Unités

[inviteffa8db36]

Bonsoir,

L'unité de la pression est le bar (entre autres) lorsque l'on ecrit ln(P) (logarithme) avec P=3 bar ln (P) a-t-il une unité??

Merci
-----

[mc222]

salut,

Les fonctions comme :

Logarithmes, exponentielles, sinus, cosinus, tangent, n'ont pas d'unités:

Exemple:

Voila une équation qui donne l'évolution de la vitesse d'une balle tirée d'un fusil en fonction de la distance qu'elle à parcourue depuis le fusil:




: masse volumique de l'air (kg/m^3)
: masse de la balle (kg)
: Suface frontale de la balle (m²)
: Coefficient de pénétration dans l'air de la balle (sans unités)
:distance parcourue par la balle depuis le fusil (m)


: vitesse intitale de la balle (m/s)

: vitesse en fonction de la distance (m/s)

Si tu fait le bilan des unités, tu t'appercois que l'exponentielle n'a pas d'unité, ce qui est tout a fait normal.

Tu ne peu pas avoir dans une formule :
Car cela voudrait dire que l'unité qu'on a choisi aurait un caractère presque théologique

On ne peut prendre le logarithme que d'un rapport, (ou toute chose qui n'a pas d'unité)

en revanche, si on a :

c'est bon car c'est égual à :

Ce qui n'a pas d'unité, voila

[stefjm]

Bonsoir,
Je profite du fait qu'on ait un spécialiste...

Quelle est l'unité de ln(P) ?

On accepte de ne pas adimensionner pour élever au carré ou au cube, mais pas pour une exponentielle : Pourquoi?

[invitec17b0872]

Bonsoir,
Je profite du fait qu'on ait un spécialiste...

Quelle est l'unité de ln(P) ?

On accepte de ne pas adimensionner pour élever au carré ou au cube, mais pas pour une exponentielle : Pourquoi?

ln est une fonction mathématique.
Son argument n'a pas de dimension, et son résultat non plus.
Quand on écrit ln(P), c'est souvent un abus d'écriture. Il faudrait écrire ln(P/P°) où on aura défini P° comme une référence par exemple.

Si on accepte de ne pas adimensionner pour passer au carré, c'est parce que la multiplication a un sens, et son résultat a une dimension : le produit des dimensions des facteurs.
Ca revient à dire "on n'additionne pas des choux à des carottes"...

Bon courage

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1e1a1a86]

car, le principe de l'analyse dimensionnelle c'est "on ne somme pas deux grandeurs qui ont des dimensions différentes"

ainsi, je peux définir des grandeurs comme pour peu que la dimension de P et celle de

pour l'exponentielle:

et donc X doit avoir la dimension de (et de 1) et donc sans dimension.

Idem pour sinus, cosinus, ln....

[stefjm]

ln est une fonction mathématique.
Son argument n'a pas de dimension, et son résultat non plus.
Quand on écrit ln(P), c'est souvent un abus d'écriture. Il faudrait écrire ln(P/P°) où on aura défini P° comme une référence par exemple.

Je me pose depuis longtemps le problème de la signification de la dimension de ln(P)
Mathématiquement, on peut écrire
ln(P/P°)=ln(P)-ln(P°)

Dans le bon système d'unité, P°=1.

Reste le problème de la dimension de ln(P).

lSi on accepte de ne pas adimensionner pour passer au carré, c'est parce que la multiplication a un sens, et son résultat a une dimension : le produit des dimensions des facteurs.

C'est bien pour cela que je me pose la question de la signification de la dimension d'un log ou d'une exponentielle!

Bon courage

J'en ai pas mal...
Il en faut quand on se pose des questions que personnes ne se pose.

[stefjm]

pour l'exponentielle:

et donc X doit avoir la dimension de (et de 1) et donc sans dimension.

J'accepte ce raisonnement à condition d'accepter que n! n'a pas de dimension.
Ce qui n'est pas si évident que cela...

En dimension :
[X/1] = [X^2/(2.1)]=[X^3/(3.2.1)]

A chaque fois, on a une puissance divisé par un produit de même degré que la puissance.

La question vaut la peine d'être posée.

[invite1e1a1a86]

un nombre mathématique n'a pas de dimension

"trois" n'as pas de dimension
trois pommes en a une (pommes)

[stefjm]

un nombre mathématique n'a pas de dimension

"trois" n'as pas de dimension
trois pommes en a une (pommes)

Qui dit que la dimension de X^n n'est pas justement celle de n! ?

C'est très arbitraire comme raisonnement, mais pas plus que le tien qui dit que trois n'a pas de dimension.

1! est une longueur.
2! est une surface.
3! est un volume.
etc...
tout comme
X^1 est une longueur.
X^2 est une surface.
X^3 est un volume.


Le seul point que je t'accorde est que ce n'est pas habituel comme raisonnement, mais il te seras également difficile de justifier la non dimension d'un nombre.

Sinon, je suis d'accord que ce qui n'a pas de dimension, c'est X^n/n!.

Difficile de séparer X^n de n!...

Cordialement.

[invite1e1a1a86]

Certes, sans explications valables je peux dire ce que je veux

qui me dit que le + n'apporte pas une dimension?
et après tout, pourquoi ne pas sommer deux grandeurs de dimensions différentes?

[invitec17b0872]

Wah... ok ça fait partie des questions que je ne me pose pas, mais j'ai l'impression que vous allez loin quand même là

La question qui ressort de toutes ces questions se résume à celle-là seule : les nombres sont-ils dimensionnés ? On répondrait alors au problème de la factorielle, de la multiplication donc, etc.
J'avoue ne pas avoir la connaissance suffisante en maths pour y répondre. Peut-être cela fait-il partie des axiomes de base (?).

Pour autant, si on est autorisé à écrire ln(P1/P2) en ce que la quantité P1/P2 est adimensionnée, en quelque unité que P1 et P2 s'expriment, je doute qu'on puisse pour autant écrire alors ln(P1/P2)=ln(P1)-ln(P2).
Car cette loi qu'on invoque est celle qui dit que pour a et b deux réels, a non nul et a et b de même signe alors ln(a/b)=ln(a)-ln(b).
Etant "admis" que les réels sont adimensionnés, il est légitime d'écrire ln(a). Mais je reste convaincu qu'écrire ln(P) est impossible tant que P possède une dimension physique.

En espérant avoir un peu contribué à la discussion...

[invitec17b0872]

Désolé pour le double-post, mais je mène l'enquête en parallèle !

Il est dit ici (site du Bureau International des Poids et Mesures) :

Certaines grandeurs sont définies par le rapport de deux grandeurs de même nature ; elles sont donc sans dimension, ou leur dimension peut être exprimée par le nombre un. L'unité SI cohérente de toutes les grandeurs sans dimension, ou grandeurs de dimension un, est le nombre un, parce que l'unité est le rapport de deux unités SI identiques. La valeur de ces grandeurs est exprimée par des nombres, et l'unité « un » n'est pas mentionnée explicitement. On peut citer, comme exemple de telles grandeurs, l'indice de réfraction, la perméabilité relative ou le coefficient de frottement. D'autres grandeurs sont définies comme un produit assez complexe et sans dimension de grandeurs habituelles. Par exemple, parmi les « nombres caractéristiques » citons le nombre de Reynolds Re = L/, où est la masse volumique, la viscosité dynamique, la vitesse et L la longueur. Dans tous ces cas, l'unité peut être considérée comme étant le nombre un, unité dérivée sans dimension.

J'entends bien que çe na vaut pas démonstration (si elle existe) mais soyons rassurés : 1 est, comme tous les autres nombres, sans dimension.

Ouf !

Edit : Un lien en bas de page de l'URL fourni plus haut amène à un pdf du système SI. Bonne lecture !

[invite5e34a2b4]

Qui dit que la dimension de X^n n'est pas justement celle de n! ?

C'est très arbitraire comme raisonnement, mais pas plus que le tien qui dit que trois n'a pas de dimension.

1! est une longueur.
2! est une surface.
3! est un volume.
etc...
tout comme
X^1 est une longueur.
X^2 est une surface.
X^3 est un volume.


Le seul point que je t'accorde est que ce n'est pas habituel comme raisonnement, mais il te seras également difficile de justifier la non dimension d'un nombre.

Sinon, je suis d'accord que ce qui n'a pas de dimension, c'est X^n/n!.

Difficile de séparer X^n de n!...

Cordialement.

Salut,
Mmmhh, j'ai l'impression que tu mélanges un peu tout.

Pourquoi est-ce que 1! ne serait pas une masse? Et puis 2! une masse au carré et puis 3! une masse au cube ?
D'ailleurs, en écrivant 3 comme 3*1, 3*1*1; 3 serait à la fois une masse, une masse au carré, une masse au cube, ou même une masse fois une longueur etc.

Un nombre est une quantité sans dimension, par définition.
3=3*1*1=3*1*1*1 est donc sans dimension pour ne pas aboutir aux contradictions précédentes.

Si X est une longueur, X^2 est une surface, de même que X^2/2 (qui est la moitié de la surface précédente). Je ne comprends pas le problème en fait.

T'as le droit d'additionner les grandeurs physiques X et X^2 si elles ont même dimension, ce qui n'est possible que si elles sont sans dimension.

Conclusion : ln(P) n'a aucun sens si P est dimensionné.

Alors, je suis d'accord que pour les calculs, quelquefois, il peut être plus simple d'écrire ln(P1)-ln(P2), mais c'est techniquement incorrect. Est-ce que ça pose un gros problème ? Pas vraiment. Il suffit de se dire que ce sont les valeurs de P1 et de P2 (dans la même unité) qui sont dans les ln, ou alors que c'est tout simplement ln(P1/P2).

Peu importe, au final, c'est un petit raccourci sans grande conséquence.

[invitec17b0872]

Ah ah ! Oui c'est encore moi... Le lien PDF dont je parle dans l'Edit du message #12 parle explicitement du cas ln(P) (et autres similaires) pp. 47 et 48 et des grandeurs sans dimension p.49
Au passage, la lecture du PDF est très intéressante !

[cricri78]

Bonjour,
P étant en bars, on sera d'accord je pense pour dire que 2.P a la même dimension, celle d'une pression.

Maintenant, admettons que Log(P) ait effectivement une dimension.
Dans ce cas, la dimension serait la même que celle de Log(P^n), et donc que n.Log(P), donc idem Log(P). N'est-ce pas absurde ?

Autre raisonnement, si Log(P) a la dimension [X], alors Log(P)-Log(Po) a également la dimension [X], et donc Log(P/Po) également. Comme Log(P/Po) est sans dimension, donc [X] est sans dimension.

Mais la raison de base n'est-elle pas que Log(P) n'a pas de signification physique?

[Tiluc40]

Bonjour,
P étant en bars, on sera d'accord je pense pour dire que 2.P a la même dimension, celle d'une pression.

Maintenant, admettons que Log(P) ait effectivement une dimension.
Dans ce cas, la dimension serait la même que celle de Log(P^n), et donc que n.Log(P), donc idem Log(P). N'est-ce pas absurde ?

Autre raisonnement, si Log(P) a la dimension [X], alors Log(P)-Log(Po) a également la dimension [X], et donc Log(P/Po) également. Comme Log(P/Po) est sans dimension, donc [X] est sans dimension.

Mais la raison de base n'est-elle pas que Log(P) n'a pas de signification physique?

Bonjour,
Ce raisonnement me plait bien

[stefjm]

Certes, sans explications valables je peux dire ce que je veux

C'est bien l'idée. Je trouve qu'il y a des évidences qui méritent qu'on y réfléchisse un peu.

Dans le développement en série de la factorielle, j'admets assez volontiers que X^n/n! est sans dimension pour pouvoir faire la somme. Pour moi, cela n'implique que X^n de même dimension que n! . C'est une approche très géométrique où on considère que l'on normalise grace à n!.

qui me dit que le + n'apporte pas une dimension?

Rien, justement.
D'ailleurs, dans l'exemple du ln, si on considère formellement qu'une grandeur physique P est le produit d'un nombre p sans dimension et d'une dimension dP, le logarithme s'écrit :
P=p.dP

ln P = ln(p.dP) = ln(p) + ln(dP)

Que pourrait bien signifier "ajouter le logarithme de la dimension" au logarithme du nombre sans dimension?

et après tout, pourquoi ne pas sommer deux grandeurs de dimensions différentes?

Bonne question à laquelle je n'ai pas la réponse!
(Si ce n'est qu'on n'est pas capable de donner un sens à cette opération actuellement.)
On a le droit de faire le produit de deux grandeurs A et B de dimensions différentes.

ln (A.B)=ln A + ln B

En passant en ln, on a donc le droit d'additionner les ln de ces grandeurs.

On ne peut pas additionner des pommes et des carottes mais on peut additionner leur logarithme...

J'avoue que tout ceci ne me parait plus si clair que cela. (Quand je ne me posais pas de questions, c'était beaucoup plus simple pour moi...)

Cordialement.

[stefjm]

Mais la raison de base n'est-elle pas que Log(P) n'a pas de signification physique?

Qu'est ce qu'une signification physique?
C'est d'autant plus flou que l'exponentielle et le logarithme interviennent très souvent dans les lois physiques.
Cordialement.

[invite5e34a2b4]

ln (A.B)=ln A + ln B

Cette formule est valable pour des nombres. Point barre.
De la même façon, on ne prend pas le logarithme d'un vecteur ou d'une patate.
Le logarithme est défini comme fonction de R sur R (ou de C dans C). C'est tout. Faut pas se compliquer la vie.

Ainsi, j'ai le droit d'écrire ln(P1/P2) car P1/P2 est un nombre sans dimension.
Mais je n'ai pas le droit d'écrire ln(P1/P2)=ln(P1)-ln(P2) parce que la formule précédente n'est valable que si P1 et P2 sont des nombres.

Après, comme dit, ce n'est qu'une question de notation, de raccourci d'écriture qui n'a vraiment pas de conséquence néfaste. Il suffit de considérer que les P1 et P2 écrits précédemment sont les valeurs de P1 et P2 dans une même unité.

[cricri78]

Qu'est ce qu'une signification physique?
C'est d'autant plus flou que l'exponentielle et le logarithme interviennent très souvent dans les lois physiques.
Cordialement.

Si Log(P) avait une signification physique, cela signifie que l'on pourrait entre autres choses le mesurer, ou le déduire du résultat de plusieurs mesures, combinant ainsi des unités de base, ou encore le comparer directment...
Le log de la pression ne me semble pas avoir de signification physique.

Comme déjà dit plus haut je crois, exp et log dans des formules ne concernent que des nombres sans dimension.
En outre ce sont souvent des formules empiriques (toujours ? je n'ai pas de contre exemple en tête! Quelqu'un ?)

[invitec17b0872]

Si Log(P) avait une signification physique, cela signifie que l'on pourrait entre autres choses le mesurer, ou le déduire du résultat de plusieurs mesures, combinant ainsi des unités de base, ou encore le comparer directment...
Le log de la pression ne me semble pas avoir de signification physique.

Comme déjà dit plus haut je crois, exp et log dans des formules ne concernent que des nombres sans dimension.
En outre ce sont souvent des formules empiriques (toujours ? je n'ai pas de contre exemple en tête! Quelqu'un ?)

Pour l'exemple, je pense à l'énergie interne en thermo statistique :
ou l'énergie libre

Le sens physique, c'est ce qui ramène la quantité mathématique à l'observation du problème physique. Ainsi l'entropie acquiert-elle son "sens physique" dans l'interprétation statistique qu'on peut en faire, par exemple.

Il ne convient même pas de chercher à savoir ce que "signifie" ln(P) puisque, on le répète, ca n'existe pas.
On peut l'écrire, mais ça n'est rattaché à rien de réel, de physique, de mathématiques... à rien !

Je comprends, pour être rigoureux aussi, ou du moins pour tâcher de l'être, qu'on veuille expliquer les choses qu'on manipule.
Il faut néanmoins se résigner à saisir que ce qui est vide d'existence ne peut pas être expliqué ! ln(P), on peut en discuter de long en large, et chacun pourra en dire ce qu'il en voudra, comme des licornes ou des vampires...C'est triste mais "c'est comme ça" (phrase redoutablement frustrante !)

[invitea774bcd7]

C'est triste mais "c'est comme ça" (phrase redoutablement frustrante !)

Une quantité dimensionné est le produit d'un nombre et d'une unité. À cette unité, je n'ai le droit que de lui appliquer des puissances entières. C'est ici qu'il faut insérer le « c'est comme ça »

Pour moi, les seules fonctions mathématiques acceptant des quantités dimensionnées sont donc les fonctions puissances avec exposant entier.
(à celui qui me dit que , je répond
Vous voyez ce que je veut dire… )

[invitec17b0872]

(à celui qui me dit que , je répond
Vous voyez ce que je veut dire… )

Oui si x est adimensionné.....

Gonna get crazy !

[invite5e34a2b4]

Une quantité dimensionné est le produit d'un nombre et d'une unité. À cette unité, je n'ai le droit que de lui appliquer des puissances entières. C'est ici qu'il faut insérer le « c'est comme ça »

Pour moi, les seules fonctions mathématiques acceptant des quantités dimensionnées sont donc les fonctions puissances avec exposant entier.
(à celui qui me dit que , je répond
Vous voyez ce que je veut dire… )

Encore une fois, l'égalité que t'écris est définie mathématiquement pour n entier, x réel. Ca ne s'applique pas aux quantités dimensionnées.

D'un côté, on a les maths qui utilisent des nombres. De l'autre, la physique au sens général, qui utilise (entre autres) des quantités dimensionnées.
En "physique", t'auras, par exemple, 2 pommes auxquelles tu rajouteras 2 pommes. Tu te retrouveras avec 4 pommes. Ainsi, tu peux créer une loi entre quantités dimensionnées qu'on peut appeler "somme entre pommes", mais qui ressemble beaucoup à la somme mathématique, si ce n'est qu'on rajoute "pommes" à la fin.

Et ainsi de suite, on créé les opérations pour les quantités dimensionnées. Il est possible de faire de théorie sur ça, mais c'est tellement trivial et intuitif.

Une fois ces lois créées, il y en a une qui empêche de créer des quantités du style ln(P) ou autres. C'est le fait qu'on ne peut pas additionner des quantités de dimensions différentes.
Et le logarithme, l'exponentielle est d'autres fonctions ont plus d'un terme de puissance dans leur développement limité. Et tu ne peux calculer la somme que si X est adimensionné.

Conclusion : ln(P) n'a pas de sens si P est dimensionné.

Après, comme je l'ai dit plusieurs fois, on peut l'écrire si c'est pour faire des raccourcis d'écriture. On ne vous jettera pas la pierre, si vous écrivez ln(P/P0)=ln(P), si P0=1Pa et P est exprimé en Pascal.

[invitea774bcd7]

Encore une fois, l'égalité que t'écris est définie mathématiquement pour n entier, x réel. Ca ne s'applique pas aux quantités dimensionnées.

Je sais. Mais « par abus », on peut utiliser des quantités dimensionnées dans des fonctions puissance avec exposant entier. Juste parce que c'est la seule opération permise sur les unités. C'est tout.

[invite5e34a2b4]

En fait, ce que je veux aussi dire, c'est qu'il faut faire attention à la transposition pure et dure d'égalités valables dans un cadre bien précis.
De la même façon, que même si , on n'écrira pas , on essaiera de ne pas écrire , ou encore si x est une quantité dimensionnée.

[stefjm]

Salut,
Mmmhh, j'ai l'impression que tu mélanges un peu tout.

Je ne crois pas...

Pourquoi est-ce que 1! ne serait pas une masse? Et puis 2! une masse au carré et puis 3! une masse au cube ?
D'ailleurs, en écrivant 3 comme 3*1, 3*1*1; 3 serait à la fois une masse, une masse au carré, une masse au cube, ou même une masse fois une longueur etc.

J'ai donné la même dimension au nombre n! que celle de X^n pour que la grandeur X^n/n! soit sans dimension. C'est un parti pris de ma part, je le reconnais, parti pris qui ne conduit pas à des incohérences.

Un nombre est une quantité sans dimension, par définition.
3=3*1*1=3*1*1*1 est donc sans dimension pour ne pas aboutir aux contradictions précédentes.

Si par définition, un nombre n'a pas de dimension, j'admets qu'un nombre n'a pas de dimension, mais on ne discute plus de rien...
Quelle contradiction? Juste une multi interprétation. (qui peut être génante je l'avoue)

Si X est une longueur, X^2 est une surface, de même que X^2/2 (qui est la moitié de la surface précédente). Je ne comprends pas le problème en fait.

Si 2 est une longueur, X^2/2 est une longueur aussi qu'on peut additionner à X!
Juste une question d'interprétation.

Conclusion : ln(P) n'a aucun sens si P est dimensionné.

Ce n'est pas une conclusion mais ton hypothèse. (que je respecte, simplement, je voudrais voir ce qui se passe si on ne pose pas cette hypothèse.)

Alors, je suis d'accord que pour les calculs, quelquefois, il peut être plus simple d'écrire ln(P1)-ln(P2), mais c'est techniquement incorrect. Est-ce que ça pose un gros problème ? Pas vraiment. Il suffit de se dire que ce sont les valeurs de P1 et de P2 (dans la même unité) qui sont dans les ln, ou alors que c'est tout simplement ln(P1/P2).

Peu importe, au final, c'est un petit raccourci sans grande conséquence.

Il me semble que c'est peut-être plus intéressant qu'il n'y parait.
Mais je peux me tromper...

Cordialement.

[invitea774bcd7]

Mais je peux me tromper...

Oui, tu peux

[stefjm]

Cette formule est valable pour des nombres. Point barre.

Toujours la fameuse hypothèse!
Ben c'est faux!
Pour X à peu près n'importe quoi, je peux définir l'exponentielle formelle.
Avec les réserves habituelles, je peux aussi définir le logarithme.
Cela marche avec l'exponentielle de matrice par exemple.

De la même façon, on ne prend pas le logarithme d'un vecteur ou d'une patate.
Le logarithme est défini comme fonction de R sur R (ou de C dans C). C'est tout. Faut pas se compliquer la vie.

J'aime bien!
Comme j'ai le droit de multiplier les patates et les carottes, je ne vois pas pourquoi je n'additionnerais pas des log de patates et des log de carottes...

Cordialement.

[stefjm]

Oui, tu peux

T'es constructif toi...