Equation différentielle d'un pendule simple , en x et y !!!

[invite2b14cd41]

Je sais très bien qu'il est plutot "facile"(du moins pour de petits angles) d'établir (et de résoudre) l'équation différentielle d'un pendule simple en fonction de l'angle theta (abscisse angulaire).

Toutefois, histoire de faire le malin, je me suis demandé, comment l'établir en fonction des coordonnées cartésiennes de la bille ?
J'associerai le centre de mon repère cartésien au point d'attache du fil au support. (Donc coordonnées à l'équilibre stable : (0;-L) avec L longueur du fil). On envisage les mouvements dans le plan vertical (c'est déjà assez compliqué comme cela).

En supposant que les seules forces appliquées son le poids (g=10) et la tension du fil (inextensible) comment trouver x et y en fonction du temps ? (on peut envisager les cas ou le pendule tourne plus que 90' et n'a pas assez d'énergie pour faire un tour complet; il y aura alors choc mou ............)

Une idée ??
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[LPFR]

Bonjour.
Si vous regardez bien, vous constaterez que les forces dans la direction 'x' ne dépendent que de la position en 'x'. Même chose pour les forces et la position en 'y'.
Donc, vous pouvez écrire l'équation pour les 'x' et la résoudre et écrire l'équation pour les 'y' et la résoudre. Le tout sans les mélanger.
Le résultat sera deux mouvements indépendants en 'x' et en 'y'. Suivant les conditions initiales, la trajectoire de la bille sera une droite, une ellipse ou un cercle.
Au revoir.

[invite2b14cd41]

Qu'en est-il du cas du choc mou (le fil est "mou" , ce n est pas comme une barre, et je vois mal comment la trajectoire pourrait etre une droite ou une ellipse (je sais c'est un artifice mathématique ... mais ..)?

[LPFR]

Qu'en est-il du cas du choc mou (le fil est "mou" , ce n est pas comme une barre, et je vois mal comment la trajectoire pourrait etre une droite ou une ellipse (je sais c'est un artifice mathématique ... mais ..)?

Re.
Ce dont je vous ai parlé concerne des petites oscillations.
Pour des grandes amplitudes la solution est nettement plus compliquée.
Si, en plus vous voulez le faire décrocher au delà de 90°, ça devien vraiment compliqué.
Et, en tout cas, vous ne pourrez pas mettre cela dans une équation, mais dans une équation par phase du mouvement.
Et le choc ne sera pas du tout mou. Une ficelle non élastique casera.
Avant de vous lancer en 3 dimensions, restez dans un plan. Si vous y arrivez, il vous sera très facile d'ajouter une coordonnée de plus.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2b14cd41]

Le choc peut être mou si le fil ne casse pas ... On aura une trajectoire parabolique , n'est-ce pas ?

[Rhodes77]

Bonsoir,

LPFR une petite précision : vous considérez que la norme de T est indépendante de x et de y pour dire que les équations différentielles sur x et y ne sont pas couplées, n'est-ce pas ?
Est-ce juste de trouver une solution oscillante pour x et une solution en cosh pour y avec une vitesse nulle et une position (x0;y0) à l'origine des temps ?
Ce cosh me surprend...

[Rhodes77]

Lol, erreur de signe, faites comme si je n'avais rien dit

[invite2b14cd41]

La tension varie au cours du temps ...