idéaux maximaux d´un anneau

[invitee75a2d43]

Bonjour,

J´ai une question concernant une proposition sur les idéaux maximaux. je lis dans mon cours: "Un idéal M d´un anneau A est maximal si et seulement si il est maximal dans l´ensemble, ordonné par l´inclusion, des idéaux propres."

Bon, je veux bien, mais alors si je comprend cette proposition, cela veut dire que dans un anneau donné, il n´y a qu´un idéal maximal, incluant tous les autres idéaux propres. Mais c´est en contradiction avec un autre passage de mon cours, qui stipule:
"Les idéaux maximaux de sont les idéaux engendrés par un nombre premier, i.e. de la forme , p étant premier."
Il y a clairement contradiction non?

merci d´avance

Christophe
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[Médiat]

Il y a clairement contradiction non?

Etre maximal = il n'y a pas de strictement plus grand, il peut donc exister plusieurs maximaux, simplement ils ne sont pas comparables.

[invitee75a2d43]

bon, apparement j´ai confondu maximal et maximum. Le maximum, quand il existe, est synonime de plus grand élément d´un sous-ensemble d´un ensemble ordnonné.
Quant au maximal, c´est un élément a tel que si a <= b, alors a = b. Petite nuance fatale.
Ce sont les explications du prof.

Merci