Bonjour à tous et bonne et heureuse année!
Voici ma question. Quand un cherche les valeurs propres d'une matrice et qu'on trouve par exemple pour une matrice 3x3 3 valeurs propres distincts on aura 3 vecteurs propres distincts qu'on pourra mettre sous forme de matrice 3x3 aussi. Mais le cas ou l'on a 2 valeurs propres identiques c'est a dire de multiplicité 2. On aura donc 2 vecteurs propres et plus qu'une matrice 3 lignes 2 colonnes c'est bien ça?
Merci
je sais pas si vous voyez mon problème :s
Pas trop...Envoyé par Lucie67
pourquoi veux-tu mettre tes vecteurs sous forme de matrice ?
Dans le cas ou tu as deux valeurs propres identiques tu auras toujours 3 vecteurs. Deux vecteurs auront simplement la même valeur propre, on dira qu'ils sont dégénérés. Ces deux vecteurs forment un sous espace de dimension 2 et en fait n'importe quel vecteur de ce sous espace aura cette même valeur propre.
Par exemple A|1>=a|1> et A|2>=a|2> alors A(c1|1>+c2|2>)=c1A|1>+c2A|2>=a(c1|1>+c2|2>)
Le choix de tes deux vecteurs dégénérés n'est donc pas unique.
merci de répondre aussi vite c'est vraiment gentil. Je vais essayer d'être plus précise sur mon problème. Enfaite je vais vous montrer comment je résolve un exercice en fonction de deux matrices l'une qui aura 2 valeurs propres identiques et l'autre qui aura des valeurs propres distinctes et ensuite je chercherai les vecteurs propres associées à ces valeurs propre.
1er matrice A:
001
000
100 => les valeurs propres sont : 0,1 et -1
Après je résolve le système suivant les valeurs propres: A(x,y,z)=Lam(x,y,z)
et j'obtiens donc 3 vecteurs que je normalise:
pour 0 :
0
1
0
pour 1 :
1/rac(2)
0
1/rac(2)
et pour -1:
1/rac(2)
0
-1/rac(2)
jusque la ça va.
Prenons la matrice B:
100
001
010 => les valeurs propres sont : 1,1 et -1
et c'est a partir de la que je commence a avoir des problèmes.
je cherche le vecteur propre associer a la valeur propre -1 :
je procède de la même manière et j'obtiens x=-x , z=-y et y=-z
j'obtiens le vecteur (après normalisation):
0
1/rac(2)
-1/rac(2)
pour la valeur propres 1 :
j'ai x=x, y=z et z=y et la je ne sais jamais ce qu'il faut faire est ce que le vecteur s'écrit (sans norme):
1
1
1
ou
1
0
0
et
0
1
1
on pourrai m'expliquer clairement si possible le pourquoi du comment.
Merci
Il te faut deux vecteurs propres orthonormaux ayant la meme valeur propre et qui soit aussi orthogonaux au troisieme vecteur propre.
Ensuite, une fois que tu as trouvé deux vecteurs propres du sous espace dégénéré, tu peux faire des combinaisons lineaires entre eux pour trouver une nouvelle base du sous-espace.
Il y a donc une part d'arbitraire.
C'est tout l'interet d'utiliser un ECOC pour enlever l'arbitraire, vu que dans ce cas, il te faut diagonaliser toute les matrices de l'ECOC.
On va essayer autrement
soit 3 vecteurs |a>, |b> et |c>
avec un opérateur A tel que A|a>=1|c>, A|b>=0|b> et A|c>=1|a>
d'où la matrice :
001
000
100
on a un vecteur propre : |b>
reste a diagonaliser A sur |a> et |c> de matrice :
01
10
tu l'as fait et obtenu les 2 vecteurs 1/rac(2)(|a>+|c>) et 1/rac(2)(|a>-|c>) avec les valeurs propres 1 et -1.
deuxième partie :
soit l'op B tel que :
B|a>=1|a>, B|b>=1|c> et B|c>=1|b>
donc avec la matrice :
100
010
001
tu as un vecteur propre : |a>
reste a diagonaliser B sur |b> et |c>, la matrice étant, sur ces vecteurs :
01
10
et... c'est le même problème (mathématiquement parlant) que tu as déjà résolu
avec comme vecteurs propres : 1/rac(2)(|b>+|c>) et 1/rac(2)(|b>-|c>) avec les valeurs propres 1 et -1.
Je ne comprends pas trop se que vous voulez dire
Quand vous me dites "Il te faut deux vecteurs propres orthonormaux ayant la même valeur propre et qui soit aussi orthogonaux au troisième vecteur propre."
Philou21 votre méthode me plais beaucoup mais je ne l'a connais pas enfin je procède pas de la même façon. Est ce que vous pouvez me détailler comment est ce que vous faites parce qu'il y a certain passage ou vous allez vite et je n'arrive pas à vous suivre comme pour la Deuxième partie. Parce que vous utilisez la première partie or pour moi j'avais pris des matrice prise au hasard :s. J'espère que cela ne vous embête pas.
Merci
Faut que tu me dises ou tu coinces exactement
petit conseil : prends plutôt, pour le premier cas, la matrice :
001
020
100
ce qui évitera la valeur propre nulle qui est embêtante pour divers raisons...
on aura donc :
A|b>=2|b> et ça ne change rien pour la suite
je crois avoir compris quelque chose grâce a Philou. Une fois que j'ai ma matrice je la compare a la matrice identité et si elle est identique a la matrice identité alors chaque lignes est un vecteur propre. Si une ligne est identique alors cette ligne est un vecteur propre et les autres sont à déterminer c'est bien ça?
je vais chercher les valeurs propres et vecteurs propres et vous donnerez le résultat merci beaucoup Philou
Mon problème est quand on a deux valeurs propres identiques :s
Oups... j'ai commis une erreur d'écriture dans mon post précédent concernant la deuxième matrice :
Oui en gros... un vecteur sera vecteur propre si la ligne (ou la colonne) n'a de valeur non nulle que sur la diagonale (tu vois pourquoi j'ai remplacé la valeur 0 par la valeur 2...)
J'ai chercher les valeurs et vecteurs propres de la matrice que vous m'avez proposé. C'est le cas ou on a des valeurs propres distinctes.
Lam=2,-1 et 1
et les vecteur propres sont :
pour 2 :
1/rac(6)(1,1,2)
pour 1 :
1/rac(2)(1,0,1)
et pour -1 :
1/rac(2)(1,0,-1)
Je pense que c'est cela?
Le reste oui mais ça, non...
C'est en contradiction avec ça :
alors je vais rédiger la partie ou je me suis tromper.
Pour 2 :
z=2x
2y=2y
x=2z
ahh le vecteur est :
1/rac(2)(0,1,0)
c'est bon?
oups c'est juste (0,1,0)
Pourriez vous me donner une matrice qui a 2 valeurs propres identiques? Comme ça je chercherai les vecteurs propres et vous me direz si c'est juste. Encore merci pour tout!
Ta matrice B conviendra très bien, elle a deux valeurs propres identiques.
d'accord je vais la refaire.
Tu auras vraiment compris quand tu t'apercevras que si tu as résolu A, B est immédiat...
je viens de la refaire est après tout ce que vous m'avez dit j'ai une autre question a vous posez.
Voila une fois que j'ai les valeur propre qui sont 1, 1 et -1 quand j'ai chercher le vecteur propre de 1 j'ai obtenu :
x=x
z=y
y=z
ma question est la suivante sachant que la 1er ligne est identique a la matrice identité est ce que j'ai le droit de dire tout de suite que j'ai deux vecteur propre ici (1,0,0) et (0,1,1)? Vous voyez ce que je veux dire?
Je ne peux pas te répondre, car je ne sais pas comment tu fais pour déterminer les vecteurs propres.
La première colonne n'a de valeur non nulle que sur la diagonale |a>=(1,0,0) est donc un vecteur propre puisque B|a>=1|a>ma question est la suivante sachant que la 1er ligne est identique a la matrice identité est ce que j'ai le droit de dire tout de suite que j'ai deux vecteur propre ici (1,0,0) et (0,1,1)? Vous voyez ce que je veux dire?
restent les vecteurs |b>=(0,1,0) et |c>=(0,0,1) qui ne sont pas des vecteurs propres.
puisque B|b>=1|c> et B|c>=1|b>
conduisant à une matrice non diagonale :
01
10
Je peux vous dire que grâce a votre aide j'ai déjà mieux compris comment ça marche enfin j'espère
D'accord. Le faite que la 1er colonne n'est non nul que sur la diagonale implique que c'est un vecteur propre jusque la je te suis a 100%. Ensuite vous regardez pour B|b>=1|c> et B|c>=1|b>, on ne se préoccupe plus de |a> a se moment la? Du coup on a plus qu'une matrice 2x2:
01
10
A ce moment la vous cherchez les valeurs propres de cette matrice. Qui sont 1 et -1. Enfin on obtient :
pour la valeur propre 1
b=c et c=b
(1,1)
pour la valeur propre -1
b=-c et c=-b
(1,-1)
Après si on revient a la matrice 3x3 cela nous donne : (1,0,0),(0,1,1) et (0,1,-1)
est ce que le cheminement est correct?
Ben non puisque son cas est réglé...
Oui,...Après si on revient a la matrice 3x3 cela nous donne : (1,0,0),(0,1,1) et (0,1,-1)
est ce que le cheminement est correct?
Au facteur de normalisation 1/rac(2) prés pour les deux derniers vecteurs.
Tu peux d'ailleurs vérifier que les deux derniers vecteurs sont bien des vecteurs propres en appliquant B dessus.
oui bien sur j'avais oublier de normaliser. Quand vous me demandez de vérifier que les deux derniers vecteurs sont bien des vecteurs propres en appliquant B dessus. Vous voulez que je fasse : B|a>=1|a>, B|b>=1|c> et B|c>=1|b> ?
Oui mais de tête hein ! juste histoire de vérifier...
il faut bien que je normalise pour vérifier c'est ça?
Non pas besoin par exemple :
B(|b>-|c>)=B|b>-B|c>=|c>-|b>=-(|b>-|c>) => |b>-|c> est bien un vecteur propre avec comme valeur propre -1.
