Atlas maximaux distincts

[invité576543]

[Je pose la question en physique, alors que la question est mathématique, simplement parce que le texte cité fait partie de la bibli physique, et j'anticipe, par expérience, une plus grande probabilité de réponse en physique qu'en maths... Pas d'objection à un déplacement en maths si mon analyse est contestée.]

Bonjour,

Dans le cours de Coquereaux (http://www.cpt.univ-mrs.fr/~coque/book/node17.html), je ne comprends pas le passage suivant :

Il se trouve que, dans certains cas, une variété topologique donnée possède plusieurs structures différentiables (plusieurs atlas maximaux distincts). C'est le cas pour (le seul, parmi les espaces numériques à posséder des structures différentiables ``exotiques'') et c'est aussi le cas pour les sphères Sⁿ lorsque .

Pour moi, il y a au contraire toujours plusieurs (une infinité) de structures différentiables. Mes arguments suivent:

Si je prends M une variété topologique homéomorphe à R, et un atlas maximal A, Cinfini. Je prends, pour simplifier, l'intersection B entre A et les bijections, i.e., l'atlas restreint à des cartes couvrant tout M (des homéomorphismes bijectifs entre R et M). On passe d'une telle carte à une autre par un difféomorphisme Cinfini, par définition.

Maintenant si je prends une bijection f de R vers R qui soit non dérivable ne serait-ce qu'en un point (et on peut en trouver telles que l'ensemble des points de non dérivabilité soit infini), et que je compose cette fonction avec toutes les cartes de B, il me semble qu'on obtient des éléments d'un autre atlas maximal.

En effet soit a et b deux cartes de l'atlas B, et g un autodifféomorphisme Cinfini de R tel que b(x) = a(g(x)) pour tout x; alors b(f(x)) est bien une carte bijective de M, a(f(g(x)) aussi, et on passe de l'une à l'autre par le difféomorphisme g car b(f(x)) = a(g(f(x)). bf et agf font bien partie d'un même nouvel atlas maximal, qui ne peut pas être inclus dans l'atlas d'origine, et donc correspond à un autre atlas maximal.

En d'autres termes, le groupe des autodifféomorphismes Cinfini de R est un sous-groupe H du groupe des autohoméomorphismes de R (le groupe topologique), noté G, et chaque classe à droite (ou à gauche?) de G par un élément de H correspond à un atlas maximal distinct.

Me goure-je?

Si non, que veut vraiment exprimer Coquereaux? Quelque chose comme le fait que toutes les structures différentielles que j'ai définies sont "identiques", sauf dans quelques cas comme R⁴ qui en aurait des "exotiques"? (Que sont-ils d'ailleurs?)

Cordialement,
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[invite8ef897e4]

Bonjour Michel,

je n'ai peut-etre pas bien compris, mais il me semble que

Maintenant si je prends une bijection f de R vers R qui soit non dérivable ne serait-ce qu'en un point (et on peut en trouver telles que l'ensemble des points de non dérivabilité soit infini), et que je compose cette fonction avec toutes les cartes de B, il me semble qu'on obtient des éléments d'un autre atlas maximal.

on n'a pas le droit de faire ca, comme

Il faut cependant prendre la précaution d'imposer aux cartes d'être compatibles, c'est à dire telles que les formules de changements de cartes, d'un atlas à l'autre, puissent s'exprimer en terme de transformations différentiables de R^n . Cette précaution n'est pas inutile et peut conduire à des surprises.

Cette notion d'exotiques concerne justement la difference entre "homeomorphisme" et "diffeomorphisme". Pour un atlas C^r, les changements de carte doivent entre r-fois differentiables. Si r=0, on n'a que des homeomorphisme et il n'y a pas d'exotique. Mais effectivement, un mathematicien serait peut etre necessaire ici.

[invité576543]

Il faut cependant prendre la précaution d'imposer aux cartes d'être compatibles, c'est à dire telles que les formules de changements de cartes, d'un atlas à l'autre, puissent s'exprimer en terme de transformations différentiables de R^n . Cette précaution n'est pas inutile et peut conduire à des surprises.

Je comprends cette phrase comme parlant d'atlas compatibles, i.e., correspondant à la même structure différentiable.

Or ma question porte sur l'existence ou non de plusieurs structures différentiables d'une variété homéomorphe à R. (Et de là, de toute autre variété.)

La remarque même que tu cites va, pour moi, dans le sens de l'existence d'une multitude de structures différentiables. Car un changement de coordonnées non différentiable donne une nouvelle carte, non? Qui appartient nécessairement à une autre structure différentiable, non?

Cordialement,

[invite8ef897e4]

[...] Maintenant si je prends une bijection f de R vers R qui soit non dérivable ne serait-ce qu'en un point [...]

En effet soit a et b deux cartes de l'atlas B, et g un autodifféomorphisme Cinfini de R tel que b(x) = a(g(x)) pour tout x; alors b(f(x)) est bien une carte bijective de M, a(f(g(x)) aussi, et on passe de l'une à l'autre par le difféomorphisme g car b(f(x)) = a(g(f(x)). bf et agf font bien partie d'un même nouvel atlas maximal, qui ne peut pas être inclus dans l'atlas d'origine, et donc correspond à un autre atlas maximal. [...]

b(f(x)) n'est pas differentiable, elle est peut etre continue et on peut l'utiliser pour faire des homeomorphisme mais pas des diffeomorphisme. Pour les diffeomorphisme il faut au moins etre C^1. Il existe un atlas maximum unique pour toute variete si l'on ne parle que d'homeomorphisme. Il existe differents atlas lisses maximaux, c'est a dire qu'une variete peut avoir des realisations differentiables distinctes, mais alors il faut une structure differentielle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

b(f(x)) n'est pas differentiable

Je comprends cela (et suit d'accord) comme ceci : Elle n'est pas différentiable par rapport à x, c'est à dire qu'elle n'appartient pas au même atlas maximal que l'identité.

on peut l'utiliser pour faire des homeomorphisme mais pas des diffeomorphisme.

C'est (par construction) un homéomorphisme. C'est une carte.

Maintenant, je ne comprends pas "être utiliser pour faire des difféomorphismes".

Mon point est que si g(x) est différentiable par rapport à x, alors g(f(x)) est une carte et est différentiable par rapport à f(x), et donc (?) appartiennent à un même atlas maximal, différent de celui contenant l'identité x.

Pour les diffeomorphisme il faut au moins etre C^1.

Certes, mais par rapport à quoi?

Il existe un atlas maximum unique pour toute variete si l'on ne parle que d'homeomorphisme.

C'est cela que je ne comprends pas.

Il existe differents atlas lisses maximaux, c'est a dire qu'une variete peut avoir des realisations differentiables distinctes, mais alors il faut une structure differentielle.

Cela semble contradictoire avec ta phrase précédente. C'est peut-être la ma difficulté : comment rendre compatible tes deux phrases? Ce qui suit expose ce que je crois comprendre ou pas (et donc vraisemblablement inclut l'origine de ma difficulté).

Déjà je ne comprends pas la différence entre "atlas maximum" et "atlas lisse maximal".

Ensuite, pour moi, choisir une structure différentielle est choisir un atlas. Dans mon exemple il y a deux choix a(x) et a(f(x)) qui 1) me paraissent être bien chacune séparément un atlas, et 2) ne peuvent pas appartenir à un même atlas maximal. Ce qui, apparemment, contredit "Il existe un atlas maximum unique".

Cordialement,

[invite8ef897e4]

Mon point est que si g(x) est différentiable par rapport à x, alors g(f(x)) est une carte et est différentiable par rapport à f(x), et donc (?) appartiennent à un même atlas maximal, différent de celui contenant l'identité x.

g: x -> g(x)
et
g: f(x) -> g(f(x))
sont identiques ! Cette construction ne donnerait pas un homeomorphisme different. Ce que j'avais compris, c'est que le second homeomorphisme etait
gof: x->g(f(x))
qui n'est pas un diffeomorphisme

Je crois que la confusion vient effectivement de la

Déjà je ne comprends pas la différence entre "atlas maximum" et "atlas lisse maximal".

Si l'on se restreint aux homeomorphismes, il n'existe qu'un seul atlas maximal definissant uniquement la topologie. Lorsque je dis "lisse", je sous entend C^infini. En fait, des que l'om consider des cartes C^1, differentiables, il existe des atlas maximaux "exotiques". Je souhaite vraiment qu'un mathematicien vienne clarifier les choses.

[invité576543]

Il existe différents atlas lisses maximaux, c'est à dire qu'une variété peut avoir des réalisations différentiables distinctes, mais alors il faut une structure différentielle.

Si tu pouvais développer ce que entends précisément par ces phrases, j'imagine que cela pourrait m'aider.

En particulier appliqué à R même.

Le fond de ma question est bien si l'espace topologique(1) R possède une seule ou plusieurs structures différentielles distinctes (pour moi une structure différentielle donnée correspond à un unique atlas maximal, mais il me semblait que R en tant qu'espace topologique seulement, possède une infinité de structures différentielles distinctes). La phrase de Coquereaux met le doute dans mon esprit, et c'est ce doute que je voudrais résoudre.

(En l'attente d'un mathématicien, certes. Maintenant, le texte de Coquereaux est censé couvrir des notions nécessaires et/ou utiles pour la physique )

Cordialement,

PS : Dans la phrase de Coquereaux je comprends "variété topologique" comme "espace topologique localement homéomorphe à Rⁿ", en accord avec la définition qu'il donne dans le même ouvrage.

(1) Si on prend R comme variété différentielle caractérisée par la carte x--> x, cette structure différentielle est unique.

[mariposa]

Bonjour,

Je commence par une citation du livre de NAKAHARA:

" If the union of 2 atlases is again an atlas, these 2 atlases are sair compatible . The compatibility is an equivalence relation, the equivalence class of which is called the differentiable structure. It is also said that mutualy compatible atlases define the same differentiable structure on M."

Ce que j'ai mis en gras correspond à ce qui est en gras dans le texte original.

Cette phrase laisse clairement entendre qu'il y a plusieurs structures différentiables et donc qu'il existe des atlas incompatibles.

En fait on pensait avant 1956 que tous les atlas étaient compatibles et donc qu'il n'y avait qu'une seule structure différentiable.

En fait cela n'est pas vrai à partir de la dimension 4 et > 4. C'est Milnor [ 1956, Ann.Math 64, 394 ] qui a démontré que la sphère S7 admet 28 structures différentiables. Plus tard il a été démontré que R4 admet une infinité de structures différentiables.

Ceci est impossible a appréhender simplement quand on s'inspire des exemples classiques de petites dimensions 2 ou 3 pour lesquels il n'y a qu'une structure différentiable. D'où le caractère relativement tardif de la découverte de Milnor.

[invité576543]

Je commence par une citation du livre de NAKAHARA:

" If the union of 2 atlases is again an atlas, these 2 atlases are sair compatible . The compatibility is an equivalence relation, the equivalence class of which is called the differentiable structure. It is also said that mutualy compatible atlases define the same differentiable structure on M."

Ce que j'ai mis en gras correspond à ce qui est en gras dans le texte original.

Cette phrase laisse clairement entendre qu'il y a plusieurs structures différentiables et donc qu'il existe des atlas incompatibles.

En fait on pensait avant 1956 que tous les atlas étaient compatibles et donc qu'il n'y avait qu'une seule structure différentiable.

En fait cela n'est pas vrai à partir de la dimension 4 et > 4. C'est Milnor [ 1956, Ann.Math 64, 394 ] qui a démontré que la sphère S7 admet 28 structures différentiables. Plus tard il a été démontré que R4 admet une infinité de structures différentiables.

Ceci est impossible a appréhender simplement quand on s'inspire des exemples classiques de petites dimensions 2 ou 3 pour lesquels il n'y a qu'une structure différentiable. D'où le caractère relativement tardif de la découverte de Milnor.

OK, cela répète et étend la phrase de Coquereaux, sans éclairer les points qui me posent problème.

Ce que je ne comprends pas (pour commencer) c'est l'existence d'une seule structure différentiable pour les petites dimensions, ne serait-ce que pour R même.

Si f est une fonction bijective de R dans R continue non différentiable, c'est bien une carte de R, non? Et à elle seule, puisque bijective, c'est un atlas de R, non? Et sa réunion avec l'identité n'est pas un atlas, clairement. Cela fait bien deux structures différentiables si j'applique la citation de Nakahara (qui correspond bien à que je pense comprendre!), non?

Cordialement,

[invite8ef897e4]

Si f est une fonction bijective de R dans R continue non différentiable, c'est bien une carte de R, non?

Pourvu que son inverse soit continue aussi, oui.

Et à elle seule, puisque bijective, c'est un atlas de R, non?

Oui.

Et sa réunion avec l'identité n'est pas un atlas, clairement.

Clairement.

Cela fait bien deux structures différentiables si j'applique la citation de Nakahara (qui correspond bien à que je pense comprendre!), non?

L'atlas defini par f n'est pas differentiable ! C'est un atlas topologique, pas differentiel. Un homeomorphisme, pas un diffeomorphisme.

[invite8ef897e4]

Dans sa section definissant les atlas, Coquereaux les prend "implicitement" differentiables, et mentionne bien que par la suite ils seront toujours lisses (infiniement differentiables).

[invité576543]

L'atlas défini par f n'est pas différentiable !

Pourquoi donc? Étant composé d'une seule carte, il est nécessairement différentiable, selon la définition (extraite du même texte de Coquereaux) :

On appellera atlas (sous-entendu différentiable) la donnée d'un ensemble de cartes qui recouvrent M c'est à dire telles que et telles que les changements de cartes soient des bijections différentiables, ainsi que leurs inverses.

Quand il y a une seule carte, la condition sur les changements de carte est clairement vérifiée!(2)

Donc, selon cette compréhension, tout singleton composé d'une bijection continue et d'inverse continue(1) de R vers R est un atlas différentiable (Cinfini qui plus est).

Cordialement,

(1) Je ne connais pas d'exemple de bijection continue d'inverse non continu de R dans R, j'imagine que c'est une carence et suis preneur d'un tel exemple.

(2) Et je pourrais mettre deux cartes, égales sur leur recouvrement, le changement de carte étant l'identité il serait Cinfini...

[invité576543]

Un homéomorphisme, pas un difféomorphisme.

Pas d'accord du tout. (= En forte contradiction avec ce que je croyais comprendre, mais je suis ouvert à apprendre où ma compréhension erre, le cas échéant.)

Déjà cette condition n'est nulle part dans les définitions de "carte" que je rencontre. (Et pour cause, cf. plus loin.)

Ce n'est pas un difféomorphisme entre R muni de l'atlas {f} et R muni de l'atlas {identité}, ça oui (par construction!) (1). Mais cela n'est en rien un obstacle. C'est juste dire que les deux atlas sont incompatibles (et qu'il s'agit de deux structures différentielles distinctes).

La notion de difféomorphisme n'a de sens (selon ma compréhension) qu'entre structures différentielles pré-définies (et explicites), et c'est bien pour cela qu'elle ne peut pas apparaître dans la définition de la notion de structure différentielle!

Cordialement,

(1) Et c'est comme cela que je comprends "f n'est pas dérivable" : elle ne l'est pas par rapport à l'identité x --> x. Pas dérivable par rapport à x.

[Sylvestre]

Pourquoi donc? Étant composé d'une seule carte, il est nécessairement différentiable, selon la définition (extraite du même texte de Coquereaux) :

Bonjour,

Tout d'abord, il me semble que la notion de compatibilité se rapporte à des atlas "maximaux". Cela veut dire que ton atlas ne contenant que f ne convient pas puisqu'il ne s'agit pas d'un atlas maximal.

Deuxièmement, pour ton exemple d'un atlas maximal que l'on compose avec un f non différentiable, il faut vérifier que l'on obtient bien un atlas différentiable maximal. Donc en fait, il faut vérifier que pour tout g,h deux cartes de l'atlas initial, est bien différentiable ce qui n'est pas le cas pour tout g et h comme tu pourras le vérifier.

Voilà, je sais que je n'ai peut-être pas été suffisamment clair, mais je manque de temps en ce moment pour bien rédiger. Je vais revenir ce soir lorsque j'aurai plus de temps.

[invité576543]

Cela veut dire que ton atlas ne contenant que f ne convient pas puisqu'il ne s'agit pas d'un atlas maximal.

Ne convient pas à quoi?

Et tout atlas appartient à un atlas maximal : suffit d'y ajouter toutes les cartes compatibles.

Donc en fait, il faut vérifier que pour tout g,h deux cartes de l'atlas initial, est bien différentiable ce qui n'est pas le cas pour tout g et h comme tu pourras le vérifier.

Je vais essayer d'être plus précis.

Ceci dit, dans mon message #1, j'essayais d'aller plus loin que ce qui me semble maintenant le "noeud du problème".

Je pense que ce qui bloque ma compréhension peut être discuté sans s'occuper d'atlas maximal, et peut-être même juste en discutant par lui-même (il n'y est pas question d'atlas maximal) mon message de 08h09.

I.e., est-ce que le singleton composé d'une carte continue bijective et d'inverse continu de R vers R est un atlas différentiable, oui ou non. Et si non, pourquoi? Quelle aspect des définitions couramment trouvées peut être invoqué pour répondre non? Je n'en trouve pas, et c'est peut-être bien là mon erreur.

Ou encore, pourquoi une bijection continue d'inverse continue ne suffit-elle pas pour déterminer une structure différentielle de R? Et donc une structure différentielle potentiellement distincte de la structure différentielle définie par la carte x --> x.

Cordialement,

[Sylvestre]

Pour préciser et fixer les notations, les cartes sont, pour moi, définie comme allant d'un ouvert de vers l'espace que l'on étudie (qui est aussi , mais c'est juste l'exemple courant que l'on étudie). Dans wikipedia, ils vont dans l'autre sens.

[Sylvestre]

est-ce que le singleton composé d'une carte continue bijective et d'inverse continu de R vers R est un atlas différentiable, oui ou non.

oui.

Par contre, cet atlas ne permet pas de définir une structure différentiable puisqu'il n'est pas maximal. Par définition, une structure différentiable est définie par un atlas "maximal".

[Sylvestre]

Je viens de réfléchir un peu plus à ce que tu dis et je comprends bien ton problème maintenant (désolé de ne pas l'avoir fait plus tôt). Toutefois, je ne vois pas la réponse dans l'immédiat. J'y réfléchis...

[invité576543]

Par ailleurs, en réfléchissant si ma vue (peut-être erronée) pouvait être compatible avec la notion de "structure différentielle exotique", j'en arrive aux idées (floues, non appuyées sur un raisonnement rigoureux) suivantes.

Dans mon approche, j'utilise des cartes bijectives entre M et Rⁿ, et plus précisément l'intersections entre un atlas et les bijections. Cela permet de se ramener aux groupes d'autohoméomorphismes et d'autodifféomorphismes (alors que je ne vois pas trop de structure de groupe dans les cartes quelconques).

Quand on dit "structure différentielle unique", il se peut qu'on veuille dire "structure différentielle d'un type unique", toutes "isomorphes". Ce qui est clairement le cas quand on se limite aux bijections : l'intersection d'un atlas maximal et des bijections est, si non vide, une classe à droite d'un groupe par un sous-groupe, et est "structurellement unique" (toutes les classes sont congruentes).

Mais il y a là une condition intéressante : "si non vide".

Tout s'écroule quand l'intersection est vide (cas ne serait-ce que de S2).

Cela me semble laisser de la place à l'idée que R a plusieurs structures différentielles au sens du choix d'un atlas (i.e., il existe des atlas non compatibles de R), mais qu'elles sont toutes "identiques" au sens d'un certain isomorphisme, et donc que les distinguer n'a pas d'importance pratique en général.

Mais on a alors là le même phénomène (assez générique), sous-jacent à la notion de jauge : le choix arbitraire, nécessaire en pratique, entre plein de possibilités identiques, comme le choix d'une origine sur un cercle.

Evidemment pour R en tant que variété différentielle, le choix naturel est la structure différentielle déterminée par la carte x-->x, mais il n'en resterait pas moins qu'il s'agisse d'un choix.

Par contre, pour une variété M homéomorphe à R, sans aucune structure supplémentaire, le choix de la structure différentielle serait totalement arbitraire, mais sans importance par "unicité" au sens d'un isomorphisme canonique (typiquement la congruence de classe par les difféomorphismes de R (= les autodifféomorphismes --bijectif, et d'inverse différentiable-- de R muni de la structure différentielle déterminée par la carte x-->x)).

Cordialement,

[invité576543]

Pour le contre-exemple de fonction bijective continue d'inverse non continu, j'ai trouvé (et j'aurais dû regarder avant de poser la question) le #18 dans le livret des contre-exemples...

Maintenant, il n'est pas sur R, et ma question reste, mais limitée à ce cas...

Cordialement,

[Sylvestre]

J'ai un peu avancé. Voici le résultat de mes réflexions.

Soit la variété munie de l'atlas constitué d'une seule carte avec si et si .

Soit la variété munie de l'atlas constitué d'une seule carte avec pour tout x.

Ces deux variétés sont des -variétés.
Comme tu l'as dis très justement les deux atlas ne sont pas -compatible.

Par contre, il existe un -difféomorphisme de M vers N. C'est tel que . On peut le montrer simplement en prouvant que est bien . Ceci est évidemment vrai puisque la composition précédente est l'identité de . Ainsi, bien que les deux atlas soient non compatibles, les deux variétés différentiables M et N sont bien difféomorphes. On n'a donc pas trouvé deux structures différentiables sur puisque celles-ci sont difféomorphes. On a seulement trouvé deux variétés différentes.

[invité576543]

OK, ça c'est en ligne avec ce que je comprends.

C'est juste un problème de vocabulaire.

Si je reprends le texte de Coquereaux (avec une phrase de plus) :

En d'autres termes, on peut complètement caractériser une variété différentiable par la donnée d'une variété topologique et d'un atlas maximal. Il se trouve que, dans certains cas, une variété topologique donnée possède plusieurs structures différentiables (plusieurs atlas maximaux distincts). C'est le cas pour (le seul, parmi les espaces numériques à posséder des structures différentiables ``exotiques'') et c'est aussi le cas pour les sphères Sⁿ lorsque .

Avec le vocabulaire du message de Sylvestre, on peut réécrire :

En d'autres termes, on peut complètement caractériser une variété différentiable par la donnée d'une variété topologique et d'un atlas maximal. Une variété topologique correspond à plusieurs variétés différentiables distinctes ((plusieurs atlas maximaux distincts). Souvent elles correspondent à la même structure différentiables (ces variétés différentiables sont difféomorphes). Il se trouve que, dans certains cas, une variété topologique donnée correspond à plusieurs structures différentiables . C'est le cas pour (le seul, parmi les espaces numériques à posséder des structures différentiables ``exotiques'') et c'est aussi le cas pour les sphères Sⁿ lorsque .

Est-ce que la modification correspond bien à ce qu'il fallait comprendre?

Cordialement,

[Sylvestre]

Est-ce que la modification correspond bien à ce qu'il fallait comprendre?

J'ai compris cet aspect des choses en rédigeant mon message précédent, donc je suis d'accord avec ta modification.

[Sylvestre]

Une variété topologique correspond à plusieurs variétés différentiables distinctes ((plusieurs atlas maximaux distincts)

Je reviens sur ce que je viens de dire. La phrase ci-dessus est fausse: Une variété topologique, i.e., une variété munie d'un -atlas, ne correspond qu'à une seule variétés différentiable. Dans mon exemple, M et N sont deux variétés topologiques différentes puisque leurs atlas maximaux sont différents. Par contre, deux variétés différentes peuvent très bien être homéomorphes. Et, si c'est le cas, elles peuvent être ou non difféomorphes.

[invité576543]

Je reviens sur ce que je viens de dire. La phrase ci-dessus est fausse: Une variété topologique, i.e., une variété munie d'un -atlas, ne correspond qu'à une seule variétés différentiable. Dans mon exemple, M et N sont deux variétés topologiques différentes puisque leurs atlas maximaux sont différents.

Voilà qui me replonge dans l'incompréhension.

Dans ma compréhension une variété topologique est "munissable" d'au moins un -atlas. Elle n'est pas définie par cet atlas, elle est variété (et pas seulement espace topologique) de par l'existence d'au moins un C⁰-atlas.

Toutes les définitions que j'ai vues sont cohérentes avec cela : elles demandent l'existence d'homéomorphismes locaux avec Rⁿ, pas le choix de tels homéomorphismes (e.g., d'un atlas).

Alors que la définition d'une variété différentiable est présentée comme la donnée (i.e., le choix), en plus de la variété topologique, d'un atlas.

Pour faire un parallèle, se serait comme "groupe", "commutatif" et "anneau". Un groupe est commutatif ou ne l'est pas (un espace topologique est une variété ou ne l'est pas); et un groupe commutatif peut être muni d'une structure d'anneau par la donnée d'une multiplication interne de propriétés idoines (une variété topologique peut être munie d'une variété différentiable Cⁿ par la donnée d'un jeu de cartes aux propriétés idoines, i.e., d'un Cⁿ-atlas).

Mais peut-être là encore mon vocabulaire et/ou ma compréhension sont-ils fautifs?

(En particulier apparaîtrait une différence subtile entre "variété topologique" et "variété C⁰-différentiable".)

Cordialement,

PS : Ceci dit, au-delà du vocabulaire, il me semble atteindre maintenant la compréhension qui me manquait.

[Sylvestre]

Dans ma compréhension une variété topologique est "munissable" d'au moins un -atlas. Elle n'est pas définie par cet atlas, elle est variété (et pas seulement espace topologique) de par l'existence d'au moins un C⁰-atlas.

Tu as raison, je me suis trompé. J'ai parlé trop vite.

[invité576543]

Juste pour expliquer un peu la raison d'être de mon pinaillage.

En utilisant le vocabulaire du message précédent, dans une théorie avec arrière-plan, l'espace-temps est une variété topologique de dimension 4, et est munie d'un atlas en faisant une variété différentiable C-n, atlas choisi semble-t-il arbitrairement. (Sinon, comment est-il choisi )

Le choix de l'atlas aurait un statut similaire, mutatis mutandi, à celui du choix d'un repère pour un espace vectoriel.

Et je m'interroge sur l'importance, la signification, etc. de ce choix arbitraire. (En supposant que mon analyse soit correcte.)

Cordialement,

PS: Autre question dans le même domaine; quand on parle en RG "d'invariance par difféomorphisme" parle-t-on "à atlas maximal constant" (i.e., sans changer de variété différentiable), comme je le pensais jusqu'alors? Ou y compris de difféomorphismes passant d'une variété différentiable à une autre (sans changer de variété topologique)?

[Sylvestre]

Et je m'interroge sur l'importance, la signification, etc. de ce choix arbitraire. (En supposant que mon analyse soit correcte.)

J'ai déjà vu des articles de gens qui font de la théorie des cordes dans un espace-temps exotique. Certaines particules seraient plus facilement contruites dans ce cadre. Malheureusement je n'en sais pas plus, il faudrait que j'en lise un sérieusement.

PS: Autre question dans le même domaine; quand on parle en RG "d'invariance par difféomorphisme" parle-t-on "à atlas maximal constant" (i.e., sans changer de variété différentiable), comme je le pensais jusqu'alors? Ou y compris de difféomorphismes passant d'une variété différentiable à une autre (sans changer de variété topologique)?

A mon avis, c'est la seconde solution qui est la bonne. En effet, on veut savoir ce qui se passe lorsque l'on applique un difféomorphisme à la variété et donc, comme nous l'avons vu plus haut cela peut très bien changer l'atlas maximal.

[invité576543]

A mon avis, c'est la seconde solution qui est la bonne.

Si on suppose un espace-temps en arrière-plan, E, une variété topologique.

Soit f : E --> R un champ scalaire.

Si la propriété "f est différentiable" est invariante par difféomorphisme, alors f serait différentiable pour toute carte?

Cela paraît fortement contraignant, non?

Certes il y a des possibilités (fonctions constantes). Mais cela ne peut pas être le cas de n'importe quel fonction (suffit de prendre une des coordonnées d'une des cartes!).

J'entrevois au moins les moyens suivant de s'en sortir:

1) Effectivement, les seuls champs physiques sont ceux différentiables pour toute carte. (Intuitivement trop contraignant.)

2) L'hypothèse d'arrière-plan est incompatible avec l'invariance par difféomorphisme. (Mais alors que veux exactement dire "invariance par difféomorphisme"? Difféomorphisme de quoi?)

3) Un champ scalaire f n'a pas de signification physique, seule la relation entre f et un ou d'autres champs en a une, et cette relation est telle que le choix de carte n'a pas d'importance. (Autrement dit, les différentielles d'intérêt physique ne sont pas celles par rapport à une carte, mais celle par rapport à d'autres champs.)

Je ne sais pas trop comment s'exprime mathématiquement la troisième voie. En gros, si on choisit malencontreusement une carte dans laquelle la différentielle de f n'existe pas en P, alors elle n'existe pas non plus pour les autres champs en ce point, mais il y a une relation (un rapport par exemple) qui peut être prolongée proprement en P).

Peut-être qu'on peut bâtir un exemple simple en 1D pour cette troisième voie, qui pour le moment m'apparaît comme la seule acceptable dans ce que je peux imaginer.

Cordialement,

[Sylvestre]

Soit f : E --> R un champ scalaire.

Si la propriété "f est différentiable" est invariante par difféomorphisme, alors f serait différentiable pour toute carte?

Cela paraît fortement contraignant, non?

Dire que "f est différentiable" veut dire que pour toute carte g de E et h de R, on a que est différentiable. Je ne vois pas en quoi cela est fortement contraignant. Tu pourrais clarifier ce que tu veux dire ?

Certes il y a des possibilités (fonctions constantes). Mais cela ne peut pas être le cas de n'importe quel fonction (suffit de prendre une des coordonnées d'une des cartes!).

Encore une fois, je ne comprends pas. Les fonctions constantes ne sont pas les seules fonctions de E->R qui sont différentiables.