chute bille

[invite5619f253]

bonsoir, je fais un exercice d'entrainement pour mon bac et j'aimerai un peu d'aide merci


une bille de masse m=4,0g et de volume V=1,0cm3 lachée sans vitesse initiale dans une eprouvette remplie d'huile tombe verticalement. On admet qu'elle est soumise de la part du liquide à une force de frottement proportionnelle à la vitesse f=-kv

en appliquant la deuxième loi de Newton à la bille, établir l'équation différentielle:

je procède de la sorte:

la bille est soumise
-à son poids: P=mg=4,0*10^-3*9,8=3,9*10^-2 N
-à la poussée d'archimède: pi=-pfluide*v*g*K= (-900*(1*10^-6)*9,8*(3,810^-2))=-3,3*10^-4 N
-à la force de frottement: f=k*v^n je ne sais pas à quoi correspond n dans mon cours c'est écrit ' exposant dont la valeur varie selon le problème' à quoi cela correspond ici ?

pour l'équation j'ai fait: dv/dt= g (1-mfluide/m)-K/m v^n
mais je n'en sais pas plus !

2)mettre cette équation différentielle sous la forme dvz/dt=A-Bvz(t)
calculer A et B
je n'ai su calculer que A et B: A=g*(((1-(mfluide/m)))=9,8(((1-900/4*10^-3)))=-2,20*10^6

B=K/m= (3,8*10^-2)/(4*10^-3)=9,5

ces données sont-elles justes ? merci

3) calculer la vitesse limite vL atteinte par la balle
je sais que la vitesse c'est v=d/t puis après ?


merci pour votre aide j'espère !
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[mc222]

Salut, j'avais déja traité le sujet dans un autre topic, (j'étais à coté de la plaque faut croire ) en tout cas, il y a la dedant, tout ce qu'il faut pour comprendre je pense, meme si le fait d'utiliser des termes en plus complique un peu la tache (j'ai développé ce que tu appel k ) enfin, l'essentiel est là.

Pour ce qui est de la vitesse limite, nulle besoin d'équation différentielle, si vitesse constante, accélération nulle, somme des force nulle....

Salut, je vais te donner la solution:

La bille est soumise à 3 forces différentes:

Le poids : (s=solide)

La poussée d'Archimède : (f=fluide)

Les frottements visqueux : (r : rayon de la bille, mu, visosité cinématique du fluide, v, vitesse de la bille )

On dit que la somme des force vaut m.a







L'accélération c'est la dérivée de la vitesse par le temps:



L'accélération donne bien la pente de la vitesse en fonction du temps, on remonte donc à la vitesse en résolvant l'équation différentielle suivante:



Pour la résoudre, on néglige dans un premier temps le second membre, g(1-rhof/rhos) on s'en occupera apres, pour le moment:


(pour simplifier l'écriture, on nommera le lambda 9mu/2....)

On met donc tout les v et dv ensemble:



On intègre l'expression:


[TEX]\frac{1}{v}dv=-\lambda.


On obtient:

(C= constante d'intégration)

et donc:



(k est une autre constante : k= e^C)

On a une partie de l'équation solution, il manque la partit qui tient compte du second membre !

Je rappel l'équation (problème) entière:




on considère maintenant que la dérivée est nulle:








C'est ce qu'on appelle une solution particulière de l'équation différentielle, elle ne contient pas de variable, dans notre cas, c'est la vitesse limite, c'est l'asymptote horizontale vers laquelle l'éxponentielle inverse va tendre.

On ajoute tout simplement cette solution particulière à la solution générale trouvée précédement:



il ne reste que la valeur de k à lever, on la trouve pas les condition initale, elle sert à caller la courbe sur le graphique en gros.

Dans notre cas, la bille n'a pas vitesse initale, donc pour t=0 , v=0, la valeur de k qu'on va trouver va servir à faire passer notre courbe par l'origine:

On remplace donc v et t par 0:



rappel : e^0 = 1 (n'est pas égale à 0 !)



on a donc trouvé la valeur de k, ya plus qu'à la remettre dans l'équation:



On peut évidement factoriser l'expression par "k":



Enfin, il ne reste qu'a remplacer lambda par sa valeur:





On peut éventuellement distribuer le rho s:



On tombe donc sur un expression plus jolie au regard:



Je récapitule:

g: accélération gravitationnelle : 9.81m/s²
r : rayon de bille en metre (pas en cm ou mm)
delta rho : différence de masse volumique en kg/m^3 pas kg/L
mu : viscosité dynamique du fluide en Pascal.s
t : temps de chute en seconde
v(t) vitesse à l'instant t en m/s

[invite5619f253]

j'avoue que je suis un peu embrouillée, quelle est donc mon équation différentielle, je n'ai pas trop abordée ça. Et la vitesse limite vL ?
merci

[Rhodes77]

Bonjour,

On vous dit que les frottements s'écrivent f=-kv. C'est donc que pour ce problème, n=1.
L'équation différentielle découle du principe fondamental de la dynamique.
Lorsque vL est atteinte, v=vL=cste, donc dv/dt =0. Autrement dit, chercher la vitesse limite, c'est chercher la vitesse constante acquise dans le mouvement, càd la vitesse V qui vérifie dV/dt=0.

Pour la mise en équation, inspirez-vous du post supérieur.
Bon courage

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5619f253]

ok alors comme équation ça fait:

vecteur vitesse de G s'exprime vG=vgk et le vecteur accélération aG=aGk=(dvG/dt)*k
P+FA+f=roV*dv/dt K soit roVg-roVg-bv^nG=roVdvG/dt
--->dvG/dt=g[1-rof/ros]-(b/rosV)*v^nG
donc de la forme dvG/dt=A-Bv^nG avec A et B des constantes positives
c'est ça ?

mon A et mon B que j'ai calculé dans l'énoncé sont-ils justes ?
je peux mettre pour vL l'accélération de G est aG=dvg/dt donc aG=A-Bv^nG= A-Bv^nlim=0 donc v^nlim=A/B ??? c'est bon ?

j'ai aussi une dernière question qui me pose problème:
on souhaite résoudre cette équation différentielle par la méthode d'euler.
on choisit deltat=0,020 s pour le pas de calcul. calculer les 2 premières valeurs non nulles de la vitesse. merci je ne comprends pas trop;

[invite5619f253]

alors vous pouvez me dire svp, répondre à mon poste ci-dessus merci !