Suite définie par une équation différentielle

[DarK MaLaK]

Bonjour, j'aimerais connaître une méthode pour résoudre l'équation suivante :



Ici, est la constante de raideur d'un ressort (virtuel) et les représentent les déplacements d'un atome autour de sa position d'équilibre dans une approximation telle que le cristal est unidimensionnel monoatomique dans le cas d'une onde longitudinale où on ne considère que les interactions entre plus proches voisins, M étant la masse de l'atome. Donc c'est simplement l'équation fondamentale de la dynamique que je dois résoudre dans ce problème simplifié à une dimension.

En fait, j'aimerais surtout savoir comment montrer qu'il existe des solutions de la forme (en utilisant si nécessaire des considérations physiques mais de manière rigoureuse, et pas simplement en disant que le déplacement varie dans le temps pour introduire subitement une formule en exponentielle qu'on teste, comme j'ai vu sur plusieurs sites) :



Où a est la distance interatomique et k le vecteur d'onde (ici parallèle au déplacement).

Le but est de trouver la relation de dispersion mais je n'ai pas de problème particulier avec ce calcul. C'est surtout de coupler équations différentielles et suites, je ne me souviens pas d'avoir appris de méthode mathématique pour résoudre ce type de problème.

Une question un peu plus axée sur la physique enfin : en trois dimensions, nous avons donc la même formule mais avec plusieurs composantes dans l'exponentielle pour considérer à la fois le cas longitudinal et le cas transversal ?

Merci pour vos réponses.
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[invitea774bcd7]

Comment est définie la dérivée dans ce cas discret ?

[DarK MaLaK]

La dérivée devrait être définie de la manière suivante :



h étant un intervalle de temps très petit entre deux positions de l'atome.
Dans le cas discret je ne vois pas trop comment faire, puisque pour moi la dérivée est définie pour tous les cas dans cette formule. A la rigueur, on pourrait faire une approximation en enlevant la limite et essayer d'introduire les termes d'ordres supérieur et inférieur mais je ne sais pas si ce serait très correct.
Je continue de réfléchir, mais si tu peux m'aiguiller, cela ne me dérange pas.

[SchliesseB]

heu... t est un paramètre continu. le temps n'est pas discret ici.

la position du n-ieme atome est au temps t.

pour trouver le résultat on peut:
-le mettre dans l'équation et voir que ça marche
-décomposer en Fourier et trouver la même chose

[A voir en vidéo sur Futura]

[DarK MaLaK]

Oui tu as raison mais pour la deuxième partie de l'équation en approximant, on pourrait y voir une dérivée seconde par rapport à x (axe de déplacement). Et pour tes réponses je te remercie mais j'ai précisé que j'aimerais trouver la solution comme si je ne la connaissais pas à l'avance.

[SchliesseB]

oui en "approximant" (on parle de passer à la limite continue pour ce cas) on trouvera un dérivée d'ordre 2 par rapport à l'espace.

pour trouver la solution, passe en Fourier discret.

je suppose qu'on a N points (un nombre fini) et on prend les conditions au limites périodiques (c'est a dire que ,, etc... pareil dans les négatifs)

à partir de là, Fourier discret (car périodique), on obtient des équations non couplés pour pour l'amplitude de Fourier (qui dépend du temps)... (sauf erreur...)

pour la relation de dispersion tu injectes et tu trouves une relation entre k et .

[DarK MaLaK]

Je ne comprends pas comment on trouve ces limites périodiques. De plus dans mon cours je crois plutôt que n varie de 1 à l'infini, les atomes sur le schéma étant positionnés en (n-1)a, na et (n+1)a. Si quelqu'un peut détailler...

[SchliesseB]

ah oui tiens, ma solution ne marche pas car il devrait y avoir un /N dans l'exponentielle...

puisque n varie de 0 à l'infini (et pas -infini?) je n'en ai aucune idée...

[DarK MaLaK]

Ok merci quand même, les réponses m'ont fait avancer dans ma réflexion et il vaut mieux réfléchir un moment plutôt que d'obtenir tout de suite une réponse toute faite qui paraît toujours simple quand elle ne vient pas de nous. Je vais dormir, espérons que la nuit me porte conseil.

[DarK MaLaK]

Un petit Up car je suis encore perdu !

Pensez-vous qu'il faille "passer à la limite continue" et résoudre une équation aux dérivées partielles ou bien quelqu'un voit-il une méthode simple et élégante ? De plus je ne sais pas si on peut trouver des conditions physiques qui nous aident, sachant que c'est un cristal considéré comme infini (vu que le paramètre de maille est très petit) et que d'après mon schéma n doit aller de 0 à l'infini (ou du moins à un N très grand si ça simplifie le calcul).