Atlas maximaux distincts

[invité576543]

Dire que "f est différentiable" veut dire que pour toute carte g de E et h de R, on a que est différentiable. Je ne vois pas en quoi cela est fortement contraignant. Tu pourrais clarifier ce que tu veux dire ?

Je vais essayer...

Prenons E=R dans ton exemple. h et g sont des homéomorphismes bijectifs d'inverse continus quelconques (des cartes constituant à elles seules des atlas, puisqu'on parle de difféomorphisme entre variétés différentiables différentes), et f(x)=x. Comme h et g sont quelconques, il n'y a aucune raison que soit dérivable, si?

(Si g et h appartiennent au même atlas maximal, pas de problème. Mais c'est bien le cas autre qui correspond à la "seconde" hypothèse dans le PS du message du 25 19h26.)

Cette fonction là est donc exclue de la catégorie "f est différentiable" selon ce que tu indiques toi-même.

Quelles sont alors les fonctions différentiables?

Encore une fois, je ne comprends pas. Les fonctions constantes ne sont pas les seules fonctions de E->R qui sont différentiables.

Non, bien sûr. Mais si f est constante, est constante donc différentiable.

J'indiquais juste que "être différentiable" indépendamment de la carte n'est pas impossible. (Juste un constat d'existence.)

Et ma question est s'il y en a d'autres, et plus généralement si cette catégorie est suffisamment grande pour les besoins de la physique.
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[Sylvestre]

f(x)=x. Comme h et g sont quelconques, il n'y a aucune raison que soit dérivable, si?

Effectivement, si f est la fonction identité de R, elle n'est pas différentiable de M vers N.
Par contre si f est le de mon exemple, elle est bien différentiable.

(Si g et h appartiennent au même atlas maximal, pas de problème. Mais c'est bien le cas autre qui correspond à la "seconde" hypothèse dans le PS du message du 25 19h26.)

g et h n'ont pas à appartenir au même atlas différentiable puisqu'ils s'agit de deux cartes de deux variétés différentes. g est une carte de E et h est une carte de R. E et R ont chacun leur propre atlas.

Quelles sont alors les fonctions différentiables?

Si je reprend mon exemple du message 21, les fonctions différentiables sont les applications de M vers N telles que est différentiable en temps qu'application de R vers R. On peut très facilement trouver un grand nombre d'exemples.

Et ma question est s'il y en a d'autres, et plus généralement si cette catégorie est suffisamment grande pour les besoins de la physique.

Sans aucun doute, on peut construire un grand nombre d'application différentiables. Sur quelles exemples penses-tu que cela n'est pas le cas?

[invité576543]

Je ne comprends pas bien. Dans tes exemples, tu fixes M et N il me semble.

Dans le texte même que tu as donné:

Dire que "f est différentiable" veut dire que pour toute carte g de E et h de R, on a que est différentiable.

En appliquant au cas R, je comprends "quels que soient g et h deux homéomorphismes bijectifs d'inverse continu de R vers R, on dérivable".

Il ne me semble pas que tu aies donné un exemple qui marche quels que soient g et h.

(Pour une paire g et h fixée, je ne doute pas qu'on trouve plein d'exemples, c'est simplement l'ensemble des avec f de la classe C-n recherchée.)

[Sylvestre]

Il ne me semble pas que tu aies donné un exemple qui marche quels que soient g et h.

Si, j'ai donné un exemple qui marche quel que soit g, une carte de M, et quel que soit h, une carte de N.

Je sais que puisque M et N ont chacun un atlas constitué d'une seule carte, cela donne l'impression que j'ai une carte particulière, mais cela n'est pas le cas. Si, à ces deux atlas, j'avais ajouté toutes les cartes -compatible avec la carte qui y est déjà, la condition auraient aussi été vérifiée pour tout g, carte de M, et pour tout h, carte de N. Cela se voit grâce au fait que dans chacun de ces deux -atlas, pour tout couple de carte de M et de N, on a que est différentiable en tant qu'application d'un ouvert de R vers un ouvert de R (de même pour ).

Ainsi, si est différentiable alors est aussi différentiable pour toute carte de N et toute carte de M.

[invité576543]

Si, j'ai donné un exemple qui marche quel que soit g, une carte de M, et quel que soit h, une carte de N.

Ca je comprends. C'est à M et N fixés, et le choix de la carte parmi celles de M et de la carte parmi celles de N n'importe pas.

Mais il me semblait que la condition sur laquelle porte le "quels que soient" est différente.

Je vais essayer de comprendre...

Cordialement,

[invité576543]

Je ré-essaye de poser tous les jalons... Si je me trompe, ma question c'est où dans cette série de jalons.

H : Soit E une variété topologique homéomorphe à R.

H : Soit M=(E, g) une variété différentielle avec g une carte, une fonction de E dans R, bijective, continue et d'inverse continu.

H : Soit N=(E, h) une autre variété différentielle.

P : M et N sont difféomorphes, elles correspondent à la même structure différentielle, si (qui est un fonction de R dans R par composition R --> E --> R) est C-infini. Le difféomorphisme est alors la fonction de M dans N (qui est aussi une fonction de E dans E, a priori différente de l'unité, bijective, continue et d'inverse continue; un homéomorphisme).

H : On prend M et N difféomorphes.

H : Soit φ un champ réel, continu, une fonction de E --> R.

H : On suppose φ différentiable dans N. Cela veut dire que , qui est une fonction de R dans R, est C-infini.

D : Par le difféomorphisme entre M et N, l'image de φ est le champ de M vers R donné par .

P : En général

On a alors les propriétés suivante :

P : Le champ φ est différentiable dans N;

P : Le champ est différentiable dans M; (Parce que est C-infini)

P : Le champ φ est en général non différentiable dans M;

P : Le champ est en général non différentiable dans N.

P : Autrement dit, la propriété "être différentiable" pour un champ de E dépend du choix de la variété (i.e., de l'atlas maximal).

D : Le difféomorphisme est un difféomorphisme actif, qui transforme le champ φ sur E en un autre champ sur E.

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Si j'applique cela à la physique avec E l'espace-temps vu comme variété topologique, la notion "φ est différentiable" n'a a priori pas de sens. Il faut pour lui donner un sens choisir une variété différentiable, i.e., choisir un atlas maximal.

Or si on prend un champ scalaire sur l'espace-temps, c'est un champ sur E. S'il "existe", c'est indépendamment de tout choix de variété différentiable. Comment peut-on alors dire s'il est ou non "par lui-même" différentiable? D'après ce qui précède, on ne peut pas. On peut utiliser un difféomorphisme actif de M dans N pour le transformer en un autre champ sur E qui aura alors la même propriété (différentiable ou non) dans N que celle de φ dans M. Mais ce n'est pas le même champ en tant que champ sur E.

D'où mon questionnement sur comment on choisit la variété différentiable pour faire de la physique! Les champs sur E étant donnés, un choix au hasard de la variété différentiable n'a aucune raison de faire que ces champs soient différentiables.

Seule solution (si on veut garder E et les champs) : qu'il existe une variété différentiable déterminée par l'ensemble des champs et telle que tous les champs soient différentiables sur cette variété.

Les champs sont seulement "différentiables les uns par rapport aux autres" (propriété qui veut dire "il existe..." comme dans le paragraphe précédent).

Autre conséquence : ce sont les champs qui déterminent les "bonnes cartes", les systèmes de coordonnées "qui vont bien". On ne choisit pas la variété différentiable (l'atlas maximal) a priori, mais seulement en fonction des champs qu'on désire modéliser.

Cordialement,

[mariposa]

Je ré-essaye de poser tous les jalons... Si je me trompe, ma question c'est où dans cette série de jalons.

H : Soit E une variété topologique homéomorphe à R.

H : Soit M=(E, g) une variété différentielle avec g une carte, une fonction de E dans R, bijective, continue et d'inverse continu.

H : Soit N=(E, h) une autre variété différentielle.

P : M et N sont difféomorphes, elles correspondent à la même structure différentielle, si (qui est un fonction de R dans R par composition R --> E --> R) est C-infini. Le difféomorphisme est alors la fonction de M dans N (qui est aussi une fonction de E dans E, a priori différente de l'unité, bijective, continue et d'inverse continue; un homéomorphisme).

Bonjour,


Je trouve ta présentation très bien et si je ne lisais pas les livres je ne trouverais rien à redire.

a mon avis ce qui ne va pas (au sens de ce qui n'est pas conforme à ce que j'ai cru comprendre) est que le diffeomorphisme entre variétés M et N entraine l'homéorphisme entre ces variétés mais que le contraire n'est pas vrai en général.

Ta présentation, me semble-t-il, ne met pas bien en évidence le contraste entre homéomorphisme et difféomorphisme.

Autre conséquence : ce sont les champs qui déterminent les "bonnes cartes", les systèmes de coordonnées "qui vont bien". On ne choisit pas la variété différentiable (l'atlas maximal) a priori, mais seulement en fonction des champs qu'on désire modéliser.

Cordialement,

Je ne pense que ce soient les champs qui déterminent les bonnes cartes car les champs sont des sections de fibrés et donc un concept "évolué" par rapport à la problématique des cartes.

Par contre je suis d'accord avec le fait bonnes cartes = bons systèmes de coordonnées et avec l'exemple simple suivant:

Si tu prends le cercle S1 et que tu veuilles le paramétrer avec l'angle teta [o,2.Pi] un même point a 2 coordonnées. C'est pour éviter cela qu'il faut définir au minimun 2 cartes qui se recouvrent pour attribuer dans le recouvrement d'ouverts 2 systèmes de cooordonnées.


Pour la sphère même problème avec la longitude et la latitude. On a des ennuis aux pôles et à l'équateur.

Donc l'homéomorphisme est rattaché à la problématique des cartes.

A ce niveau il n'y a pas de difféomorphismes qui concerne les applications entre variétés homéomorphes.

Si le difféomorphisme f est application de la varièté sur elle-même c'est automatiquement une transformation active: Un point P est envoyé sur un point Q.

Par extension si f est l'application identité on peut considérer que les homoémorphismes qui définissent les cartes sont des difféomorphismes qui sont des transformations passives (P est image de P).

Pour résumé: Je pense que la difficulté est de comprendre en quoi les difféomorphismes entre variètés permettent de distinguer des variétés homéomorphes. Personnelement cela me dépasse largement. Peut-être faudrait-il comme tu l'avais envisagé auparavant de reposer la question dans la rubrique mathématique.

[Sylvestre]

P : M et N sont difféomorphes, elles correspondent à la même structure différentielle, si (qui est un fonction de R dans R par composition R --> E --> R) est C-infini.

Cette phrase est fausse. M et N sont difféomorphes si et seulement si il y a un difféomorphisme de M vers N. Un difféomorphisme est une application bijective telle que pour tout g, carte de M et h, carte de N, on a que est différentiable en temps qu'application d'un ouvert de R vers un ouvert de R.
L'application ne doit pas être forcément l'identité comme tu l'as sous-entendu.

Je pense qu'il faut que tu reprennes à partir de ce point pour reconstruire le raisonnement que tu as fais.

[invité576543]

OK, nouvel essai (je reprends tout le message, plus simple...).


H : Soit E une variété topologique homéomorphe à R.

H : Soit M=(E, g) une variété différentielle avec g une carte, une fonction de E dans R, bijective, continue et d'inverse continu.

H : Soit N=(E, h) une autre variété différentielle.

H : On suppose que M et N sont difféomorphes (elles correspondent à la même structure différentielle). On note μ un difféomorphisme de M dans N (différentiable, bijectif et d'inverse différentiable). On a donc une bijection C-infini de R, d'inverse C-infini.

H : Soit φ un champ réel, continu, une fonction de E --> R.

H : On suppose φ différentiable dans N. Cela veut dire que , qui est une fonction de R dans R, est C-infini.

D : Par le difféomorphisme entre M et N, l'image de φ est le champ de M vers R donné par .

P : En général

On a alors les propriétés suivante :

P : Le champ φ est différentiable dans N;

P : Le champ est différentiable dans M; (Parce que est C-infini, comme composition de deux fonctions réelles C-infini.)

P : Le champ φ est en général non différentiable dans M;

P : Le champ est en général non différentiable dans N.

P : Autrement dit, la propriété "être différentiable" pour un champ de E dépend du choix de la variété (i.e., de l'atlas maximal).

D : Le difféomorphisme est un difféomorphisme actif, qui transforme le champ φ sur E en un autre champ sur E.

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Si j'applique cela à la physique avec E l'espace-temps vu comme variété topologique, la notion "φ est différentiable" n'a a priori pas de sens. Il faut pour lui donner un sens choisir une variété différentiable, i.e., choisir un atlas maximal.

Or si on prend un champ (scalaire par exemple) sur l'espace-temps, c'est un champ sur E. S'il "existe", c'est indépendamment de tout choix de variété différentiable. Comment peut-on alors dire s'il est ou non "par lui-même" différentiable? D'après ce qui précède, on ne peut pas. On peut utiliser un difféomorphisme actif de M dans N pour le transformer en un autre champ sur E qui aura alors la même propriété (différentiable ou non) dans N que celle de φ dans M. Mais ce n'est pas le même champ en tant que champ sur E.

D'où mon questionnement sur comment on choisit la variété différentiable pour faire de la physique! Une ensemble de champs sur E étant donné, un choix au hasard de la variété différentiable n'a aucune raison de faire que ces champs soient tous différentiables.

Seule solution (si on veut garder E et les champs) : qu'il existe une variété différentiable déterminée par l'ensemble des champs et telle que tous les champs soient différentiables sur cette variété.

Les champs sont seulement "différentiables les uns par rapport aux autres" (propriété qui veut dire "il existe..." comme dans le paragraphe précédent).

Autre conséquence : ce sont les champs qui déterminent les "bonnes cartes", les systèmes de coordonnées "qui vont bien". On ne choisit pas la variété différentiable (l'atlas maximal) a priori, mais seulement en fonction des champs qu'on désire modéliser.

Cordialement,

[Sylvestre]

Je suis d'accord avec tout ton raisonnement cette fois.

P : Autrement dit, la propriété "être différentiable" pour un champ de E dépend du choix de la variété (i.e., de l'atlas maximal).

Je suis d'accord avec ce que tu dis, mais, à mon avis, c'est la même chose que de dire "la propriété être différentiable pour un champ de E dépend de la structure différentiable de E". Autrement dit, je pense qu'il s'agit d'une tautologie.

D : Le difféomorphisme est un difféomorphisme actif, qui transforme le champ φ sur E en un autre champ sur E.

Là, je trouve que tu ne devrais pas parler de E, mais plutôt de (E,g)=M et de (E,h)=N qui sont les variétés différentiables que nous étudions en ce moment. Si on n'adjoint aucun atlas à E, ce n'est qu'un ensemble de points sans même une topologie. Tu dois absolument parler de M ou de N plutôt que de E.

Si j'applique cela à la physique avec E l'espace-temps vu comme variété topologique, la notion "φ est différentiable" n'a a priori pas de sens. Il faut pour lui donner un sens choisir une variété différentiable, i.e., choisir un atlas maximal.

Oui

Or si on prend un champ (scalaire par exemple) sur l'espace-temps, c'est un champ sur E. S'il "existe", c'est indépendamment
de tout choix de variété différentiable.

Je ne suis pas sûr de cela, il me semble que l'on décide de modeler l'espace-temps par le muni de la structure différentielle habituelle. C'est un choix de modélisation. Seule une expérience physique pourra nous dire si ce choix est bon ou mauvais.
Si ce choix n'est pas le bon, cela a certainement des conséquences sur la physique, mais tant que rien ne nous dit que l'on a eu tort de faire cela, la modélisation reste satisfaisante.
Ceci dit, je suis certain qu'il serait intéressant d'étudier les conséquences d'un espace temps exotique sur la physique.

[invité576543]

Je suis d'accord avec ce que tu dis, mais, à mon avis, c'est la même chose que de dire "la propriété être différentiable pour un champ de E dépend de la structure différentiable de E". Autrement dit, je pense qu'il s'agit d'une tautologie.

Je ne comprends pas. Cela ne semble pas coller avec le sens de "structure différentiable" exposé plus tôt dans la discussion.

Sinon, oui, d'une certaine manière c'est une tautologie. Mais le point qui m'interpelle est qu'un champ sur l'espace-temps (du moins si on admet un arrière-plan) peut être différentiable ou pas, selon le choix de la variété différentiable.

Peut-être que ce qui m'intrigue est plus clair avec deux champs sur E. Qu'est-ce qui permettrait d'affirmer qu'il existe au moins une variété différentielle (E,g) telle que les deux champs y soient différentiables? (Les champs sont donnés "a priori", sur E.)

Là, je trouve que tu ne devrais pas parler de E, mais plutôt de (E,g)=M et de (E,h)=N qui sont les variétés différentiables que nous étudions en ce moment. Si on n'adjoint aucun atlas à E, ce n'est qu'un ensemble de points sans même une topologie. Tu dois absolument parler de M ou de N plutôt que de E.

Oui, tu as raison. Un difféomorphisme sur E, cela ne veut rien dire. Passage à virer!

Je ne suis pas sûr de cela, il me semble que l'on décide de modeler l'espace-temps par le muni de la structure différentielle habituelle.

Le problème est que je n'arrive pas à donner un sens à ce genre de phrase. Je vois comment on peut choisir un homéomorphisme entre l'espace-temps et , mais est-ce bien le modéliser? Le modèle, c'est la possibilité de choisir (i.e., affirmer l'existence d'un homéomorphisme), il me semble. Pas le choix lui-même.

Et y a-t-il moyen de "choisir" autrement qu'en se référant à des "machins" dans l'espace-temps (à des champs)?

Ceci dit, je suis certain qu'il serait intéressant d'étudier les conséquences d'un espace temps exotique sur la physique.

Oui. Maintenant, je n'ai pas compris à quoi peut bien ressembler une structure différentielle exotique sur . (Sauf, il me semble, qu'on peut être sûr qu'elle n'a pas d'atlas réduit à une seule carte...)

[invité576543]

A part cela, merci Sylvestre pour ton aide. J'ai l'impression que ma compréhension du sujet a bien progressé, grâce à toi.

Cordialement,

[Sylvestre]

Le problème est que je n'arrive pas à donner un sens à ce genre de phrase. Je vois comment on peut choisir un homéomorphisme entre l'espace-temps et , mais est-ce bien le modéliser? Le modèle, c'est la possibilité de choisir (i.e., affirmer l'existence d'un homéomorphisme), il me semble. Pas le choix lui-même.

Je pense qu'il s'agit bien de modélisation. L'espace temps est un objet physique et non mathématique. Il n'y a donc pas d'homéomorphisme entre lui et R^4. Par contre, le fait de décider de le modéliser par R^4 muni de sa structure différentielle habituelle est, à mon avis, faire de la modélisation physique. D'ailleurs, les cordistes disent que R^4 n'est certainement pas la bonne variété, mais qu'il faudrait y ajouter plusieurs dimension. C'est encore de la modélisation physique.

Oui. Maintenant, je n'ai pas compris à quoi peut bien ressembler une structure différentielle exotique sur . (Sauf, il me semble, qu'on peut être sûr qu'elle n'a pas d'atlas réduit à une seule carte...)

Cela fait déjà quelques semaines que j'étudie le sujet et j'espère que j'arriverai bientôt à comprendre cela.
En tout cas, merci à toi aussi, j'ai moi aussi progressé, grâce à toi, dans ma compréhension.

[invité576543]

Je pense qu'il s'agit bien de modélisation. L'espace temps est un objet physique et non mathématique. Il n'y a donc pas d'homéomorphisme entre lui et R^4. Par contre, le fait de décider de le modéliser par R^4 muni de sa structure différentielle habituelle est, à mon avis, faire de la modélisation physique.

OK. Le point clé est que la modélisation c'est par une structure différentielle. Le choix de la variété, e.g., (R⁴, x) ou de (R⁴, f(x)) n'a aucune importance parce que ce sont deux réalisations de la même structure différentielle. Et les valeurs des champs sont celles dans ce modèle.

Dans mes termes, cela signifie que ledit modèle n'est pas celui d'un simple espace topologique avec des champs sur cet espace. C'est plutôt une modèle avec des champs sur une structure différentielle. Si on change la réalisation de la structure différentielle, alors les valeurs des champs changent avec.

De même qu'il faut arriver à voir un espace vectoriel au-delà de l'usage d'une base particulière et de coordonnées particulières, il faut arriver à voir la structure différentielle au-delà des choix "numériques" d'une variété particulière.

Cordialement,