Bonjour à tous,
d'après l'équation de Poisson-Boltzmann nous avons :
Avec :
-: potentiel électrique
-
-
Ma question est simple : comment, mathématiquement, calculer la solution de cette équation ? En fait je ne comprends pas bien la définition mathématique du gradient...
Merci à vous
Bonjour,Envoyé par lecteur1001
Bonjour à tous,
d'après l'équation de Poisson-Boltzmann nous avons :
Avec :
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Ma question est simple : comment, mathématiquement, calculer la solution de cette équation ? En fait je ne comprends pas bien la définition mathématique du gradient...
Merci à vous
Dans ton équation ce n'est pas l'opérateur gradient mais le produit scalaire par lui-même cad l'opérateur Laplacien;
Pour résoudre cette équation tu effectues une transformée de Fourier des 2 membres. Tu résous le problème dans l'espace de Fourier et ensuite tu effectues une transformée de Fourier inverse qui te donnera le résultat.
Oui, effectivement c'est ce que j'ai remarqué en cherchant sur Wikipedia notamment...
Oula... C'est si difficile de la résoudre sans utiliser des transformées ?
J'ai plus l'habitude de travailler avec la transformée de Laplace (qui est à quelque chose près celle de Fourrier) mais je ne connais pas la transformée de Laplace d'un gradient. Pour une dérivée simple, je sais qu'il faut multiplier par p le signal. Mais un gradient est une dérivée pour chaque coordonnée dans l'espace c'est ça ?
De plus, je ne comprends pas à quoi correspond le "r" dans la formule de Poisson...
Je suis désolé de poser autant de questions, mais tout est confus dans ma tête... Je ne suis vraiment pas à l'aise avec ce genre d'opérateurs
Pour être à l'aise avec une nouvelle notion, c'est comme être à l'aise avec une personne que l'on vient de rencontrer : il faut apprendre à la connaître en passant du temps avec elle !
Je suis bien d'accord mais quand je n'ai aucune base sur cette notion... C'est difficile de progresser. Ce n'est pourtant pas faute d'essayer, mais dès qu'il s'agit de dérivée dans l'espace je m'y perds...
Alors il faut reprendre les choses à la base, ou du moins de là où tu comprends, et là tu pourras progresser.
C'est ce que j'ai dit plus haut. La seule chose dont je suis certain est que la transformée de Laplace de la dérivée d'un signal est p multipliée par la transformée du signal.
Là, le "r" dans l'équation de Poisson je ne le saisis pas trop... Est-ce que c'est une coordonnée dans l'espace ? Sûrement, mais laquelle ?
Si c'est bien une coordonnée dans l'espace, cela voudrait dire que le potentiel électrique ne varie que dans cette coordonnée ? Donc son gradient est en fait sa dérivée par rapport à r ?
Comme vous pouvez le constater, j'essaie d'émettre des hypothèses sans trop savoir si elles sont bonnes.
Pourrais-tu préciser ton cursus scalaire, cela devrait permettre que les uns et les autres de d'aider. Comme le dit vaincent, il faut reprendre les choses à la base ce qui veut dire identifier tes difficultés et les décomposer en éléments simples.
Voici quelques suggestions.
A- Apprendre ce que sont les opérateurs gradients, divergence, rotationnel et Laplacien.
B- Apprendre ce que qu'est la transformée de Fourier (C'est plus simple que la transformée de Laplace et en même les 2 se ressemblent beaucoup.
C- Raisonner Mathématiquement et interpréter physiquement les maths. Cela veut dire quoi?
En maths on écrira par exemple:
B (x) = dA(x)/dx
Aucune des grandeurs n' a de sens physiques. Par contre mathématiquement le nombre B(x) représente la pente de la courbe A(x) au point x.
Ceci peut se retrouver différemment en physique.
1- Par exemple A (x) peut être le diamètre au point x d'un tuyau circulaire au point x. Donc B(x) décrit comment varie le diamètre en déplaçant le long du tuyau.
2- Si x représente le temps et A la température d'un objet à la place de de dA(x)/dx on écrira dT(t)/dt.
3- Si A représente un déplacement et x est le temps au lieu d'écrire
dA/dx on écrira: dx(t)/dt. Dans ce cas là on note que x est une fonction et t la variable et que représente physiquement d(t)/dt?
En bref il faut penser mathématiquement et respecter des règles mathématiques et d'autre part penser physiquement pour bien comprendre le sens physiques des objets mathématiques.
D- Tu as des fonctions de plusieurs variables indépendantes (ici n)du style
B = F(x1, x2, ......xn)
Et cela est un nouveau chapitre mathématique de maths qu'il faut connaître pour aborder les opérateurs gradient, etc...
A noter que physiquement tu pourrais avoir une fonction F de la forme
h(x,t) = F (x,t)
qui peut représenter la hauteur d'eau au point x et à l'instant t autrement dit on a 2 variables indépendantes. Pour enlever le sens physique on aurait écrit:
h(x1,x2) = F(x1,x2)
Alors il faut vérifier si ces hypothèses s'avèrent juste en cherchant dans des livres , sur internet etc... . En revenant à la base, je ne parlais pas de la transformée de Fourier ou de Laplace, mais de l'opérateur gradient.
L'opérateur gradient est simplement un vecteur dont les composantes sont les dérivées(partielles) selon chaque direction de l'espace, selon un choix de coordonnées fait au préalable. Si on choisit les coordonnées catésiennes (x,y,z) alors le gradient sera :
Puisque la dérivée représente un accroissement, un taux de variation, alors ce vecteur, une fois appliqué à une fonction f(x,y,z) (champs scalaire), nous dit quel est l'acroissement de f selon les 3 directions de l'espace en un point donné. Par exemple si f représente l'altitude d'une région montagneuse, alors le gradient de cette fonction nous dira quel sera la pente en un point donnée de cette région. La norme du vecteur
Losque l'on choisit d'être en coordonnées sphériques
Le r représente la coordonnée radiale donc, le rayon si tu préfères, ou encore la distance entre l'origine des coordonnées et un point quelconque de l'espace. Cela signifie que le problème est à symétrie sphérique et que les fonctions distribution de charges
Bon c'est un début d'explication, mais il va en effet falloir travailler de manière progressive afin d'éclaircir ces différentes notions.
Bonjour a tous,
Malheureusement ils ne disent pas comment arriver a ces formules. Je parle du gradient en coordonnées sphériques et cylindriques...Losque l'on choisit d'être en coordonnées sphériques
Si quelqu'un connait un autre site qui explique comment y arriver, ca m'aiderait énormément!
A bientot.
Salut, j'ai essayé de le faire par moi-même de la manière suivante, et j'apprécierais que quelqu'un le complète si possible (pour la fin).
On commence par écrire nabla en coordonnées cartésiennes :
Ensuite on exprimer les vecteurs unitaires des coordonnées cartésiennes en fonctions de ceux des coordonnées cylindriques :
Ou :
On reporte ces deux dernières expressions dans celle de nabla :
Or, nous pouvons encore exploiter les relations suivantes :
Et en utilisant les formules suivantes :
On obtient le résultat recherché. D'après ce site : http://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn%C3%A9es_polaires, on peut retrouver ces formules à partir de la jacobienne mais je ne vois pas comment pour l'instant (si quelqu'un peut m'éclairer...)
De plus, je viens de trouver un site qui donne une autre démonstration de ce résultat : http://www.sciences.ch/htmlfr/algebr...hp#syscoordcyl (dans la partie 9).
Je n'ai pas le courage de me lancer dans le calcul en coordonnées sphériques maintenant...
Merci Dark Malak!
De rien, ma démonstration est incomplète !
