Dissymétrie temps/espace

[invité576543]

Bonjour,

(La question est purement mathématique, mais vu le sujet, j'imagine la probabilité d'avoir une réponse plus grande qu'en mathématiques du supérieur... Si un modo pense autrement, qu'il déplace le sujet...)

En répondant dans un autre fil à propos de l'espace-temps relativiste (plat, celui de la RR, du moins), je me suis retrouvé troublé par le point suivant.

La métrique n'est définie qu'au signe près (en fait à un facteur multiplicatif non nul près). Qu'on prenne une métrique -+++ ou +--- on doit trouver les mêmes propriétés.

Or les géodésiques minimisent localement l'intégrale de pour celles de genre espace, mais maximisent localement l'intégrale de pour celles de genre temps.

Il s'introduit une dissymétrie qui ne vient pas de la convention de signe. Et ce n'est pas une dissymétrie de signe, qu'on pourrait rectifier en multipliant quelque par par un signe.

En effet, pour le genre temps, en prenant deux points séparés temporellement, l'intégrale de le long d'une courbe différentiable de genre défini (i.e., qui ne change pas le long de la courbe, soit tout 0, soit tout +, soit tout -) les joignant tombe dans l'intervalle ]0, max]. Alors que pour deux points séparés spatialement l'intégrale de le long d'une courbe de genre défini les joignant tombe dans l'intervalle [min, ∞[ .

[Si c'est correct, on peut caractériser une séparation temporelle comme l'existence de courbes de genre défini et dont l'intégrale peut être aussi proche de 0 qu'on veut. C'est une définition indépendante de toute notion de signe.]

Je ne vois qu'une seule origine possible à cette dissymétrie, qui est le nombre de dimensions, 3 pour l'un et 1 pour l'autre.

Mais si cette interprétation est correcte, qu'en est-il de géodésiques dans des espaces avec des pseudo-métriques différentes, et en particulier de signature symétrique, genre +- ou ++--?

Intuitivement, je me dis que c'est la topologie des sous-variétés vectorielles délimitées par le cône de genre nul qui est en cause (on enlève de l'espace vectoriel tous les vecteurs de métrique nulle, et on regarde les parties connexes obtenues). Si la partie d'un signe est connexe (cas du - si +---, ou à la fois du + et du - dans ++--) alors c'est un min; si pas connexe (cas du + si +---, ou à la fois du + et du - dans +-, c'est un max. (Et peut-être bien que pas connexe <=> dimension 1, en rapport avec Sⁿ pas connexe uniquement pour n=0, ou Rⁿ-{x} pas connexe uniquement pour n=1. D'où maximisation seulement pour la dimension 1.)

(Le cas de R euclidien (signature +) marche, parce qu'il n'y a qu'une seule courbe différentiable de genre défini qui joint deux points. Du coup min et max c'est pareil.)

Je n'ai aucune idée comment pourrait-on, si jamais elle est correcte, prouver cette conjecture osée.

Où me trompe-je ou dis-je des conneries ou me pose-je un faux problème ou suis-je tellement peu clair qu'on ne comprend même pas de quoi je cherche à parler ou autre aberration de ma part, genre troll?

Cordialement,
-----

[invite7ce6aa19]

Bonjour,

(La question est purement mathématique, mais vu le sujet, j'imagine la probabilité d'avoir une réponse plus grande qu'en mathématiques du supérieur... Si un modo pense autrement, qu'il déplace le sujet...)

En répondant dans un autre fil à propos de l'espace-temps relativiste (plat, celui de la RR, du moins), je me suis retrouvé troublé par le point suivant.

La métrique n'est définie qu'au signe près (en fait à un facteur multiplicatif non nul près). Qu'on prenne une métrique -+++ ou +--- on doit trouver les mêmes propriétés.

Or les géodésiques minimisent localement l'intégrale de pour celles de genre espace, mais maximisent localement l'intégrale de pour celles de genre temps.

Il s'introduit une dissymétrie qui ne vient pas de la convention de signe. Et ce n'est pas une dissymétrie de signe, qu'on pourrait rectifier en multipliant quelque par par un signe.

En effet, pour le genre temps, en prenant deux points séparés temporellement, l'intégrale de le long d'une courbe différentiable de genre défini (i.e., qui ne change pas le long de la courbe, soit tout 0, soit tout +, soit tout -) les joignant tombe dans l'intervalle ]0, max]. Alors que pour deux points séparés spatialement l'intégrale de le long d'une courbe de genre défini les joignant tombe dans l'intervalle [min, ∞[ .

[Si c'est correct, on peut caractériser une séparation temporelle comme l'existence de courbes de genre défini et dont l'intégrale peut être aussi proche de 0 qu'on veut. C'est une définition indépendante de toute notion de signe.]

Je ne vois qu'une seule origine possible à cette dissymétrie, qui est le nombre de dimensions, 3 pour l'un et 1 pour l'autre.

Mais si cette interprétation est correcte, qu'en est-il de géodésiques dans des espaces avec des pseudo-métriques différentes, et en particulier de signature symétrique, genre +- ou ++--?

Intuitivement, je me dis que c'est la topologie des sous-variétés vectorielles délimitées par le cône de genre nul qui est en cause (on enlève de l'espace vectoriel tous les vecteurs de métrique nulle, et on regarde les parties connexes obtenues). Si la partie d'un signe est connexe (cas du - si +---, ou à la fois du + et du - dans ++--) alors c'est un min; si pas connexe (cas du + si +---, ou à la fois du + et du - dans +-, c'est un max. (Et peut-être bien que pas connexe <=> dimension 1, en rapport avec Sⁿ pas connexe uniquement pour n=0, ou Rⁿ-{x} pas connexe uniquement pour n=1. D'où maximisation seulement pour la dimension 1.)

(Le cas de R euclidien (signature +) marche, parce qu'il n'y a qu'une seule courbe différentiable de genre défini qui joint deux points. Du coup min et max c'est pareil.)

Je n'ai aucune idée comment pourrait-on, si jamais elle est correcte, prouver cette conjecture osée.

Où me trompe-je ou dis-je des conneries ou me pose-je un faux problème ou suis-je tellement peu clair qu'on ne comprend même pas de quoi je cherche à parler ou autre aberration de ma part, genre troll?

Cordialement,

Bonjour Michel,

Je crois comprendre ta question. voici ma réaction froid.

Quant tu choisis une métrique c'est que tu modélises un ensemble de phénomènes physiques par un choix de métrique précis et donc a priori unique de métrique. Donc en prenant les 2 métriques dont tu parles il s'agit à priori de 2 métriques différentes donc de prime abord incompatibles puisque, a priori, que un seul candidat ne peut représenter une seule et unique classe de phénomènes.

En fait ce qui est commun aux deux métriques c'est le changement de signe de la norme d'un vecteur en passant sur le cône de lumière, sur lequel la norme est nulle.


Comme physiquement les seuls états représentatifs de la physique sont situés à l'intérieur du cône de lumière (sous réserve de prendre la causalité comme dogme) alors le choix d'une des 2 métriques est arbitraire et il suffit de respecter mathématiquement un choix initial et de respecter ce choix.

Donc logiquement la physique RR est invariante du signe de métrique de la même façon que l'électromagnétisme est invariante d'un choix de jauge. Il n'en reste pas moins qu'il faut choisir une jauge et donc il y a un problème de stratégie mathématico-physique.

[ordage]

Bonjour,

[COLOR="DarkOrchidOr les géodésiques minimisent localement l'intégrale de pour celles de genre espace, mais maximisent localement l'intégrale de pour celles de genre temps.

Il s'introduit une dissymétrie qui ne vient pas de la convention de signe. Et ce n'est pas une dissymétrie de signe, qu'on pourrait rectifier en multipliant quelque par par un signe.

Cordialement,

Salut
Sans entrer dans des considérations mathématiques, il y a une disymétrie entre le temps et l'espace dans la métrique, puisque dans sa signature, ils sont de signe opposé (quelle que soit la convention utilisée).
Par ailleurs, l'extremum concerne le paramètre affine de la courbe qui est de type temps dans un cas et de type espace dans l'autre.
Cordialement

[invité576543]

Salut
Sans entrer dans des considérations mathématiques, il y a une disymétrie entre le temps et l'espace dans la métrique, puisque dans sa signature, ils sont de signe opposé (quelle que soit la convention utilisée).

Bon, je n'ai pas vraiment réussi à me faire comprendre... Pas le temps d'essayer mieux que le message #1 pour le moment.

Néanmoins, juste un point : en signature +- (dimension 2), le "temps" et "l'espace" sont parfaitement symétriques, alors qu'il y a des signes opposés.

Comme je l'ai écrit ans le message #1, la dissymétrie dont je parle n'est pas causée par la différence de signe. Elle est liée à la différence de signe, évidemment (sinon, le problème n'existerait pas), mais l'exemple du cas +- montre qu'elle ne vient pas de la différence de signe en soi-même.

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ce6aa19]

Salut
Sans entrer dans des considérations mathématiques, il y a une disymétrie entre le temps et l'espace dans la métrique, puisque dans sa signature, ils sont de signe opposé (quelle que soit la convention utilisée).
Par ailleurs, l'extremum concerne le paramètre affine de la courbe qui est de type temps dans un cas et de type espace dans l'autre.
Cordialement

Bonjour,

Absolument d'accord.

L'arbitraire de signe du renversement des signatures des la métrique reflète la non "équivalence" complète entre le temps et l'espace qui reflète elle même la causalité et qui distingue donc la relation entre évènements situés ou non à l'intérieur du cône de lumière.

[invité576543]

L'arbitraire de signe du renversement des signatures des la métrique reflète la non "équivalence" complète entre le temps et l'espace qui reflète elle même la causalité et qui distingue donc la relation entre évènements situés ou non à l'intérieur du cône de lumière.

Désolé, mais non.

Ca ne marche pas en 2D +-, pour laquelle les deux "aspects" sont strictement équivalents.

Faut trouver une explication qui s'applique à la 4D +--- mais pas à la 2D +-.

Mon argument sur la non connexité de "l'intérieur" (côté temporel) du cône de lumière vs. la connexité en 4D de "l'extérieur" (côté spatial) du cône de lumière est peut-être bien lié à la causalité, certes. Mais ce sont les considérations de connexité qui amènent bien une différence entre la 4D +--- et la 2D +-.

Cordialement,

[invite7ce6aa19]

Bon, je n'ai pas vraiment réussi à me faire comprendre... Pas le temps d'essayer mieux que le message #1 pour le moment.

Néanmoins, juste un point : en signature +- (dimension 2), le "temps" et "l'espace" sont parfaitement symétriques, alors qu'il y a des signes opposés.

Comme je l'ai écrit ans le message #1, la dissymétrie dont je parle n'est pas causée par la différence de signe. Elle est liée à la différence de signe, évidemment (sinon, le problème n'existerait pas), mais l'exemple du cas +- montre qu'elle ne vient pas de la différence de signe en soi-même.

Cordialement,

Re bonjour,

Que signifie la différence de signe entre 2 signatures. A priori rien du tout. En dimensions 2 le problème reste le même. Il y a "équivalence".

Par contre tu veux décrire une physique en métrique ++-- tu auras pour les mêmes raisons une "équivalence avec --++ mais pas d'équivalence avec +----.

Digression: Les fameux frères Bogdanov propose que le BigBang soit une transition de phase de métrique du style:

++-- vers +----

Cad qu'il y a 2 "temps" dont 1 devient une dimension spatiale au "moment du bigband. Marrant non?

[invite8915d466]

oui mais ce que dit Michel, si je comprends bien, c'est qu'il existe une différence "intrinsèque" entre temps et espace, du au fait que les extremums de "l'action" sont de nature différente (soit maximal, soit minimal) sur les géodésiques, suivant qu'elles soient "de nature temps" ou "de nature espace", et ceci, totalement indépendamment du choix du signe de la métrique.

Ce qui me parait une remarque tres intéressante, et pas du tout non pertinente, mais j'avoue etre incapable de répondre comme ça sur l'origine de la différence - il est évident qu'une telle différence ne peut pas exister en cas de signature nulle, effectivement.

[invité576543]

oui mais ce que dit Michel, si je comprends bien, c'est qu'il existe une différence "intrinsèque" entre temps et espace, du au fait que les extremums de "l'action" sont de nature différente (soit maximal, soit minimal) sur les géodésiques, suivant qu'elles soient "de nature temps" ou "de nature espace", et ceci, totalement indépendamment du choix du signe de la métrique.

Je confirme.

Cordialement,

[invite7ce6aa19]

oui mais ce que dit Michel, si je comprends bien, c'est qu'il existe une différence "intrinsèque" entre temps et espace, du au fait que les extremums de "l'action" sont de nature différente (soit maximal, soit minimal) sur les géodésiques, suivant qu'elles soient "de nature temps" ou "de nature espace", et ceci, totalement indépendamment du choix du signe de la métrique.

Ce qui me parait une remarque tres intéressante, et pas du tout non pertinente, mais j'avoue etre incapable de répondre comme ça sur l'origine de la différence - il est évident qu'une telle différence ne peut pas exister en cas de signature nulle, effectivement.

Bonjour,


Ceci c'est la même chose que la thermodynamique.

on construit une fonction qui s'appelle entropie et qui est maximale à l'équilibre. En définissant l'entropie avec un signe négatif, la néguentropie, alors celle-ci est minimale à l'équilibre (c'est pour être compatible avec l'idée générale de potentiel thermodynamique compatible avec la notion d'équilibre mécanique).

Le maximun (de l'entropie) ou le minimum(de l'entropie) est le résultat d'un calcul variationnel vis a vis des fluctuations des grandeurs associées aux configurations (comme la longueur d'un chemin est une sélection parmi une multitude d'autres).

Quand une fonction thermodynamique change de signe on a une transition de phase qui est l'expression d'une instabilité.

De la même façon quand on, franchit le cône de lumière on a une instabilité du vide qui donne les tachyons (qui n'existe pas car violant le "dogme" de la causalité").

Dans tous les 2 cas on franchit une frontière et ce "franchissement" peut se décrire avec un signe ou un autre.

[stefjm]

oui mais ce que dit Michel, si je comprends bien, c'est qu'il existe une différence "intrinsèque" entre temps et espace, du au fait que les extremums de "l'action" sont de nature différente (soit maximal, soit minimal) sur les géodésiques, suivant qu'elles soient "de nature temps" ou "de nature espace", et ceci, totalement indépendamment du choix du signe de la métrique.

Naïvement, je regarderais la "dérivée" et les soucis de stabilité.

Ce qui me parait une remarque tres intéressante, et pas du tout non pertinente, mais j'avoue etre incapable de répondre comme ça sur l'origine de la différence - il est évident qu'une telle différence ne peut pas exister en cas de signature nulle, effectivement.

Je regarderais ce qui se passe en dim 2 espace + 1 temps. (parce que tout ce qui tourne tourne dans un plan)
Cordialement.

[invité576543]

Je vais essayer de développer un peu mon intuition sur la connexité.

Je me mets dans le cas d'un espace de dimension n>2, avec une métrique de signature (1, n-1).

Comme le sous-espace des vecteurs strictement de genre espace est connexe, il est possible de passer continument d'un vecteur vitesse v à un point de la courbe à un vecteur vitesse -v à un autre point sans changer nulle part de genre ni s'annuler. Cela permet de faire des boucles, ce qui implique qu'on peut joindre les deux points par des courbes strictement de genre espace, et d'intégrale de aussi grande que l'on veut (suffit d'ajouter autant de boucles que nécessaire).

Pour une géodésique de genre espace, l'extréma ne peut donc être qu'un minima.

Pas contre, comme le sous-espace des vecteurs strictement de genre temps n'est pas connexe, il est impossible de passer continument d'un vecteur vitesse v à un point de la courbe à un vecteur vitesse -v à un autre point sans passer par le vecteur nul. Pour une géodésique de genre temps, ce n'est pas possible. Il est semble impossible de faire une boucle sur une courbe non réduite à un point, strictement de genre temps et reliant deux points.

On ne peut alors pas appliquer l'argument utilisé pour les courbes de genre espace pour dire que l'extrémum est un minimum.

Cela n'explique pas pourquoi c'est un minimum plutôt qu'un maximum! Mais cela laisse penser que la connexité intervient.

Notons que cela permet de prédire que pour la signature ++--, il n'y a que des géodésiques avec minima, ce que je ne sais pas vérifier.

Cordialement,

[invite7ce6aa19]

Je vais essayer de développer un peu mon intuition sur la connexité.

Je me mets dans le cas d'un espace de dimension n>2, avec une métrique de signature (1, n-1).

Comme le sous-espace des vecteurs strictement de genre espace est connexe, il est possible de passer continument d'un vecteur vitesse v à un point de la courbe à un vecteur vitesse -v à un autre point sans changer nulle part de genre ni s'annuler.

J'essaie de comprendre ton argument de connexité. Voici une question?

La connexité dont tu parles est celui des vitesses au sein d'un cône du futur (ou du passé). Comment assures-tu la connexité entre les 2 cônes sans sortir des cônes de lumière.

Cette question a un rapport à la causalité. Non?

[invité576543]

J'essaie de comprendre ton argument de connexité. Voici une question?

La connexité dont tu parles est celui des vitesses au sein d'un cône du futur (ou du passé). Comment assures-tu la connexité entre les 2 cônes sans sortir des cônes de lumière.

Je dis justement que les vitesses de genre "temps" ne forment PAS un ensemble connexe (il y a deux sous-parties connexes, passé et futur), on est bien d'accord là-dessus.

Alors que l'ensemble des "vitesses" (vecteurs tangents) de type "espace" est, lui, connexe en (3,1) [mais pas en (1,1)].

Le point qui serait important (?) c'est la connexité de l'espace des vecteurs strictement "espace".

En gros : pas connexe => maximisation (temporel), connexe => minimisation (spatial).

Cette question a un rapport à la causalité. Non?

J'imagine, mais je n'arrive pas à voir comment se formalise la causalité dans le cadre mathématiques strictement suffisant pour parler de géodésiques ou exposer ma question.

Cordialement,

[invité576543]

J'imagine, mais je n'arrive pas à voir comment se formalise la causalité dans le cadre mathématiques strictement suffisant pour parler de géodésiques ou exposer ma question.

Je précise : je comprends la causalité comme le choix d'une des deux parties connexes de l'ensemble des vecteurs strictement "temps", ce qui distingue "passé" et "futur". (Choix unique pour l'espace-temps affine de la RR, i.e., le choix pour un point implique par continuité celui pour les autres points.)

Mais je ne vois pas où cette structure supplémentaire intervient dans la définition des géodésiques à partir de la connexion affine, et donc dans ce qui est strictement suffisant pour mon questionnement.

Si on n'en a pas besoin pour exprimer le problème, comment le choix (arbitraire) pourrait-il intervenir dans la solution?

Cordialement,

[invité576543]

Bonjour,

J'ai trouvé deux points sur lesquels je me trompais grave... (Et qui rendent la question initiale complètement à côté de la plaque.)

1- On ne limite pas aux chemins différentiables partout, mais seulement aux chemins différentiables par morceaux. Du coup, mon argument de non passage par la vitesse 0 ne vaut pas un clou.

2- Le chemin de (0,0) à (0, 1) passant par a une intégrale de plus petite pour non nul que pour , la géodésique.

La ligne droite n'est donc pas le chemin "le plus court" parmi tous les chemins différentiables par morceau (ou différentiables tout court, d'ailleurs) et de genre espace qui joignent deux points à séparation spatiale.

Plus généralement, soit deux points quelconques, l'ensemble des chemins différentiables par morceau et de genre défini qui les joignent a pour image par l'intégrale de le segment ]0, infini[ ou [0, infini[ dans tous les cas, spatial, temporel, nul, et signature autre qu'euclidienne.

Me suis fait avoir sans vérifier par une affirmation incomplète qui traîne partout, semblerait-il...

---

Comment s'y retrouver alors? Il faut restreindre l'ensemble des chemins admissibles. J'imagine que c'est la structure causale qui est utilisée pour restreindre les chemins, mais je ne vois pas trop comment cela se fait exactement. (Pour les séparations temporelles, suffit de se limiter aux chemins causaux. Pour les séparations spatiales)

----

Moralité :

1) Faut pas prendre certaines affirmations qui traînent partout genre min pour le spatial, max pour le temporel, sans examen critique

2) Une pseudo-métrique, c'est pas, mais pas du tout, une métrique.

3) La définition d'une géodésique par la connexion, i.e., soit par la propriété de transport parallèle du tangent, soit directement par l'équation géodésique, me paraît bien meilleure, s'appliquant sans aucun besoin de structure causale, à ces notions de min pour le spatial et max pour le temporel.

Cordialement,

PS: Reste comme question ouverte pour moi cette notion de "minimisation de distance spatiale"... Minimum de quoi, et sur quel ensemble?

[invité576543]

Du coup je lis quelques textes sur le net (Rincevent m'a donné des pistes), but: répondre à la question ouverte à la fin du message précédent.

Mais je reste perplexe...

Par exemple, dans http://en.wikipedia.org/wiki/Geodesi..._relativity%29

la section "Geodesics as extremal curves" est troublante. Qu'on en juge.

La première phrase rappelle cette notion de max pour temporel, min pour spatial. OK. Ensuite la formule de la quantité à optimiser est celle que j'utilise. OK.

Mais ensuite (après "proof") il est facile de vérifier que c'est limité aux géodésiques temporelles (la valeur absolue a disparu, remplacé par un - , la signature -+++ est précisée dans l'intro)! Je ne trouve pas l'ombre d'une notion de minimisation pour les séparations spatiales.

---

A un autre endroit, une phrase intéressante est

Spacelike geodesics exist. They do not correspond to the path of any physical particle, but in a space that has space-sections orthogonal to a timelike Killing vector a spacelike geodesic (with its affine parameter) within such a space section represents the graph of a tightly stretched, massless filament.

Évidemment, si on se restreint à une section spatiale orthogonale à un vecteur de Killing, la pseudo-métrique se restreint à une vraie métrique, et la notion de géodésique comme minimisant une vraie distance s'applique parfaitement.

Est-ce cela la notion de "min pour les géodésiques spatiales"? Elles seraient toujours plongeables dans au moins une section spatiale orthogonale à un vecteur de Killing et la notion de min serait restreinte aux chemins dans cette section?

Sûr que cela marche comme approche pour le cas plat (ce serait "courbe de distance minimale parmi toutes les courbes dans un hyperplan spatial la contenant". Ou encore, un segment de droite spatiale minimise la distance dans tout hyperplan spatial le contenant; ou minimise la distance parmi toutes les courbes contraintes par l'existence d'un hyperplan spatial la contenant...)

Si c'est ça, je n'arrive pas à trouver (sur le net, pas encore fait un tour à la bibli...) un texte qui l'explicite clairement. Etrange. Je dois encore me gourer quelque part...

Cordialement,

[invite8915d466]

Bonjour,

J'ai trouvé deux points sur lesquels je me trompais grave... (Et qui rendent la question initiale complètement à côté de la plaque.)

j'allais le poster mais tu m'as devancé la nuit portant conseil, je me suis dit que l'affirmation initiale était fausse !!
en fait je pense que la réponse est assez simple , et quand meme liée à la dimensionnalité des espaces , dans un espace plat en tout cas (pseudo euclidien). En choisissant astucieusement le système de coordonnées, tu peux choisir que A et B n'en differe que par une seule coordonnée , et relier A et B par un segment le long de cette coordonnée, et la distance est alors trivialement . selon cette géodésique.

Maintenant si tu choisis un autre chemin, tu vas rajouter des termes qui se rajoutent à la distance si à le même signe dans la métrique que , mais diminuent cette distance si il a un signe opposé.

SI l'intervalle est temporel, alors tu ne peux perturber le chemin que par une coordonnée SPATIALE, de signe opposé , et donc le chemin est génériquement de "longeur" plus petite , et donc la géodésique correspond bien à un chemin MAXIMAL absolu.

En revanche , si l'intervalle est spatial, tu peux SOIT rajouter une variation temporelle sur le chemin ,et tu diminueras la distance, SOIT rajouter une autre coordonnée spatiale, et tu l'augmenteras. La géodésique (ligne droite spatiale) est donc un "point col" stationnaire, mais ni un minimum, ni un maximum : elle est minimale pour les perturbations spatiales , mais maximale pour les temporelles : mais ce n'est pas un minimum absolu contrairement à la première assertion.

Et c'est bien la dégénerescence de la métrique et l'existence "d'autres dimensions" de meme signe qui permet d'augmenter la distance en rajoutant des "+". Au dela de 3 dimensions, il y a forcément 2 dimensions de meme signe, et donc au plus une dimension peut avoir des géodésiques maximales. toutes les autres sont des points cols, ou des minimums pour la métrique euclidienne où tous les signes sont >0.

ce qui est quand meme interessant, parce que le principe de moindre action "physique" postule une action MINIMALE. Ca montre donc que SEULES les trajectoires temporelles peuvent etre caractérisées par une action minimale (qui ne peut etre que l'opposé de tau) (et qu'il faut absolument une signature (N;1) pour ça donc UN temps et N coordonnées de signe opposé) pour que "ça marche"..... donc ton post était quand meme pertinent !

amicalement

Gilles

[invité576543]

Du coup, ce fil aussi est pertinent comme une "critique" des phrases comme

A geodesic between two events could also be described as the curve joining those two events which has the maximum possible length in time — for a timelike curve — or the minimum possible length in space — for a spacelike curve.

qui présentent le minimum comme absolu, et se révèlent aptes à véhiculer une image très fausse. (J'interprète "in time" et "in space" comme voulant dire "en mesure de durée" et "en mesure de longueur".)

Non?

Cordialement,

[ordage]

Bon, je n'ai pas vraiment réussi à me faire comprendre... Pas le temps d'essayer mieux que le message #1 pour le moment.

Néanmoins, juste un point : en signature +- (dimension 2), le "temps" et "l'espace" sont parfaitement symétriques, alors qu'il y a des signes opposés.

Comme je l'ai écrit ans le message #1, la dissymétrie dont je parle n'est pas causée par la différence de signe. Elle est liée à la différence de signe, évidemment (sinon, le problème n'existerait pas), mais l'exemple du cas +- montre qu'elle ne vient pas de la différence de signe en soi-même.

Cordialement,

Salut

Ma remarque était purement formelle de justification de l'existence de différence.

Comme il y a des différences de signe dans la métrique (en particulier dans la forme canonique de la métrique caractérisée par sa signature, qui est un invariant, cf loi d'inertie de Sylvester), il faut pas s'étonner qu'il y ait des différences comme dans un cas un maximum dans l'autre un minimum.

En allant un peu plus loin, quelques suggestions...


Si je me souviens bien le caractère (type temps, nul, ou espace) ne change pas sur une ligne d'univers entre deux points A et B de l'espace temps selon le type d'intervalle entre A et B (respectivement temps, nul ou espace), ce qui revient à dire que le paramètre affine est d'un certain type et d'un seul sur une telle courbe.

L'extremum s'exprime en fonction de ce paramètre affine (la longueur de la courbe mesurée par ce paramètre affine).

On peut aussi regarder comment on établit l'équation géodésique en RG:

De façon assez classique on commence par utiliser l'équation du transport parallèle d'un 4-vecteur qui à ma connaissance est une équation "tensorielle" sur des 4-vecteurs qui ne préjuge pas de leur type. Cette équation est donc valide quel que soit le type du vecteur (temps, nul, espace). L'équation qu'on obtient fait appel à une conexion (non définie) et ne fait pas référence à la métrique.

Ensuite en faisant référence à la métrique g_mn, on définit un Lagrangien = 1/2 g_mn (dx^m)(dx^n) on applique le principe variationnel (mais dans ce que j'ai vu, on se restreint au type temps me semble t'il) et en comparant les résultats on obtient la valeur de la connexion métrique bien connue (Symboles e Christoffel).

Pour justifier que l'extremum dans le cas du type temps est un maximum on utilise un argument topologique, en montrant que cela ne peut pas être un minimum, car on peut toujours définir une ligne plus courte que n'importe quelle ligne de type temps puisqu'une ligne brisée de type nul joignant les deux points a une longueur nulle.
On peut faire observer qu'on peut approcher par une ligne de type temps cette ligne nulle aussi près que l'on veut par un observateur aussi proche que l'on veut de la vitesse de la lumière.

On doit pouvoir utiliser le même argument pour justifier le cas espace pour montrer que cela ne peut pas être un maximum, car on peut toujours construire une ligne d'univers de type espace plus longue..

J'espère que cela peut apporter de l'eau à ton moulin.
Cordialement

[invite6754323456711]

Bonjour,

Le fait donner la même dimension physique au temps (ct) et à l'espace ne devrait pas changer la différence intrinsèque qui existe entre les deux non ?. Le temps est caractérisé par un cours du temps ce qui n'est pas le cas de l'espace.

Ne devrait-on pas alors naturellement observer des dissymétries telle que celle sur le calcul des extrémums ?

Patrick

[invité576543]

Le fait donner la même dimension physique au temps (ct) et à l'espace ne devrait pas changer la différence intrinsèque qui existe entre les deux non ?

Aucune raison, c'est juste un choix d'unité, un choix arbitraire.

Le temps est caractérisé par un cours du temps ce qui n'est pas le cas de l'espace.

Oui, mais cela est une conséquence de la différence entre 1 dimension et 3 dimensions (2 ou plus). La dimension 1 du temps dans une métrique (1,3) entraîne des différences topologiques essentielles (qu'on peut voir à partir de la connexité comme je l'ai fait, ou autres). C'est la topologie qui permet de distinguer le passé et le futur, et qui interdit un découpage similaire dans le domaine spatial.

Ne devrait-on pas alors naturellement observer des dissymétries telle que celle sur le calcul des extrémums ?

J'en reste à la démo de Gilles: le calcul variationnel conclut seulement que la "variation au premier degré de la longueur" est nulle "autour d'une géodésique". En 1D, cela donne un extrema, certes. Mais en 2D ou plus, cela peut être un extrema ou un point col. Dans le cas d'une géodésique temporelle, c'est un extréma qu'on montre facilement être un maxima. Dans le cas d'une géodésique spatiale il se trouve que c'est un point col.

C'est clair pour moi maintenant!

Cordialement,

[xxxxxxxx]

Bonjour,

je m'immisse et après je sors.

cette discution me fais penser à un espace statique à 4 dimensions de type ++++ ou ----, où ++ ou -- est une surface (type carré)

... et où là dissymétrie est créée par le changement de signe d'une des arrêtes qui devient le temps. le temps augmentant l'autre arrête spatiale diminue pour garder l'équilibre.

que tout cela est loin de votre niveau en physique

[invite6754323456711]

Dans le cas d'une géodésique spatiale il se trouve que c'est un point col.

On devrait parler alors de ligne col. En fonction du chemin elle est maxima (perturbation temporelle) ou minima (perturbation spatiale).

Patrick

[invité576543]

On devrait parler alors de ligne col.

La ligne est un point dans l'espace des lignes.

D'accord, c'est assez abstrait...

L'idée est que tu prends la ligne (une seul objet, un "point" dans l'espace des objets, ici les lignes joignant deux événements) et tu t'en éloigne infinitésimalement dans toutes les "directions" dans l'espace des lignes (dont la dimension est infini ), et tu regardes la "forme" autour de ce "point". Point col (ou point selle), parce que c'est plat au premier ordre, mais ça descend dans certaines directions (de déformation de la ligne) et monte dans d'autres.

En fonction du chemin elle est maxima (perturbation temporelle) ou minima (perturbation spatiale).

La formulation de Gilles est plus claire : si on restreint les déformations à des perturbations temporelles, c'est un maxima, si on les restreint à des perturbations spatiales (i.e., en restant dans une même section spatial), c'est un minima. (La notion de minima ou maxima est relative à un ensemble de perturbations possible, il faut donc le préciser)

Il y a des tas d'autres perturbations, et tout ce qu'on peut dire c'est qu'il y a qui vont donner une distance plus grande, d'autre une distance plus petite.

Cordialement,

[Les Terres Bleues]

(...) Si l'intervalle est temporel, alors tu ne peux perturber le chemin que par une coordonnée SPATIALE, de signe opposé , et donc le chemin est génériquement de "longueur" plus petite , et donc la géodésique correspond bien à un chemin MAXIMAL absolu.

En revanche , si l'intervalle est spatial, tu peux SOIT rajouter une variation temporelle sur le chemin ,et tu diminueras la distance, SOIT rajouter une autre coordonnée spatiale, et tu l'augmenteras. La géodésique (ligne droite spatiale) est donc un "point col" stationnaire, mais ni un minimum, ni un maximum : elle est minimale pour les perturbations spatiales , mais maximale pour les temporelles : mais ce n'est pas un minimum absolu contrairement à la première assertion.

Et c'est bien la dégénerescence de la métrique et l'existence "d'autres dimensions" de meme signe qui permet d'augmenter la distance en rajoutant des "+". Au dela de 3 dimensions, il y a forcément 2 dimensions de même signe, et donc au plus une dimension peut avoir des géodésiques maximales. Toutes les autres sont des points cols, ou des minimums pour la métrique euclidienne où tous les signes sont >0.

ce qui est quand meme intéressant, parce que le principe de moindre action "physique" postule une action MINIMALE. Ca montre donc que SEULES les trajectoires temporelles peuvent etre caractérisées par une action minimale (qui ne peut etre que l'opposé de tau) (et qu'il faut absolument une signature (N;1) pour ça donc UN temps et N coordonnées de signe opposé) pour que "ça marche"..... donc ton post était quand meme pertinent !

Bonsoir,

Le questionnement me paraît à moi-aussi véritablement intéressant, mais je suis cependant toujours confronté au même problème : comme je n'ai pas le niveau, je me trouve en grande difficulté afin de m'exprimer de façon à être compris par des intervenants qui "touchent" bien mieux le sujet. J'espère que l'on ne m'en voudra pas pour autant et que j'arriverai à faire comprendre ce que j'essaie de dire.

Voilà. De mon point de vue le "temps" de la physique est une "réalité" composite, d'une part, la durée, notion mesurable et relative que l'on traduit en une (pseudo)-métrique, d'autre part, la flèche, relation d'ordre, c'est-à-dire concept absolu dans l'état actuel de nos connaissances, et qui se trouve être le fondement de la causalité. Cette flèche ne se mesure pas, elle se constate. Point.

D'où la difficulté à traiter cette double personnalité en une seule approche.
Qu'est-ce qui permet de différencier dans l'absolu intervalle spatial et intervalle temporel ?
Parce que si on n'oublie pas que :

ce qui est du temps pour l'un est de l'espace pour l'autre et inversement

tout ne dépend alors que du (ou des) mouvement(s) de l'observateur ou des observateurs, et il devient carrément impossible de gérer la spécificité qu'introduit cette flèche. On arrive à un embrouillamini total de cônes de lumière qui par certains aspects pourrait faire penser au système ptoléméen hyper-compliqué des orbites planétaires adaptées au géocentrisme, et peut-être davantage.

Il me semble qu'il y a là un manque théorique.
Je ne sais pas si j'ai été suffisamment clair, mais j'ai fait de mon mieux.

Cordiales salutations.

[invité576543]

Voilà. De mon point de vue le "temps" de la physique est une "réalité" composite, d'une part, la durée, notion mesurable et relative que l'on traduit en une (pseudo)-métrique, d'autre part, la flèche, relation d'ordre, c'est-à-dire concept absolu dans l'état actuel de nos connaissances, et qui se trouve être le fondement de la causalité. Cette flèche ne se mesure pas, elle se constate. Point.

Cela me paraît un sujet très différent de celui soulevé ici, qui était (je le maintiens) essentiellement mathématique.

Qu'est-ce qui permet de différencier dans l'absolu intervalle spatial et intervalle temporel ?

Au sens du modèle mathématique en question dans ce fil, c'est limpide : est intervalle spatial ce dont le ds² est du signe répété trois fois dans la signature de la métrique. Est temporel le signe non répété.

Traduction à peine moins mathématique, l'espace manifeste des propriétés de symétrie ternaire, s'organisant en trois dimensions jouant des rôles symétriques.

Après, c'est de la physique, c'est discuter l'adéquation du modèle à ce qu'on en attend en pratique (de pragma, l'action).

Mais cela déborde du sujet de ce fil, non?

Cordialement,

[invitebd2b1648]

Salut à tous et particulièrement à Michel !

[petit HS physique]si on parle de géodésique de genre espace donc de distance négative (j'espère que c'est bien la distance qui est négative et donc minimale pour ne pas confondre avec les géodésique de genre lumière de distance nulle ... ? ), alors rien de matériel au sens de particules ne peut l'emprunter ... non ? je pense avoir pris la signature (+---)...[/petit HS physique]

Désolé Michel pour cette digression mais en maths je n'ai plus le niveau et je trouve plus pertinent de la poser ici plutôt que dans mon fil que je n'arrivais plus à suivre et qui se meurt lentement de sa belle mort ... !

@ +

PS : je répondrais à ton MP quand j'aurais bien réfléchi et à tête reposée ...

[invite6754323456711]

Qu'est-ce qui permet de différencier dans l'absolu intervalle spatial et intervalle temporel ?

Tous les deux sont un intervalle espace-temps entre deux événements qui est un invariant par changement de référentiel.

Intervalle espace-temps de genre temps peut se comprendre comme représentant le temps propre. Alors que l'intervalle espace-temps de genre espace peut se comprendre comme représentant la longueur propre.

Après qu'elle signification physique peut être donné aux géodésiques ? La géodésique de genre temps maximise le temps propre (il faut penser au paradoxe des jumeaux).


Patrick

[invite6754323456711]

[QUOTE=octanitrocubane;2722342]
[petit HS physique]si on parle de géodésique de genre espace donc de distance négative (j'espère que c'est bien la distance qui est négative et donc minimale pour ne pas confondre avec les géodésique de genre lumière de distance nulle ... ? ), alors rien de matériel au sens de particules ne peut l'emprunter ... non ? je pense avoir pris la signature (+---)...[/petit HS physique]

Pour l'interprétation physique d'une géodésique de genre espace je répondrais aussi qu'aucune particule de masse réelle ou nulle ne peut la parcourir. Maintenant si on fait entrer les nombres complexes la particule hypothétique qu'est le tachyon de masse complexe doit pouvoir suivre une géodésique de genre espace il me semble.

Patrick