L'effet tunnel : calculs et réalité physique

[DarK MaLaK]

Bonjour, dans un cours de physique quantique, on étudie une particule qui arrive de l'infini vers une barrière de potentiel de largeur a et de hauteur , dans un cas simplifié à une dimension qu'on appelle x.

La barrière de potentiel douce est idéalisée par une barrière abrupte : pourquoi ? Cette approximation est-elle nécessaire au calcul ? Peut-on connaître l'erreur que l'on commet sur le résultat ?

En fait, si j'ai bien compris, le but est de résoudre l'équation de Schrödinger dans trois zones de potentiels différents afin d'éviter de tomber sur une équation du second degré à coefficients non constants. Est-ce la seule approche imaginable pour résoudre ce problème ?

Après résolution, on obtient trois solutions :



n'a pas de signification physique dans ce problème donc on le supprime. Et je vois aussi qu'on supprime D mais je ne comprends pas bien pourquoi.

Ensuite on écrit la continuité de la fonction d'onde ainsi que de sa dérivée en 0 et en a pour obtenir un système d'équations et pouvoir calculer la transmission T. Après un peu de sueur, j'ai trouvé le résultat annoncé par le cours, à savoir :



Cette définition de T me paraît logique mais comment l'aurait-on définie si on avait eu E et F dans la dernière équation ?

J'ai voulu connaître la valeur de T en et j'aimerais savoir si le résultat que j'ai trouvé est le bon :



Par la suite, j'ai vu qu'on avait posé A=1 et que les constantes A,B,C,D et E qui semblaient être des nombres complexes se sont transformées en nombres réels : je n'ai pas bien compris comment c'était possible.

Enfin, lorsqu'on trace la densité de probabilité de présence de la fonction d'onde en fonction de x, on remarque que la particule ressent la barrière et l'explication serait d'assimiler la particule à un paquet d'onde ? Comme ce point n'est pas approfondi, j'aimerais savoir si quelqu'un a une explication un peu plus détaillée.

Je crois que c'est tout pour l'effet tunnel mais je viens de me rappeler une autre question qui touche aussi à la physique quantique : je n'arrive pas à démontrer que si la fonction représentant le potentiel est paire, alors la fonction d'onde est soit paire, soit impaire (mais pas quelconque).

Merci d'avance pour vos réponses.
-----

[stefjm]

n'a pas de signification physique dans ce problème donc on le supprime. Et je vois aussi qu'on supprime mais je ne comprends pas bien pourquoi.

Bonjour,
Une réponse d'automaticien...

La réponse D déplait aux physiciens car elle est divergente; donc réputée non physique. Cela arrive chaque fois qu'on a deux pôles réels symétriques par rapport à l'axe imaginaire. L'un est stable (convergence de la réponse temporelle), l'autre est instable.
Dans ce dernier cas, on annule la réponse divergente avec le paramètre D.

Pour le cas de F, je ne vois pas en quoi serait moins physique que ? Il y a deux racines de -1, particulariser i ou -i est arbitraire. (Confirmation ou infirmation souhaitable!)
Cela correspond à la réponse d'un système ayant deux pôles imaginaires purs conjugués, donc réponse sinusoïdale. Je ne comprend pas trop la suppression d'un des deux pôles complexes. (Je vais peut-être enfin comprendre la MQ grâce aux explications qui vont suivre... )
Cordialement.

[Deedee81]

Salut,

Quelques pistes.

La barrière de potentiel douce est idéalisée par une barrière abrupte : pourquoi ? Cette approximation est-elle nécessaire au calcul ? Peut-on connaître l'erreur que l'on commet sur le résultat ?

C'est juste une approximation pour simplifier les calculs. Tu peux t'amuser à faire des calculs plus réalistes

Est-ce la seule approche imaginable pour résoudre ce problème ?

Non, mais on doit toujours faire appel à l'une autre l'autre approximation (sinon les calculs ne sont pas solubles analytiquement). Par exemple, par la théorie des perturbations ou des calculs numériques (dans un bouquin j'ai l'évolution de l'amplitude de la particule au cours du temps pour une particule arrivant comme un petit paquet d'onde, mais le résultat provient d'un calcul sur ordinateur).

Et je vois aussi qu'on supprime D mais je ne comprends pas bien pourquoi.

Tiens, en effet, ça m'étonne. A priori je ne vois pas pourquoi. Il pourrait y avoir réflexion sur la "fin" de la barrière. On a bien ça en optique ! Hum.... Je dois avoir ça aussi des mes bouquins malheureusement je ne les ai pas sous la main.

Cette définition de T me paraît logique mais comment l'aurait-on définie si on avait eu E et F dans la dernière équation ?

Le F n'a aucune chance d'apparaitre puisque cela représente une onde venant de la droite (raison pour laquelle on pose F=0 et non parce que "ce n'est pas physique", il y a un i en exposant, c'est donc une solution valide mais simplement ne correspondant pas au problème étudié qui est celui de la transmission).

Le résultat me semble plausible mais je laisse de plus courageux que moi vérifier (ou si, eux, ont leur bouquin sous la main ).

Par la suite, j'ai vu qu'on avait posé A=1

Ben oui, puisqu'on parle d'une onde venant vers la gauche qu'on normalise par commodité en posant arbitrairement A=1.

[DarK MaLaK]

Le F n'a aucune chance d'apparaitre puisque cela représente une onde venant de la droite (raison pour laquelle on pose F=0 et non parce que "ce n'est pas physique", il y a un i en exposant, c'est donc une solution valide mais simplement ne correspondant pas au problème étudié qui est celui de la transmission).

Le résultat me semble plausible mais je laisse de plus courageux que moi vérifier (ou si, eux, ont leur bouquin sous la main ).

Oui ça a l'air tout à fait en accord avec mon cours qui dit que cela représente une onde plane venant de la région III et qui se propage vers les x<0 et que ce n'est pas une question de convergence car les ondes sont sinusoïdales (la question sur la définition de T était plus générale, je ne suis pas expert en physique quantique et j'imaginais que dans une problème plus complexe, on aurait pu avoir besoin de E et F pour définir T).

Bonjour,
Une réponse d'automaticien...

La réponse D déplait aux physiciens car elle est divergente; donc réputée non physique. Cela arrive chaque fois qu'on a deux pôles réels symétriques par rapport à l'axe imaginaire. L'un est stable (convergence de la réponse temporelle), l'autre est instable.
Dans ce dernier cas, on annule la réponse divergente avec le paramètre D.
Cordialement.

Je suis d'accord en général mais comme c'est dans la zone II où x ne tend jamais vers l'infini, ça m'étonnait. Le prof l'a sûrement expliqué mais tout ce que j'ai noté est : a une amplitude décroissante (onde évanescente) => C l'emportera sur D.

Ben oui, puisqu'on parle d'une onde venant vers la gauche qu'on normalise par commodité en posant arbitrairement A=1.

Ah ce n'est donc pas la normalisation habituelle en fait ? Avec le produit scalaire ?



Je ne suis pas certain d'obtenir le même résultat avec ce calcul...

[A voir en vidéo sur Futura]

[ordage]

Bonjour, dans un cours de physique quantique, on étudie une particule qui arrive de l'infini vers une barrière de potentiel de largeur a et de hauteur , dans un cas simplifié à une dimension qu'on appelle x.

La barrière de potentiel douce est idéalisée par une barrière abrupte : pourquoi ? Cette approximation est-elle nécessaire au calcul ? Peut-on connaître l'erreur que l'on commet sur le résultat ?

En fait, si j'ai bien compris, le but est de résoudre l'équation de Schrödinger dans trois zones de potentiels différents afin d'éviter de tomber sur une équation du second degré à coefficients non constants. Est-ce la seule approche imaginable pour résoudre ce problème ?

Après résolution, on obtient trois solutions :



n'a pas de signification physique dans ce problème donc on le supprime. Et je vois aussi qu'on supprime D mais je ne comprends pas bien pourquoi.

Ensuite on écrit la continuité de la fonction d'onde ainsi que de sa dérivée en 0 et en a pour obtenir un système d'équations et pouvoir calculer la transmission T. Après un peu de sueur, j'ai trouvé le résultat annoncé par le cours, à savoir :



Cette définition de T me paraît logique mais comment l'aurait-on définie si on avait eu E et F dans la dernière équation ?

J'ai voulu connaître la valeur de T en et j'aimerais savoir si le résultat que j'ai trouvé est le bon :



Par la suite, j'ai vu qu'on avait posé A=1 et que les constantes A,B,C,D et E qui semblaient être des nombres complexes se sont transformées en nombres réels : je n'ai pas bien compris comment c'était possible.

Enfin, lorsqu'on trace la densité de probabilité de présence de la fonction d'onde en fonction de x, on remarque que la particule ressent la barrière et l'explication serait d'assimiler la particule à un paquet d'onde ? Comme ce point n'est pas approfondi, j'aimerais savoir si quelqu'un a une explication un peu plus détaillée.

Je crois que c'est tout pour l'effet tunnel mais je viens de me rappeler une autre question qui touche aussi à la physique quantique : je n'arrive pas à démontrer que si la fonction représentant le potentiel est paire, alors la fonction d'onde est soit paire, soit impaire (mais pas quelconque).

Merci d'avance pour vos réponses.

Bonjour

Ce que tu expose correspond au paradoxe de Klein dont il y a une description assez intéressante dans le cas des particules de spin 0 en:

http://www.phys.ualberta.ca/~gingric...ml/node35.html

Cordialement

[Deedee81]

Ah ce n'est donc pas la normalisation habituelle en fait ? Avec le produit scalaire ?

Si, mais tu peux toujours choisir un coefficient multiplicatif, même complexe, global. Au moins pour te faciliter la vie. L'équation de Schrödinger est invariante en multipliant Psi par une constante (elle est homogène en Psi) et tu peux définir ta normalisation comme "A=1 paquet de particules par seconde", par exemple.

Si tu fais le calcul avec A différent, tu auras, des B, C,... différents, mais les coefficients de réflexion, transmission,... seront identiques.

Ordage,

Ah tiens, sympa ce lien, merci.

Mais tu es sur que c'est ça que soulevait Malak ?

(en tout cas, ça peut lui être très utile malgré tout)

[invite1c0eeca8]

ok

j'appuie l'explication de stepjm pour le coeff D

En ce qui concerne le paquet d'onde il est nécessaire le le substituer à l'onde plane car cette dernière n'est pas normalisable ( de carré sommable)

Si E = V0 pour moi T = 1 (mais je peux me tromper)

[DarK MaLaK]

Merci pour le lien ordage mais je ne crois pas que ce soit exactement le même problème car je vois qu'il fait intervenir le temps que nous n'avons pas encore inclus dans nos équations.

ok

j'appuie l'explication de stepjm pour le coeff D

En ce qui concerne le paquet d'onde il est nécessaire le le substituer à l'onde plane car cette dernière n'est pas normalisable ( de carré sommable)

Si E = V0 pour moi T = 1 (mais je peux me tromper)

Aurais-tu une écriture mathématique du paquet d'onde pour que je comprenne pourquoi il est de carré sommable ? Pour T=1, c'est vrai en physique classique mais je pense que tu te trompes car j'ai une courbe dans mon cours qui montre clairement qu'en ce point T est compris entre 0 et 1.

[Deedee81]

j'appuie l'explication de stepjm pour le coeff D

Tilt ! Je viens de comprendre l'explication de Stef ! Je n'avais pas bien fait attention.

Suffit d'imaginer une barrière très large (voire un échelon) pour voir que cette solution pose forcément problème.

Et donc je suis d'accord aussi.

Merci,

[DarK MaLaK]

Moi par contre je n'ai pas compris parfaitement car j'ai un peu oublié mon cours sur la stabilité des systèmes. Est-ce que quelqu'un peut détailler ? Là ce que je comprends, c'est que le D disparaît quand la barrière s'élargit (quand a grandit). Or dans mon cours, il n'y aucune différence, il disparaît quelque soit la valeur de a. (J'ai la courbe de en fonction de x : c'est une sinusoïde jusqu'à 0, puis décroissance exponentielle entre 0 et a, puis égale à T ensuite).

[invite1c0eeca8]

sur internet tu trouves que ça

tape "paquet d'onde de carré sommable"

bon courage

[stefjm]

Avec les mains, je suis un peu loin de mon domaine de prédilection.

Si D n'est pas nul, cela signifie que l'amplitude de l'onde augmente en fonction de x, ce qui n'est pas simple à expliquer. Imposer D=0 revient à ne garder que les solutions qui décrivent une onde évanescente.

(Dommage que Guerom00 ne traine plus par ici.)

[DarK MaLaK]

Ok mais comment on peut être sûr que l'amplitude de l'onde ne va pas augmenter, ne serait-ce que sur la courte distance a ? L'expérience montre que ça n'arrive jamais ? Après tout, l'effet tunnel n'est pas intuitif et je crois qu'avant d'avoir les outils pour faire le calcul personne ne l'avait imaginé...

[Deedee81]

Ok mais comment on peut être sûr que l'amplitude de l'onde ne va pas augmenter, ne serait-ce que sur la courte distance a ?

Ah que bonne question !

Je vais regarder dans mes bouquins ce soir si j'y pense.

Sinon, en attendant, une possibilité est de faire le calcul sans enlever le terme et de vérifier que D=0.

[ordage]

Ordage,

Ah tiens, sympa ce lien, merci.

Mais tu es sur que c'est ça que soulevait Malak ?

(en tout cas, ça peut lui être très utile malgré tout)

Salut

C'est une illustration de l'effet tunnel, puisqu'on y montre que, sous certaines hypothèses (potentiel fort) , une particule d'énergie E inférieure à une barrière de potentiel V (E < V) a une probabilité de la traverser.
Ceci est donné en termes de fonction d'onde en mécanique quantique, ce qui se traduit par une transmission partielle T et une réflexion R de la fonction d'onde avec R > 1, T < 0 et R+T =1.
Voir l'article pour l'explication de ces valeurs qui peuvent surprendre.

La solution étant stationnaire la présence du temps n'est là que pour être conforme aux équations.

Le phénomène est décrit en détail et est bien expliqué dans l'article cité en référence.
On trouve une traduction de cet article en:

http://www-cosmosaf.iap.fr/Paradoxe_de_klein.pdf

En ce qui concerne le caractère physique de l'effet tunnel, il est utilisé dans de nombreux équipements (semi-conducteurs par exemple) et le soleil lui doit une bonne partie de ses réactions de fusion (voir pic de Gamow).

Cordialement.

[invite1c0eeca8]

en fait, dans mon livre, pour un echelon de potentiel D = 0 car en x = infini, la solution ( qui est réelle ) doit rester bornée

En revanche pour une barriere de potentiel D n'est pas obligatoirement nul mais les conditions de raccordement en x = 0 et x = a permettent de déterminer C et D en fct de E

cordialement

[DarK MaLaK]

en fait, dans mon livre, pour un echelon de potentiel D = 0 car en x = infini, la solution ( qui est réelle ) doit rester bornée

En revanche pour une barriere de potentiel D n'est pas obligatoirement nul mais les conditions de raccordement en x = 0 et x = a permettent de déterminer C et D en fct de E

cordialement

Ok merci mais quelle est l'utilité d'exprimer D en fonction de E ? Je trouve les résultats suivants :



Je ne vois pas ce que je peux en conclure, sur le fait que la moitié de la solution disparaisse ou bien soit très faible devant l'autre.

[invite1c0eeca8]

tu dois exprimer A et B en fct de C et D qui eux memes s'expriment en fct de E
puis tu calcules le coef T = (E/A)^2

[DarK MaLaK]

Ah mais ça je l'ai déjà fait mais sans exprimer chaque variable en fonction de la précédente, j'ai utilisé le pivot de Gauss en écrivant mon système sous forme matricielle. J'ai donc trouvé T mais je ne vois pas où tu veux en venir. Une fois que j'ai T, que puis-je conclure sur D ??

[invite1c0eeca8]

le but n'etait il pas de calculer T ?
pour D , on s'en moque, il désigne la possibilité d'une onde se propageant vers les x positifs dans la barrière j'imagine

[DarK MaLaK]

Non le but n'était pas de calculer T vu que j'y suis parvenu (enfin vu la taille de mon calcul, ça m'étonnerait que je sois tombé sur le bon résultat par chance). C'était plus de répondre aux questions que j'ai posées dans mon premier message, afin de bien faire le lien entre les calculs et la réalité.

En gros, je cherchais les réponses aux questions suivantes dont certaines ont déjà été apportées.

Et je vois aussi qu'on supprime D mais je ne comprends pas bien pourquoi.

Cette définition de T me paraît logique mais comment l'aurait-on définie si on avait eu E et F dans la dernière équation ?

J'ai voulu connaître la valeur de T en et j'aimerais savoir si le résultat que j'ai trouvé est le bon :



Par la suite, j'ai vu qu'on avait posé A=1 et que les constantes A,B,C,D et E qui semblaient être des nombres complexes se sont transformées en nombres réels : je n'ai pas bien compris comment c'était possible.

Enfin, lorsqu'on trace la densité de probabilité de présence de la fonction d'onde en fonction de x, on remarque que la particule ressent la barrière et l'explication serait d'assimiler la particule à un paquet d'onde ? Comme ce point n'est pas approfondi, j'aimerais savoir si quelqu'un a une explication un peu plus détaillée.

Démontrer que si la fonction représentant le potentiel est paire, alors la fonction d'onde est soit paire, soit impaire (mais pas quelconque).

[invite1c0eeca8]

on ne supprime pas D. c'est le coeff de la fct d'onde associée à la particule ds la region 2 ds le sens des x croissants

F = 0 donc la question ne se pose pas

si e = v alors l'éq de schrodinger donne d²fi/dx² = 0 ds la région 2 à toi d'interpréter

pour le reste , voir les collègues

@+

[DarK MaLaK]

Ok merci tempsreel1, je n'avais pas pensé à refaire le calcul depuis le début pour car c'est un peu long alors qu'appliquer ma formule pour me paraissait bien plus simple (j'avais utilisé le fait que sh²(Ka) est équivalent à (Ka)² en 0)




(Je n'ai pas divisé par 0, c'est comme un calcul de limite là)

Mais ta remarque m'a permis de vérifier mon résultat en recommençant le calcul pour et en réécrivant toutes les équations de continuité. Je trouvais intéressant de faire ce calcul car il montre que même si on a une énergie cinétique suffisante pour franchir la barrière de potentiel, on n'est pas sûr de la franchir (contrairement à ce qu'on voit en physique classique et dans la vie de tous les jours, en prenant l'exemple de la montée d'un pont). Je voulais être certain de ne pas tomber sur 1 en faisant ce calcul.

Je vais reprendre la discussion et lire les documents donnés dans les liens mais si d'autres personnes ont des pistes à me donner (notamment pour la dernière démonstrations), elles sont les bienvenues.

[invite1c0eeca8]

ben oui, quand E > V0 , il y a une probabilité non négligeable que la particule se réfléchisse sur la barrière de potentiel. Ils disent ds le bouquin que c'est comme un rayon lumineux qui se réfracte à la surface d'un dioptre ; une partie du faisceau incident est réfléchi. Quand on y réfléchit il est logique que cette probabilité ne soit pas nulle puisque la particule ,en mécanique quantique , est douée de propriétés ondulatoires.
@+

[DarK MaLaK]

ben oui, quand E > V0 , il y a une probabilité non négligeable que la particule se réfléchisse sur la barrière de potentiel. Ils disent ds le bouquin que c'est comme un rayon lumineux qui se réfracte à la surface d'un dioptre ; une partie du faisceau incident est réfléchi. Quand on y réfléchit il est logique que cette probabilité ne soit pas nulle puisque la particule ,en mécanique quantique , est douée de propriétés ondulatoires.
@+

Ok mais pour moi c'est le tout premier exemple dans mon cours d'introduction à la physique quantique, donc c'est assez troublant par rapport à la physique classique. De plus, j'ai lu dans un livre, dans un chapitre intitulé superposition des états, que la particule pouvait être dans deux états à la fois tant qu'on ne l'a pas mesurée (j'ai un peu de mal à comprendre cette notion), cela s'applique-t-il ici ? Pour un grand nombre de particules identiques, le nombre de particules transmises à travers la barrière de potentiel est-elle égale au produit du coefficient de transmission par le nombre de particules (je crois avoir lu dans mon livre que c'est plus subtil mais malheureusement je ne l'ai pas ici) ?

[Deedee81]

Salut,

Ok mais pour moi c'est le tout premier exemple dans mon cours d'introduction à la physique quantique, donc c'est assez troublant par rapport à la physique classique. De plus, j'ai lu dans un livre, dans un chapitre intitulé superposition des états, que la particule pouvait être dans deux états à la fois tant qu'on ne l'a pas mesurée (j'ai un peu de mal à comprendre cette notion), cela s'applique-t-il ici ? Pour un grand nombre de particules identiques, le nombre de particules transmises à travers la barrière de potentiel est-elle égale au produit du coefficient de transmission par le nombre de particules (je crois avoir lu dans mon livre que c'est plus subtil mais malheureusement je ne l'ai pas ici) ?

Oui aux deux questions.

Tu peux voir la superposition comme une propriété ondulatoire. Par exemple, l'onde électronique peut être un "double paquet d'ondes" (localisé en deux endroits).

Malheureusement la comparaison avec les ondes classiques s'arrête très vite : les mesures donnent des résultats définis, l'équation de Schrödinger a une dérivée première par rapport à t et non une dérivée seconde (équuation des ondes sonores par exemple) et enfin la fonction d'onde d'une paire de particules n'est pas une fonction (même compliquée, style tensorielle ou quaternionique par exemple) des coordonnées x,y,z,t mais des coordonnées des deux particules, ce qui n'est pas classique.

[invite0fa82544]

Ce que tu expose correspond au paradoxe de Klein dont il y a une description assez intéressante dans le cas des particules de spin 0

Le problème posé est ultra-classique, et n'a rien à voir avec le paradoxe de Klein (qui n'apparaît qu'en théorie relativiste).

[invite0fa82544]

Bonjour,


La réponse D déplait aux physiciens car elle est divergente; donc réputée non physique.

Non, rien ne diverge avec fini puisque est compris entre et ...
Heureusement, n'est pas nul : c'est ce qui permet le raccord de la fonction propre et de sa dérivée !

[DarK MaLaK]

Non, rien ne diverge avec fini puisque est compris entre et ...
Heureusement, n'est pas nul : c'est ce qui permet le raccord de la fonction propre et de sa dérivée !

Je ne comprends pas dans ce cas pourquoi la densité de probabilité de présence de la particule suit une décroissance exponentielle entre 0 et a.

[stefjm]

Non, rien ne diverge avec fini puisque est compris entre et ...

Effectivement, j'avais raté les bornes.
Il y a donc une autre raison pour que Dark (ou son cours) veuille que D soit nulle?

Heureusement, n'est pas nul : c'est ce qui permet le raccord de la fonction propre et de sa dérivée !

Phrase bizarre que je n'ai pas comprise tout de suite. (Je ne voyais pas pourquoi on voulait raccorder une fonction et sa dérivée.)

Ok. On garde donc la liberté de régler D pour raccorder.

Dans ce cas, pourquoi Dark voulait-il D nulle?