Chute libre et équation différentielle

[invite3164d71a]

Bonsoir tout le monde,

J'ai un léger problème au niveau de la résolution de l'équation différentielle. Voici l'exercice en question:



C'est la question 5) a) qui me pose problème: en effet, j'ai établit que l'équation diférentielle vaut: dvy/dt = g(1 - (masse volumique eau sucrée/ masse vol bille)) - (k/(masse vol bille x volume bille)) x vy(t)

Cependant je n'arrive pas à résoudre correctement cette équation.
Si vous pouvez m'aider ce serait agréable et gentil de votre part

Merci à vous et bon week-end
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[invite60be3959]

C'est la question 5) a) qui me pose problème: en effet, j'ai établit que l'équation diférentielle vaut: dvy/dt = g(1 - (masse volumique eau sucrée/ masse vol bille)) - (k/(masse vol bille x volume bille)) x vy(t)

Cependant je n'arrive pas à résoudre correctement cette équation.
Si vous pouvez m'aider ce serait agréable et gentil de votre part

Merci à vous et bon week-end

En fait on ne te demandes pas de résoudre l'équation différentielle même si vous avez normalement vu la solution générale de ce type d'équa.diff. en math. (du type y'=ay+b). On te demandes simplement de vérifier que la solution proposée vérifie bien l'équa.diff. On calcul alors dv_y/dt (=(v_y)' ) et l'on vérifie que le membre de gauche de l'équa.diff est bien égal au membre de droite, après avoir remplacer par leurs expressions respectives, dv_y/dt et v_y.

[invite3164d71a]

En fait on ne te demandes pas de résoudre l'équation différentielle même si vous avez normalement vu la solution générale de ce type d'équa.diff. en math. (du type y'=ay+b). On te demandes simplement de vérifier que la solution proposée vérifie bien l'équa.diff. On calcul alors dv_y/dt (=(v_y)' ) et l'on vérifie que le membre de gauche de l'équa.diff est bien égal au membre de droite, après avoir remplacer par leurs expressions respectives, dv_y/dt et v_y.

Merci beaucoup pour la piste c'est très sympa Mais je n'arrive pas à faire ce que vous me demandez (pouvez-vous juste m'amorcer le début sans me donner toute la réponse ?)

Merci bien

[invitebe08d051]

Bonsoir

On t'a déjà tout dit, puisque on te donne la solution de l'équation différentielle il suffit de remplacer par l'expression de et voir si elle vérifie cette équation.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3164d71a]

Alors j'ai essayé de faire quelque chose grâce à vos pistes extras j'espère que c'est juste:
dvy/dt = -B x C x e(-Bt)
En remplaçant dans l'équation différentielle, on obtient:
-B x C x e(-Bt) = g(1 - (masse volumique eau/ masse vol bille)) - (k/(masse vol bille x volume bille))*(vl + C x e(-Bt))
A partir de là je ne vois pas comment je peux vérifier l'équation

Merci encore

[invite3164d71a]

Aucune idée

Merci encore

[invite60be3959]

En remplaçant dans l'équation différentielle, on obtient:
-B x C x e(-Bt) = g(1 - (masse volumique eau/ masse vol bille)) - (k/(masse vol bille x volume bille))*(vl + C x e(-Bt))
A partir de là je ne vois pas comment je peux vérifier l'équation

Merci encore

D'un côté tu utilises la notation avec le coefficent B et de l'autre tu laisses tout le truc avec g(1 - etc...). C'est normal que tu ne vois pas la solution alors qu'elle serait sous tes yeux si tu faisais en sorte que les notations soient cohérente.

Déjà il faut avoir remarquer que v_L = A/B . On écrit alors que v_y(t) = A/B + C e^-Bt et on utilise l'équation différentielle sous la forme également la plus simple au niveau des notations : dv_y(t)/dt = A - Bv_y(t). Maintenant recommence et tu vas voir que ça tombes sous le sens.

[invite3164d71a]

D'un côté tu utilises la notation avec le coefficent B et de l'autre tu laisses tout le truc avec g(1 - etc...). C'est normal que tu ne vois pas la solution alors qu'elle serait sous tes yeux si tu faisais en sorte que les notations soient cohérente.

Déjà il faut avoir remarquer que v_L = A/B . On écrit alors que v_y(t) = A/B + C e^-Bt et on utilise l'équation différentielle sous la forme également la plus simple au niveau des notations : dv_y(t)/dt = A - Bv_y(t). Maintenant recommence et tu vas voir que ça tombes sous le sens.

Ahhh là cela devient très clair. Alors je me lance (merci à vous):
--> a) On dvy/dt = (vy)'
= -B x C x e(-Bt)
--> b) On a vl = A/B (voir question 4 pour démonstration)
Or vy(t) = vl + C x e(-Bt)
D'où vy(t) = (A/B) + C x e(-Bt)
En remplaçant dans l'équation différentielle simplifiée (dvy/dt = A - Bvy(t)), on obtient:
dvy/dt = A -B((A/B) + C x e(-Bt))
dvy/dt = -B x C x e(-Bt)

--> On obtient donc la même égalité dans a) et b) ce qui démontre l'égalité.

Donc l'équation différentielle admet des solutions de la forme vy(t) = vl + Ce(-Bt).

Est-ce bien cela et merci beaucoup vaincent pour votre patience et énorme aide

[invite60be3959]

C'est ça exactement. Il ne reste plus qu'à trouver C.

[invite3164d71a]

C'est ça exactement. Il ne reste plus qu'à trouver C.

Alors là c'est plus simple je pense:
A t = 0s (conditions initiales):
on a vy(t=0) = vl + C x e^(-Bx0)
Or vy(t=0) = 0 m.s-1 car la bille est lachée sans vitesse initiale
D'où vl + C x e0 = 0
Soit C = -vl

Est-ce bien cela? après je vous dérangerais plus promis

Merci encore vaincent

[invite60be3959]

c'est ça. il ne reste plus qu'à mettre vL en facteur et on se rend alors compte que cette solution est de la même forme que la tension aux bornes d'un condensteur en série avec une résistance lors d'une charge. Normal, même type d'équa.diff., même type de solution.

[invite3164d71a]

c'est ça. il ne reste plus qu'à mettre vL en facteur et on se rend alors compte que cette solution est de la même forme que la tension aux bornes d'un condensteur en série avec une résistance lors d'une charge. Normal, même type d'équa.diff., même type de solution.

Oui mais ce n'est pas demandé
Bon je factorise:
vy(t) = vl x (1-e(-Bt))

Oui ça donne bien ce que vous me dîtes

Merci encore: grâce à vous j'ai compris