dθ(0)/dt)² (et je doute du résultat). Et même si cela était juste, je ne vois pas quoi en faire

    Merci de votre aide

    -----


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  3. #2
    Nykoo

    Re : Mecanique pendule simple

    Tu as le droit de considérer que ? Si oui alors dans ce cas et

  4. #3
    Heroes1991

    Re : Mecanique pendule simple

    je peux juste considéré que -θ(0)<θ<θ(0)

    Mais je peux considérer que θ est suffisement petit de sorte que sinθ=θ.
    Mais cela ne m'aide pas pour l'intégrale, si ?

  5. #4
    Gulupio

    Re : Mecanique pendule simple

    Salut.

    Je trouve la même ED que toi. Pour l'intégration, je ne vois pas ce que tu as fait pour avoir "- (dθ(0)/dt)² "
    Si tu multiplies par dθ/dt, tu obtiens:
    dθ/dt*d²θ/dt² + g/L*sinθ*dθ/dt = 0 Puis tu intègre chacun des membres.

    Pour dθ/dt*d²θ/dt² inspires toi de d/dt ( x^2/2) si x est une fonction du temps, ça devrait t'aider.

    Edit: [Comme l'a fait remarquer Nykoo, tu peux remplacer sin(théta) par théta, ça te simplifiera encore la tache]

  6. #5
    LPFR

    Re : Mecanique pendule simple

    Bonjour.
    C'est juste.
    Il faut que vous laissiez votre terme quadratique seul d'un côté de l'équation et que vous fassiez la racine carrée.
    Évidement, ça ne simplifie pas le terme de droite qui devient l'intégrale peu sympathique d'une racine carrée avec un cosinus dedans.
    Êtes vous sûr que vous voulez garder le terme en sinθ tel quel, sans faire l'approximation des petits angles?
    Au revoir.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Heroes1991

    Re : Mecanique pendule simple

    je la refait avec l'approximation, et je vous poste le résultat que je trouve

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  10. #7
    Heroes1991

    Re : Mecanique pendule simple

    je trouve :

    - (dθ(0)/dt)² - g/L*θ(0)² = 0

    Mais comment trouver la vitesse en tout point ?
    θ(0) ne correspondant qu'à l'amplitude

  11. #8
    Nykoo

    Re : Mecanique pendule simple

    Tu peux poser que et montrer que c'est solution de l'équation.

  12. #9
    Heroes1991

    Re : Mecanique pendule simple

    oui mais cela correspond à des questions suivantes.
    De même, l'approximation correspond à une autre question...
    Donc si quelqu'un pouvait m'aider pour l'intégration en gardant le sin...et m'expliquer pour la suite

  13. #10
    LPFR

    Re : Mecanique pendule simple

    Re.
    Quand vous intégrez f(x) entre x1 et x vous trouvez F(x) – F(x1). Le premier est variable et le second une constante. (F est la primitive de f).
    Alors qu'il semblerait que vous ne gardez que F(x1).
    Vous devriez trouver
    - (dθ/dt)² - g/L*θ² = 0
    Passer un des termes de l'autre côté et extraire la racine carrée.
    A+

  14. #11
    Heroes1991

    Re : Mecanique pendule simple

    c'est bien ce que je trouve, mais avec θ(0), car θ varie de θ(0) à -θ(0).
    Je trouve donc bien la même expression que vous, mais qu'en faire ?

  15. #12
    LPFR

    Re : Mecanique pendule simple

    Citation Envoyé par Heroes1991 Voir le message
    Donc si quelqu'un pouvait m'aider pour l'intégration en gardant le sin...et m'expliquer pour la suite
    Re.
    Faites votre intégrale correctement entre θo et θ.
    Passez tous les termes à droite en ne laissant à gauche que (dθ/dt)². Faites la racine carrée du tout en vous arriverez à:
    dθ/dt= sqrt(????).
    ce que donne:
    dθ/sqrt(????) = dt
    Et là, vous croisez les doigts pour que l'intégrale avec la racine soit intégrable. Si vous avez de la chance vous aurez t en fonction de θ. Et, avec encore plus de chance, vous pourrez déduire θ et fonction de t.

    Mais la méthode de Nycoo, dite "méthode d'Inspiration Divine" est, de loin, la meilleure. Quand elle n'est pas utilisable en physique, c'est que le problème est vraiment corsé.

    A+

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  17. #13
    Heroes1991

    Re : Mecanique pendule simple

    d'accord, je tenterais ca après mangé, merci

  18. #14
    Heroes1991

    Re : Mecanique pendule simple

    Rien à faire, je n'y arrive pas...

    Je multiplie pas dθ/dt

    J'obtiens

    d²θ/dt² * dθ/dt + g/L * sinθ*dθ/dt = 0

    J'intègre de θ(0) à θ :

    Pour d²θ/dt² * dθ/dt, j'obtiens : 1/2 (dθ/dt)² - 1/2(dθ(0)/dt)²=0
    Pour g/L * sinθ*dθ/dt , je trouve une intégrale nulle après une intégration par partie.

    Le résultat est donc totalement incohérent

    Help

  19. #15
    LPFR

    Re : Mecanique pendule simple

    Citation Envoyé par Heroes1991 Voir le message
    Rien à faire, je n'y arrive pas...

    Je multiplie pas dθ/dt

    J'obtiens

    d²θ/dt² * dθ/dt + g/L * sinθ*dθ/dt = 0

    J'intègre de θ(0) à θ :

    Pour d²θ/dt² * dθ/dt, j'obtiens : 1/2 (dθ/dt)² - 1/2(dθ(0)/dt)²=0 ????
    Pour g/L * sinθ*dθ/dt , je trouve une intégrale nulle après une intégration par partie.

    Le résultat est donc totalement incohérent

    Help
    Re.
    Je crois que votre niveau d'intégration laisse beaucoup à désirer.

    La primitive de sinθ dθ/dt est –cosθ (plus une constante). Dérivez –cosθ (par rapport au temps) pour le vérifier.

    Mettre l'intégrale d'une partie de l'équation à zéro est une grosse bêtise.

    Sincèrement, je ne pense pas que vous ayez le niveau en maths pour vous attaquer au problème non simplifié. Utilisez la méthode d'Inspiration Divine.
    A+

  20. #16
    Heroes1991

    Re : Mecanique pendule simple

    en fait, θ est considéré comme une fonction dépendant du temps, et non comme une constante ?

  21. #17
    Gulupio

    Re : Mecanique pendule simple

    Oui, sinon le pendule ne bougerait pas !

  22. #18
    Heroes1991

    Re : Mecanique pendule simple

    hmmm mon problème vient de la (et pas de ma nullité en maths, tsssss je vous jure).
    Bon, je planche la dessus, et je re-post

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  24. #19
    Heroes1991

    Re : Mecanique pendule simple

    bien, je trouve au final :

    dθ/dt = sqrt(2g/L*(cosθ-cosθ(0))

  25. #20
    LPFR

    Re : Mecanique pendule simple

    Re.
    C'est bon, si la vitesse de départ est nulle.
    Il faut continuer.
    Malheureusement, je crains que l'intégrale n'ait pas de primitive. Du moins ce site:
    http://www.wolframalpha.com/
    ne la trouve pas.
    Au revoir.

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