Moment cinétique et Gravitation

[invitedb1946d2]

Bonsoir,

Voilà j'ai un petit soucis sur le problème suivant, je vous transmet l'intitulé qui vaudra toujours mieux que mes vagues tentatives d'explications sur le sujet, puis ce que j'ai fais jusqu'au moment ou je bloque.

Je ne sais pas générer de caractères spéciaux, en conséquence un S majuscule sera l'équivalent de la lettre minuscule grecque sigma avec le symbole "vecteur"

"Calculer le moment cinétique total du système précédent par rapport à G :

S_G = S_G(O₁) + S_G(O₂)

Montrer qu'il peut se mettre sous la forme S_G = D(vect.)^ k V₁₂(vect.)

Avec D(vect.) = O₁O₂(vect.)
Et V₁₂(vect.)= V₂(vect.) - V₁(vect.) et k une masse que l'on précisera. "

L'énoncé donne aussi S_G(O_i) = GO_i(vect.) ^ m_iv_i(vect.)

De plus nous sommes dans le cas de deux solides en interaction gravitationnelle dans l'espace qui tournent à la même vitesse angulaire dans le même sens autour du centre d'inertie G tel que
GO₁(vect.) + GO₂(vect.) = O(vect.)

Alors j'ai utilisé la distributivité du produit vectoriel et la relation de Chasles, et j'obtiens :

S_G = GO₂^m₁v₁ + GO₁^m₂v₂ + D ^ (m₂-m₁) V₁₂

Donc je suppose qu'il faudrait que je montre que les deux premiers termes de droite sont nuls pour retrouver la forme de l'énoncé, mais je n'y arrive pas.

Je vous remercie d'avance de l'attention que vous pourriez porter à mon problème !

Bonne soirée

Arnaud
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[invite8d75205f]

Bonsoir,

exprime v1 et v2 en fonction de OG1 et OG2 et tout s'arrangera !

[invitedb1946d2]

Je viens d'essayer de faire ce que tu m'as dit, seulement GO_i et v_i ne sont pas colinéaires mais perpendiculaires ! Et si je me borne à des expressions algébriques, je retombe à chaque fois sur l'expression de départ et je tourne en rond. Pourrais tu me donner un indice supplémentaire ? Merci !

[invitedb1946d2]

Je viens de le refaire et même en restant en vectoriel, je trouve que ce moment cinétique total est nul.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite60be3959]

De plus nous sommes dans le cas de deux solides en interaction gravitationnelle dans l'espace qui tournent à la même vitesse angulaire dans le même sens autour du centre d'inertie G tel que
GO₁(vect.) + GO₂(vect.) = O(vect.)

Il manque les masses m1 et m2 en facteurs respectifs de GO1 et GO2, c'est la formule des barycentres. En exprimant GO1 et GO2 en fonction de O1O2 gràce à la relation de Chasles et en utilisant l'expression du moment cinétique relatif à chaque solide, on trouve assez rapidement la solution.

[invitedb1946d2]

Mais tu veux que je partes de la formule des barycentres ou en partant de la formule du moment cinétique à chaque solide ? Parce que si je pars de la formule du moment cinétique relatif à chaque solide, en utilisant la relation de chasles j'arrive à :

S_G = GO2 ^ m1v1 + GO1 ^ m2v2 + O2O1 ^ m1v1 + O1O2 ^ m2v2

Et là je suis bloqué. En plus je sens que c'est tout con mais je sais pas j'y arrive pas ça m'énerve !

[invite60be3959]

Mais tu veux que je partes de la formule des barycentres ou en partant de la formule du moment cinétique à chaque solide ? Parce que si je pars de la formule du moment cinétique relatif à chaque solide, en utilisant la relation de chasles j'arrive à :

S_G = GO2 ^ m1v1 + GO1 ^ m2v2 + O2O1 ^ m1v1 + O1O2 ^ m2v2

Et là je suis bloqué. En plus je sens que c'est tout con mais je sais pas j'y arrive pas ça m'énerve !

Pas de panique !

On part de la formule :

Le but ici est d'exprimer et en fonction de afin de les remplacer dans les expressions de et de et ainsi d'obtenir un moment cinétique totale qui sera proportionnel à , comme cela est demandé.

Donc en utilisant la relation de Chasles :





et donc :



Tu fais la même chose avec GO1 (mais cette fois-ci en disant que GO2 = GO1 + O1O2).
Comme je l'ai dis plus haut tu remplaces GO1 et GO2 par les expressions ainsi trouvées et tu te rendras compte que l'on peut factoriser par dans l'expression de moment cinétique total. Ensuite on voit que l'on peut également factoriser par m1m2 et on obtient le résultat demandé.

[invitedb1946d2]

C'est bon, je viens d'y arriver. Merci beaucoup Vaincent vraiment c'est trés trés sympa d'autant qu'il fallait être patient parce que j'avais même du mal à comprendre les indications. Le tout vient du fait qu'il ne faut pas se lancer directement dans la decomposition de la formule de départ, mais essayer d'exprimer les paramètres en fonction de ce que l'on veut obtenir à l'arrivée. Méthode à retenir, merci beaucoup !

Bonne journée

Arnaud