Quantique : Etats liés ou de Diffusion ?

[invite512d16bc]

Bonjour tout le monde !

Après plusieurs recherche, le concept d'états liés et de diffusion sur une marche de potentiel par exemple n'est pas très clair...

Voilà ce que j'ai compris, et dites moi où c'est faux ( car c'est surement faux ^^ )

Lorsque la particule-onde arrive sur le marche avec une énergie inférieure à Vo (pour Vo>0 ), on observe un état lié : l'onde adopte des niveaux d'énergie "discrets"
Inversement pour Vo<0.

Si l'énergie est "plus grande" que la marche, l'état est dit de diffusion, et donc l'énergie de l'onde est un "continuum".

Mes problèmes : on a un "i" dans l'expression de l'onde en état de diffusion : phi=Texp(ikx) , hors ce "i" n'implique-t-il pas un comportement sinusoidal ? Je l'aurais plutôt associé à un état lié, qui lui implique un mouvement "oscillant" ou "rotatif"...

Merci d'éclairer ces zones obscures
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[invitea774bcd7]

Avec une marche de potentiel, t'as que des états de diffusion… Faut un puits pour avoir des états liés

Un état lié décroît en exponentielle réelle. Un état de diffusion, c'est un cosinus ou un sinus (fonctions propres de l'opérateur impulsion p), une exponentielle complexe.

[invite512d16bc]

Merci pour ta réponse, comme tu le vois, j'ai pas mal de retard, j'ai repris les cours cette année après 1 an de pause... Je dois me remettre dans le bain !!

Mais quand tu dis qu'il faut un puit pour avoir des états liés, à quoi est-ce dû ? J'ai rencontré plusieurs explications contradictoires voir étranges... état lié : E<Vo ou parfois état lié : E<0

En dehors d'exemples tout fait ( puit, marche etc... ) comment savoir dans quel cas on se trouve ?

Encore merci

[invitea774bcd7]

Ça va pas être évident sans schéma mais bon…

Tu es ici à une dimension. Appelons-la x.
Un état lié c'est état qui tend vers 0 en . Ça, c'est que pour cet état puisse être normé. Pour que l'intégrale soit finie.

Avec potentiels à une dimension, c'est tout bête : tu traces ton potentiel V(x). Tu traces une ligne horizontale à l'énergie à laquelle tu calcules. Tu regardes les abscisses où les deux se croisent, ça te définis différentes zones. Dans les zones où est plus grand que le potentiel, la fonction d'onde oscilleras en sinus/cosinus. Dans les zones où est plus petit que le potentiel, la fonction d'onde décroîtra en exponentielle.

Imagine maintenant un puits de potentiel de largeur a. Ce potentiel vaut
– 0 de -infini à -a/2
– -V0 de -a/2 à a/2
– 0 de a/2 à +infini

3 cas se présentent
1) E0 plus grand que 0
2) E0 compris entre -V0 et 0
3) E0 plus petit que -V0

Les cas 1) et 3) sont triviaux : dans les deux cas, il n'y a qu'une zone qui va de x=-infini à x=+infini. Dans le premier cas, E0 est toujours supérieur au potentiel ==> fonction d'onde toujours oscillante partout. Dans l'autre, E0 toujours inférieure au potentiel ==> fonction d'onde toujours en exponentielle (en fait, fonction d'onde nulle partout nécessairement…)
Le cas intéressant est le 2). Y a une zone de x=-infini à x=-a/2 où la fonction d'onde est en exponentielle, une autre zone de x=-a/2 à x=+a/2 où la fonction d'onde est oscillante et finalement une dernière zone de x=+a/2 à infini où la fonction d'onde est en exponentielle. Ça fera un état lié car vers x=-infini et vers x=+infini la fonction d'onde est en exponentielle et tend vers zéro.

Avec une marche de hauteur V0 en x=0, je peux refaire la même chose. Les cas 1) et 3) sont les mêmes : dans un cas, un état purement de diffusion ou un état identiquement nul partout.
Pour le cas 2), y aura deux zones : de x=-infini à 0 où la fonction d'onde sera en exponentielle et de x=0 à x=+infini où la fonction d'onde sera oscillante. Mais ça, ça peut pas être un état lié car ça oscille vers x=+infini. L'intégrale du début de mon message n'est pas définie…

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite512d16bc]

Merci beaucoup pour la rapidité et la qualité de ta réponse !

Si je résume bien : quand la fonction d'onde converge ( vers 0 ) en l'infini, on a un état lié, si elle est divergente en l'infini, c'est un état de diffusion !

Je vais maintenant analyser en détail les différentes zones du puit et de la marche, pour essayer de retrouver tes explications avec les expressions mathématiques et les coefficients de phi de chaque zone.

[invitea774bcd7]

si elle est divergente en l'infini, c'est un état de diffusion !

Non, si elle est oscillante. Une fonction d'onde ne peut pas diverger en l'infini.

[invite512d16bc]

exact ! abus de langage de ma part ^^

en réalité l'état est donc dit de diffusion pour psi ne "converge pas" en + ou - l'infini

Par contre, la détermination des coeffs n'est pas simple pour un puit de barrières non infinies ! On ne connait pas les conditions aux abscisses des barrières...

La seule méthode est donc d'appliquer la continuité de psi (et de psi') à ces endroits n'est-ce pas ?

[invitea774bcd7]

La seule méthode est donc d'appliquer la continuité de psi (et de psi') à ces endroits n'est-ce pas ?

Oui effectivement. J'en ai pas parlé mais en effet, pour avoir la fonction d'onde partout, il te faut ensuite assurer la continuité de la fonction et de sa dérivée à chaque frontières entre les différentes zones.
Et non, ce n'est pas immédiat pour un puits mais c'est justement ça qui va te donner le spectre discret : tu ne pourras « joindre » les bouts de fonctions d'onde que pour certaines valeurs bien précise de l'énergie.

[invite512d16bc]

Je pense avoir compris la résolution pour un puit de Vo positif et V nul pour le fond du puit !

Y a t'il un intérêt particulier à tout refaire avec un fond de puit tel que vo<0 ? (Une subtilité mathématique ou physique quelconque, même si j'en doute, je ne voudrais pas me retrouver coincer bêtement pendant un exam ) ou est-il plus sage de s'attaquer à un autre exo comme l'effet tunnel ?

[invitea774bcd7]

Y a t'il un intérêt particulier à tout refaire avec un fond de puit tel que vo<0 ?

Non, aucun…

[invite512d16bc]

Merci, c'est ce qu'il me semblait !

[invite512d16bc]

Une dernière chose pour en finir avec ce puits !

Lorsque je pose mes conditions aux limites, pour résoudre, je bidouille un moment pour arriver à une équation du genre k - npi/2 = arctan [ racine ( ko²-ko ) / k ]...

Y a-t-il une résolution analytique d'envisageable ou "simplement" graphique ?

Personnellement, un arctan de racine de fraction, je ne saurais pas le tracer

C'est un peu frustrant de faire tout ça, pour ne pas pouvoir écrire cette fichue quantification d'énergie

[invitea774bcd7]

Non, c'est pas soluble analytiquement. Faut faire ça numériquement.

[invite512d16bc]

d'accord, j'en vois donc enfin le bout !

Encore merci pour le temps que tu as passé à répondre à un "noob" en quantique