demo Résistance de surface d'un conducteur

[legyptien]

Bonjour,

Je voudrais savoir comment démontrer que la résistance de surface exterieur d un conducteur est :

Rs=1/(Sigma*delta)

avec Sigma la conductivité du conducteur.
avec delta l'épaisseur de peau.

Merci
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[legyptien]

Je précise un peu le contexte:
On a un conducteur dont la longueur est l selon z et sa section droite est dans le plan XY. Le centre du repère est placé au centre du conducteur et au milieu de sa longueur.

Je souhaite démontrer (en autres) la formule de la résistance de surface de ce conducteur: Les grandeurs en gras sont des vecteurs. Je commence ma démonstration:

Hypothèse de travail: distribution de courant uniforme.

J(x,y,z)=sigma*E(x,y,z) J et E sont orienté selon z

int (J(x,y,z)) dS = sigma*int(E(x,y,z)) dS le domaine d'intégration est celui de la section droite. On considère le J et E uniforme sur la section:

I(z)=sigma*E(z)*Shf avec Shf la section où circule les électrons (section utile).

int(I(z)) dz = sigma*Shf*int(E(z)) dz là j'intègre de -l/2 à l/2. J'utilise le fait que le courant soit uniforme (sur la longueur) et je pose la tension aux bornes du conducteur U=int(E(z)) dz. Tout cela en convention récepteur.

I(z)*l=sigma*U(z)*Shf

Rhf=B]U(z)[/B]/I(z) = l/(sigma*Shf)

Là on vient de démontrer la formule classique mais sans tenir compte de l'effet de peau. Si on tient compte de cela, on doit exprimer la section en fonction de l'épaisseur de peau. Soit b le rayon du conducteur, soit a le rayon de la section non utile. On a donc l'épaisseur de peau d = b-a. Soit D le diamètre du conducteur D=2*b:

Shf = pi*(b²-a²) = pi*d*(b+a) = pi*d*(D-d) = pi*d*D = p*d = p*sqrt(2/(w*u0*sigma)) avec D>>d, avec p le périmètre de la section droite du conducteur et d=sqrt(2/(w*u0*sigma))

On a donc Rhf = l/(sigma*p*sqrt(2/(w*u0*sigma))) = l/(p*sqrt(2*sigma/(w*u0)))

Et là en fait c'est écrit: Rhf = l/(p*Rs) et donc Rs = sqrt(2*sigma/(w*u0))) et il définit Rs comme "the conductor surface resistance". Pourquoi Rs vaut ça je ne sais pas. Et quand j'essaie d'intuité le raisonnement, je trouve deux choses bizarre.

1) Pourquoi la résistance de surface du conducteur augmente elle avec la fréquence ? que la fréquence joue sur la résistance du conducteur je veux bien. Mais pas sur celle de surface.

2) Pourquoi Rs ne dépend pas de la longueur du conducteur ? Toute résistance (même de surface) doit dépendre de la longueur du conducteur non ? Je précise que Rs n'est pas une résistance surfacique d'après l'analyse dimensionnelle...

[invitea3eb043e]

Ton Rs est ce qu'on appelle la résistance carrée : la résistance d'un carré de surface de côté a et d'épaisseur e qu'on attaque par un des côtés. e est l'épaisseur de peau et la formule classique R = rho.l/S donne ta formule. Elle a l'avantage justement de tenir compte de l'épaisseur de peau, ce qui n'est pas le cas de la seule résistivité.

[legyptien]

la résistance d'un carré de surface de côté a et d'épaisseur e qu'on attaque par un des côtés.

Un carrée de surface ??? de coté a et d'épaisseur e. Quand tu dis "a", il a la même définition que mon "a" dans la démonstration ? Est ce que ca la forme d'un guide d'onde carré dont chaque coté est égale à "a" et la longueur du guide serait "e" juste pour me le représenter en 3D.

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[legyptien]

bon j arrive pas du tout à me le représenter ce Rs en 3D. Un coup de pouce de quelqu un qui aurait saisit s'il vous plait ?

[invitea3eb043e]

On prend une pastille carrée de côté a et d'épaisseur e. On envoie du courant par le côté, ça fait un conducteur de longueur a et de section a.e
La résistance est alors R = rho.L/s = rho.a/(a.e) = rho/e = 1/(sigma.e)
Qui ne dépend pas de a et qui intervient quand on calcule la réflexion d'une onde sur un plan conducteur.

[legyptien]

On prend une pastille carrée de côté a et d'épaisseur e. On envoie du courant par le côté, ça fait un conducteur de longueur a et de section a.e
La résistance est alors R = rho.L/s = rho.a/(a.e) = rho/e = 1/(sigma.e)
Qui ne dépend pas de a et qui intervient quand on calcule la réflexion d'une onde sur un plan conducteur.

super j'ai bien compris.

Bon je vais abuser de ta gentillesse. Toute ma démonstration est basée sur le fait que le courant est distribué de manière uniforme.

Si on considère que Iz(z) = I0 cos (pi*z/l)
pour -l/2 ≤ z ≤ l/2. On reprend la même démonstration en intégrant i(z). je trouve:

2*l*I0/pi = sigma*Shf*U

Pourtant dans le livre Antenna (3rd edition) de Balanis, il est indiqué que je suis censé trouvé la moitié du Rhf de la distribution continue:

Rhf = 0.5*l/(p*sqrt(2*sigma/(w*u0)))

Rien que la présence de mon "pi" fait que je peux pas tomber sur la bonne réponse et pourtant y a qu'à intégrer un courant. Je vois pas où j'ai pu me tromper....

[invitea3eb043e]

Dans le cas de l'effet de peau, la loi de décroissance n'est pas sinusoïdale, plutôt exponentielle et ce qu'on appelle l'épaisseur de peau est le coefficient dans l'exponentielle. Cela résulte des équations de Maxwell quand le vecteur d'onde k est imaginaire.

[legyptien]

Dans le cas de l'effet de peau, la loi de décroissance n'est pas sinusoïdale, plutôt exponentielle et ce qu'on appelle l'épaisseur de peau est le coefficient dans l'exponentielle. Cela résulte des équations de Maxwell quand le vecteur d'onde k est imaginaire.

Ah!! oui c'est juste. ça veut dire que dans ma démonstration je ne peux pas dire que J(x,y,z) et E(x,y,z) sont constants sur la section droite du conducteur mais les deux sont évanescents donc je pense que le résultat de l'intégrale donnera la même chose que ce que j'ai trouvé.

Parcontre il y a un malentendu pour mon dernier message. L'expression du courant que j'ai indiqué (cosinusoidale) est une donnée du problème. De plus elle ne représente pas le cas où on injecte du courant par l'épaisseur de la pastille même si on voit Rs dans l'expression de Rhf. C'est d'ailleurs parce qu'on injecte du courant de manière classique dans le conducteur que je n'ai pas compris la signification de Rs.

L'expression du courant est la répartition du courant sur l'axe z (axe du conducteur, la section droite étant dans le plan XY).

[invitea3eb043e]

Je ne vois pas comment on peut réaliser cette forme de densité de courant.

[legyptien]

Je ne vois pas comment on peut réaliser cette forme de densité de courant.

La forme de densité de courant est une donnée. On ne cherche pas à la réaliser mais on cherche Rhf du conducteur sur lequel cette répartition de courant se fait.

Dans mes posts précedents j'ai démontré quelle est la valeur de Rhf pour une densité de courant uniforme. Je cherche à faire exactement la même chose mais avec cette distribution.

On est sensé tomber sur: Rhf1=0.5*Rhf2 avec Rhf1 la résistance en haute fréquence pour une distribution non uniforme (donnée ci dessus).
avec Rhf2 la résistance en haute fréquence pour une distribution uniforme.
voici comment on obtient une distribution pareil juste par curiosité (c'est pas le but de l'exercice): C'est une onde stationnaire à cause de la discontinuité du courant à l'interface dipôle/air.

[invitea3eb043e]

On ne peut pas imposer une répartition de courant sans vérifier que ça respecte les équations de Maxwell et les conditions aux limites, pas évident.

[legyptien]

On ne peut pas imposer une répartition de courant sans vérifier que ça respecte les équations de Maxwell et les conditions aux limites, pas évident.

Je suis d'accord mais je peux affirmer (car je l'ai calculé) que la formule de i(z) respecte le fait que c'est une onde stationnaire à cause des réflexions entre le dipôle et le vide.