Mécanique du point (étude train sans locomotive)

[invitef01e558a]

Bonjour à tous,
J'ai un DM a rendre lundi et je bloque sur cet exercice, je n'ai absolument pas de piste.
J'espère que quelqu'un pourra m'apporter son aide!

Voici l'exercice:

Un train sans locomotive, de longueur L = 500m se déplace sur une voie ferrée, dont une partie est horizontale et l'autre inclinée d'un angle alpha avec la première.
Quand le train atteint la pente, il roule à une vitesse constante vo = 80 km/h.
Quel temps s'écoule alors entre le début de la montée et le moment où le train s'arrête, sachant qu'à cet instant la moitié de sa longueur est sur la pente? On négligera les frottements.
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[Eurole]

Bonjour à tous,
J'ai un DM a rendre lundi et je bloque sur cet exercice, je n'ai absolument pas de piste.
J'espère que quelqu'un pourra m'apporter son aide!

Voici l'exercice:

Un train sans locomotive, de longueur L = 500m se déplace sur une voie ferrée, dont une partie est horizontale et l'autre inclinée d'un angle alpha avec la première.
Quand le train atteint la pente, il roule à une vitesse constante vo = 80 km/h.
Quel temps s'écoule alors entre le début de la montée et le moment où le train s'arrête, sachant qu'à cet instant la moitié de sa longueur est sur la pente? On négligera les frottements.

Bonjour et bienvenue au forum.
Quelle est la difficulté ?
Peux-tu nous faire un dessin ?

.

[invite6dffde4c]

Bonjour et bienvenu au forum.
Imaginez qu'une longueur 'b' est déjà dans la pente. Cela veut dire que la fraction de masse du train qui produit une composante de freinage sera M.b / L. Cette force sera M.(b / L).g.sin(alpha).
Vous avez un objet de masse M dont la force varie avec la position du train.
Il faut que vous écriviez F= ma, en tenant compte que 'a' n'est pas constante et que vous intégriez l'équation différentielle.
Au revoir.

[invitef01e558a]

Désolé pour la qualité de l'image, mais je ne possède malheureusement pas de scanner!

LPFR je ne comprends pas trop ton explication, je n'ai jamais vu la notion de composante de freinage.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Eurole]

Désolé pour la qualité de l'image, mais je ne possède malheureusement pas de scanner!

LPFR je ne comprends pas trop ton explication, je n'ai jamais vu la notion de composante de freinage.

Rebonjour.
L'image est excellente. On peut lui ajouter des données (longueurs, hauteur finale...)
On peut constater l'égalité de l'énergie cinétique au début de la pente et de l'énergie potentielle de pesanteur à l'arrêt.
On peut en déduire algébriquement que la masse ne joue aucun rôle dans le processus, selon l'expérience de Galilée.
...
Je suis intéressé par la méthode de LPFR, que je ne verrai qu'a posteriori car je dois quitter l'ordinateur maintenant.
Bon dimanche.

.

[invitef01e558a]

Je ne connais malheureusement pas les méthodes que vous utilisez. Je n'ai fait que très peu de mécanique jusqu'à présent. Niveau 1ère année BTS (sanchant que l'on a pas fait grand chose cette année!).

[invite6dffde4c]

LPFR je ne comprends pas trop ton explication, je n'ai jamais vu la notion de composante de freinage.

Re.
Le poids du train dans la pente peut se décomposer en une force perpendiculaire aux rails et une force parallèle aux rails. Celle qui est parallèle est dirigée vers l'arrière du train et le freine.
A+

[invite6ef28e97]

Donc pas de frottements.

25 km par heure

une locomotive de 50 mètres de long

1 déplacement du début de la pente arrivant à la moitié de la locomotive donc:

25000 / 25 = 1000

1 heure = 3600 secondes

3600 / 1000 = 3.6

donc un temps de 3.6 secondes parcourus pour faire 25 mètre sur une vitesse de 25 Km/h.

[invitef01e558a]

Merci pour votre réponse, j'y avais également pensé, mais d'après moi l'exercice est plus compliqué. Je pense qu'il faut faire intervenir l'énergie cinétique, etc.

[invite6ef28e97]

Ah, il faut d'autres données donc!

[invite6dffde4c]

Je ne connais malheureusement pas les méthodes que vous utilisez. Je n'ai fait que très peu de mécanique jusqu'à présent. Niveau 1ère année BTS (sanchant que l'on a pas fait grand chose cette année!).

Bonjour.
Je suis surpris de cet exercice en BTS. Je pense qu'il est un peut trop compliqué et que la personne qui l'a posé s'est trompé.
En fait, le mouvement du train est sinusoïdal. La raison est que la force de recul est proportionnelle à la distance que le train a parcouru (e remontant la pente). C'est donc la même situation qu'une masse et un ressort.
Si on appelle 'x' la distance parcourue sur la pente, la force est:



La deuxième loi de Newton (F=ma):





avec

La solution est de la forme:



On dérive deux fois pour déterminer oméga, et une fois pour déterminer la constante A avec la vitesse initiale.

Si vous avez suivi jusqu'ici, vous pouvez le faire tout seul. Si non, c'est que la personne qui a donné l'exercice s'est trompé de niveau.
Au revoir.

[Eurole]

Bonjour.
Je suis surpris de cet exercice en BTS. Je pense qu'il est un peut trop compliqué et que la personne qui l'a posé s'est trompé.
En fait, le mouvement du train est sinusoïdal. La raison est que la force de recul est proportionnelle à la distance que le train a parcouru (e remontant la pente). C'est donc la même situation qu'une masse et un ressort.
Si on appelle 'x' la distance parcourue sur la pente, la force est:



La deuxième loi de Newton (F=ma):





avec

La solution est de la forme:



On dérive deux fois pour déterminer oméga, et une fois pour déterminer la constante A avec la vitesse initiale.

Si vous avez suivi jusqu'ici, vous pouvez le faire tout seul. Si non, c'est que la personne qui a donné l'exercice s'est trompé de niveau.
Au revoir.

Merci LPFR.
Bonjour à tous.
Puisque le thème est la mécanique du point, j'ai pensé à une solution dans laquelle on calculerait d'abord l'énergie potentielle de la moitié du train engagée sur la voie en son point du milieu.

Le résultat montre que le temps dépend de .

C'est logique:
- si = 0, le train continue à la même vitesse (première loi de Newton) pendant un temps infini.
- si = le train se heurte à un mur pendant un temps zéro.

??

[invite6dffde4c]

Merci LPFR.
Bonjour à tous.
Puisque le thème est la mécanique du point, j'ai pensé à une solution dans laquelle on calculerait d'abord l'énergie potentielle de la moitié du train engagée sur la voie en son point du milieu.

Le résultat montre que le temps dépend de .

C'est logique:
- si = 0, le train continue à la même vitesse (première loi de Newton) pendant un temps infini.
- si = le train se heurte à un mur pendant un temps zéro.

??

Bonjour Eurole.
Avec des simples raisonnements énergétiques, on peut trouver la position extrême du train, mais la question posée est le temps, et pour cela il faut passer soit par la position en fonction du temps (comme j'ai fait), soit par la vitesse en fonction de la position:
dx/dt = v(x)
dx/v(x) = dt
et intégrer.
La deuxième possibilité ne semble pas plus simple: on va trouver une intégrale qui donne un arcsinus.
Au revoir.

[invitef01e558a]

LPFR, merci pour votre réponse mais je ne penses pas quelle se soit trompée! Elle nous donne toujours des exercices aussi compliqué, où je n'y comprend rien!
Pourrait-tu me donner le détail de calcul, afin que j'essaye d'y comprendre quelque chose?

[invitef01e558a]

Soit m la masse du train.

Soit x la longueur de la partie du train dans la montée.

La composante du poids tangentielle à la montée de la partie du train dans la montée est : mg.sin(alpha).x/500
C'est elle qui freine le train (tout le train).

--> mg.sin(alpha).x/500 = -m.d²x/dt²

d²x/dt² + g.sin(alpha).x/500 = 0

x(t) = A.sin(racinecarrée(g.sin(alpha )/500).t) + B.cos(racinecarrée(g.sin(alpha )/500).t)

x(0) = 0 --> B = 0

x(t) = A.sin(racinecarrée(g.sin(alpha )/500).t)
dx/dt = A * racinecarrée(g.sin(alpha)/500) * cos(racinecarrée(g.sin(alpha)/500).t)

Or (dx/dt)(0) = 80/3,6

--> 80/3,6 = A * racinecarrée(g.sin(alpha)/500)
A = 80/(3,6*racinecarrée(g.sin(alpha)/500))
A = (80/3,6) * racinecarrée(500/(g.sin(alpha)))

x(t) = [(80/3,6) * racinecarrée(500/(g.sin(alpha)))] * sin(racinecarrée(g.sin(alpha)/500).t)

dx/dt = (80/3,6) * cos(racinecarrée(g.sin(alpha)/500).t)

Au moment où le train s'arrète, dx/dt = 0, c'est à l'instant t1 = tel que racinecarrée(g.sin(alpha)/500).t = Pi/2

--> racinecarrée(g.sin(alpha)/500).t1 = Pi/2

t1 = (Pi/2)*racinecarrée(500/(g.sin(alpha)))

Et on sait que x(t1) = 250 m --> [(80/3,6) * racinecarrée(500/(g.sin(alpha)))] = 250

Ce qui permet de trouver sin(alpha) = 0,402713...
et puis alpha = 23,75° (pas demandé)

et t1 = (Pi/2) * 250 * 3,6/80 = 17,7 s


Est-ce que cela vous parait juste??

[invite6dffde4c]

Re.
Oui.
Tout me semble bon (je n'ai pas vérifié les calculs numériques).
Les 23° semblent beaucoup trop pour être réalistes, mais ce n'est qu'un exercice.
Donc, je vois qu'elle ne s'était pas trompée, puis vous avez su utiliser les indications que je vous ai données.
A+