L'effet tunnel : calculs et réalité physique

[stefjm]

Je ne comprends pas dans ce cas pourquoi la densité de probabilité de présence de la particule suit une décroissance exponentielle entre 0 et a.

J'imagine que cela dépend de l'ordre de grandeur de D devant C.
Si D est petit, le terme prépondérant est celui pondéré par C?
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[Armen92]

Effectivement, j'avais raté les bornes.
1)Il y a donc une autre raison pour que Dark (ou son cours) veuille que D soit nulle?

Phrase bizarre que je n'ai pas comprise tout de suite. (Je ne voyais pas pourquoi on voulait raccorder une fonction et sa dérivée.)

Ok. On garde donc la liberté de régler D pour raccorder.

2) Dans ce cas, pourquoi Dark voulait-il D nulle?

1) La constante n'est pas nulle, sinon pas de raccord possible. La fonction propre et sa dérivée sont continues partout, tant que le potentiel a au plus des sauts finis, c'est l'équation aux fonctions propres qui l'exige.
2) Demandez lui...

[DarK MaLaK]

J'imagine que cela dépend de l'ordre de grandeur de D devant C.
Si D est petit, le terme prépondérant est celui pondéré par C?

Oui je pense que c'est ça, mais comment le démontrer ??

[DarK MaLaK]

J'imagine que cela dépend de l'ordre de grandeur de D devant C.
Si D est petit, le terme prépondérant est celui pondéré par C?

Oui je pense que c'est ça, mais comment le démontrer ??

[Armen92]

Je ne comprends pas dans ce cas pourquoi la densité de probabilité de présence de la particule suit une décroissance exponentielle entre 0 et a.

A l'intérieur de la barrière, et pour , la densité est un morceau de cosinus hyperbolique (elle est symétrique par rapport au milieu de la barrière).

[DarK MaLaK]

Bonjour, hier mon internet a eu des problèmes et je m'excuse pour avoir envoyé deux messages identiques. Mais je voulais en fait poser une autre question : qu'appelle-t-on le raccord de la fonction propre et de sa dérivée ?

[Armen92]

Bonjour, hier mon internet a eu des problèmes et je m'excuse pour avoir envoyé deux messages identiques. Mais je voulais en fait poser une autre question : qu'appelle-t-on le raccord de la fonction propre et de sa dérivée ?

Voir ma réponse d'hier soir (message 32).

[tempsreel1]

slt

je pense qu'aux points d'ascisse 0 et a la fct d'onde et sa dérivée doivent etre des fonctions continues donc pour les regions 1 et 2 , valeurs et derivées sont identiques en 0 , idem pour les regions 2 et 3 en a

Il ne peut y avoir de discontinuité à ces endroits (d'où le maintien de D non nul)

[DarK MaLaK]

1) La constante n'est pas nulle, sinon pas de raccord possible. La fonction propre et sa dérivée sont continues partout, tant que le potentiel a au plus des sauts finis, c'est l'équation aux fonctions propres qui l'exige.

C'est la notion de raccord que je ne comprends pas, pourquoi vouloir "raccorder" la fonction et sa dérivée ? Et pourquoi est-ce impossible sans D ? Y a-t-il donc une approximation dans mon cours quand on dit qu'entre 0 et a varie proportionnellement à ?


Edit : Le raccord, c'est juste les équations de continuité ? (on a gardé D pour le calcul, c'est après pour tracer la courbe de qu'il semble avoir disparu)

[Armen92]

C'est la notion de raccord que je ne comprends pas, pourquoi vouloir "raccorder" la fonction et sa dérivée ? Et pourquoi est-ce impossible sans D ? Y a-t-il donc une approximation dans mon cours quand on dit qu'entre 0 et a varie proportionnellement à ?


Edit : Le raccord, c'est juste les équations de continuité ? (on a gardé D pour le calcul, c'est après pour tracer la courbe de qu'il semble avoir disparu)

1) L'équation aux valeurs propres est du type Sturm - Liouville. De ce fait, toutes ses solutions sont continues et à dérivée première continue (tant que le potentiel a au plus des discontinuités finies).
2) Le potentiel étant constant par morceaux, on peut la résoudre région par région, d'où les différentes expressions de avec des constantes à déterminer.
3) On écrit , , etc, ce qui fournit un système linéaire pour les constantes à trouver, que l'on résout d'où la solution partout.

Ca, c'est le B.A. BA, qui doit être dans votre cours. Si l'on vous dit que entre et , , c'est faux. Physiquement, cela n'est vrai qu'approximativement si , et à très basse énergie , et doit se vérifier analytiquement.

PS : Essayez de satisfaire ce système en posant d'emblée D=0, vous verrez que c'est impossible !

[DarK MaLaK]

Ca, c'est le B.A. BA, qui doit être dans votre cours. Si l'on vous dit que entre et , , c'est faux. Physiquement, cela n'est vrai qu'approximativement si , et à très basse énergie , et doit se vérifier analytiquement.

Oui les points 1 à 3 sont dans mon cours. Par contre, j'ai oublié un 2 dans l'exponentielle en recopiant : c'est que décrit la fonction dans la région II. Et l'étude est bien réalisée pour (sinon les solutions réelles et complexes s'inverseraient je pense). Mais je ne vois pas ce que ça change, cela a-t-il un rapport avec l'approximation de la barrière épaisse ?

[Armen92]

Oui les points 1 à 3 sont dans mon cours.
1)Par contre, j'ai oublié un 2 dans l'exponentielle en recopiant : c'est que décrit la fonction dans la région II. Et l'étude est bien réalisée pour (sinon les solutions réelles et complexes s'inverseraient je pense).
2)Mais je ne vois pas ce que ça change, cela a-t-il un rapport avec l'approximation de la barrière épaisse ?

1) Peu importe le facteur , selon que l'on parle de ou de la densité .
2) Ce que cela change ? Tout.
Je répète (dernière fois !) qu'aucune raison physique n'impose d'emblée , et d'ailleurs l'algèbre se charge de le confimer. Si on fait , toutes les autres constantes sont nulles... Il est certain que est une solution, mais bon, elle manque d'intérêt.
Comme je vous l'ai dit plus haut, la décroissance exponentielle ne vaut que pour . C'est donc vrai seulement pour une barrière d'épaisseur infinie, ce qui est physiquement évident.

[DarK MaLaK]

Comme je vous l'ai dit plus haut, la décroissance exponentielle ne vaut que pour . C'est donc vrai seulement pour une barrière d'épaisseur infinie, ce qui est physiquement évident.

Je dois mal m'exprimer depuis quelques messages mais c'est justement l'objet de ma question : je ne vois pas d'où vient cette décroissance exponentielle dans la région II (où 0<x<a) si la constante D est non nulle. Ou plutôt, où est passé le terme qui lui est associé. Je ne cherche pas absolument à ce que D soit nulle mais j'aurais pensé que ça suivait un genre de cosinus hyperbolique et pas une exponentielle uniquement décroissante. En faisant le calcul, je trouve :



Et les trois termes en D semblent avoir disparu quand on trace la courbe...

[Armen92]

Je dois mal m'exprimer depuis quelques messages mais c'est justement l'objet de ma question :
1) je ne vois pas d'où vient cette décroissance exponentielle dans la région II (où 0<x<a) si la constante D est non nulle.
2) Ou plutôt, où est passé le terme qui lui est associé. Je ne cherche pas absolument à ce que D soit nulle mais j'aurais pensé que ça suivait un genre de cosinus hyperbolique et pas une exponentielle uniquement décroissante. En faisant le calcul, je trouve :



Et les trois termes en D semblent avoir disparu quand on trace la courbe...

Dans la région , est une combinaison de DEUX exponentielles , chacune avec une constante de proportionnalité et n'a donc pas la "décroissance exponentielle" que vous affirmez une fois de plus. Dans vos notations, .
Tracez en faisant varier l'énergie. A très basse énergie, l'exponentielle croissante est à peine visible (c'est comme si la barrière était très haute et de grande épaisseur), mais doit réapparaître quand s'approche de .

PS : je réalise que j'ai écrit une bêtise hier soir sur la symétrie de la densité par rapport au milieu de la barrière... Mille excuses

[DarK MaLaK]

Ok merci Armen92, je vais essayer différentes valeurs de K pour voir ce que ça donne. Une autre question : peut-on connaître le temps mis par la particule pour traverser la barrière de potentiel ? Comme j'ai entendu dire que l'effet tunnel a des applications dans la nanoélectronique et qu'il crée des fuites dans des matériaux semi-conducteurs dont l'épaisseur de grille est nanométrique, je me suis dit que la connaissance du temps mis par la particule pour traverser la barrière avait peut-être une importance.

[Armen92]

... Une autre question : peut-on connaître le temps mis par la particule pour traverser la barrière de potentiel ?

Oui, on peut en trouver une estimation, à condition de raisonner avec des paquets d'ondes formés en combinaison linéaire des états stationnaires que vous avez obtenus.
Je devine que si le paquet d'ondes a une vitesse de groupe , le temps de traversée de la barrière est de l'ordre de (je ne vois pas ce que cela pourrait être d'autre...)