rayon de courbure

[membreComplexe12]

Bonjour tous,

J'ai une question sur l'expression d'un rayon de courbure, j'ai vu dans un cours et sur le net que l'equation s'ecrivait:



je ne voit pas d'où vient cela, pourriez vous m'expliquer s'il vous plait? ou me renvoyer vers un lien avec la demonstration?


Merci d'avance
-----

[invite4ff2f180]

bonjour,
l'article de wikipedia est plutôt claire sur le sujet.
Cordialement.

[membreComplexe12]

bonjour,
l'article de wikipedia est plutôt claire sur le sujet.
Cordialement.

en fait je n'ai pas trop compris comment on passe de à la formule mit plus haut

[ouzala]

salut


Une bonne manière de ce représenter le rayon de courbure en coordonnées cartésiennes est de prendre l'équation de la droite normale à ta courbe en un point (a ,f(a)). Si on fait varier le point a d'une distance da->0 on a une nouvelle normale coupant la première. Cette intersection c'est le centre du cercle oscultateur et son rayon r est égal à 1/k où k est le rayon de courbure. Concrètement on à l'équation de la normale , On veut (minimise la variation de la pente, l'idée c'est d'atteindre l'enveloppe).
Bon à partir de la tu peut isoler x qui est en fait devenu la première coordonnée du centre de ton cercle osculateur. A ce point c'est plus clair si on le renomme x0. connaissant x0 on trouve y0.
le rayon r du cercle est simplement la distance entre (a f(a)) et (x0,y0)
Pour le rayon de courbure il faut juste ne pas oublier de prendre l'inverse de r.

voilà, j'espère que ça va t'aider (plutôt que le contraire...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[membreComplexe12]

Merci beaucoup de ta réponse c'est gentil, je comprends un peu mieux le principe

, On veut

par contre je ne vois pas trop cette formule d'où elle sort, si tu peux preciser stp?

[ouzala]

la première formule c'est l'équation de la droite normale en un point (a , f(a)) (donc perpendiculaire à la droite tangente) d'une courbe décrite par y=f(x) ( attention de ne pas confondre cet y avec le y de la formule).

Le centre (x0 y0) du cercle osculateur doit ce trouver quelque part le long de cette droite.

veut dire qu'on prend la dérivée partielle de y par rapport à la "variable a", en gros ce qui nous interresse c'est de savoir ce qui ce passe lorsque on fixe x=constante et on fait varier "a" (à l'aide des règles de dérivation habituelles).


cette équation décrit une famille de droite qui intersecte la normale originel mais la seul qui nous intéresse c'est celle quand

[membreComplexe12]

merci beaucoup de ton aide, en fait cette equation je ne comprends pas comment on l'obtient.

pour le reste merci,je vais regarder cela de plus pret.

[ouzala]

soit y= f(x) tu sais sans doute que la dérivée évaluée en un point x=a correspond à la pente de la tangente en ce même point. Si maintenant tu veut l'équation de la droite tangente qui passe par le point (a, f(a)) alors tu peut utiliser que .

A une droite de pente k on associe une droite perpendiculaire de pente -1/k. Donc pour avoir l'équation de la droite perpendiculaire il suffit de prendre la pente inverse et tu te retrouve avec
voilà

[membreComplexe12]

soit y= f(x) tu sais sans doute que la dérivée évaluée en un point x=a correspond à la pente de la tangente en ce même point. Si maintenant tu veut l'équation de la droite tangente qui passe par le point (a, f(a)) alors tu peut utiliser que .

A une droite de pente k on associe une droite perpendiculaire de pente -1/k. Donc pour avoir l'équation de la droite perpendiculaire il suffit de prendre la pente inverse et tu te retrouve avec
voilà

a oui en effet, merci beaucoup