Temps de collision gravitationnel entre 2 masses

[invite0a92927f]

Bonjour,

Je veux étudier le temps de collision entre deux particules de 1kg situées à 1m l'une de l'autre, dans le vide, initialement de vitesse nulles par rapport à un référentiel galiléen. Elles ne subissent donc que leur propre attraction gravitationnelle mutuelle.

Je trouve une équation du mouvement du type :
x^2 . (d^2x/dt^2) = G,

G étant la constante gravitationnelle.

Je suis nul en maths. De quel type d'equation linéaire s'agit-il ? Quelles fonctions sont solutions de l'équation ?

Je conçois qu'il s'agisse plus d'un probleme de maths que d'un probleme physique mais je préfère poster dans la section physique, au cas où.

Merci pour vos réponses.
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[invite0a92927f]

Je viens de voir que j'ai écris une boulette.

Quel type d'équation différentielle s'agit-il ? Je sais qu'elle n'est pas linéaire. Tombe-t-elle dans les equa diff non linéaires ou bien d'une catégorie autre ?

[LPFR]

Bonjour.
Au lieu de faire de maths, on peut faire un peu de physique.
Comme vous connaissez la vitesse en fonction de la position (conservation de l'énergie mécanique), il suffit d'écrire dt = dx/v
Et vous vous trouverez avec une intégrale qui vous donne le temps. Il faudra croiser les doigts très fort en souhaitant qu'elle soit intégrable.
Au revoir.

[invite0a92927f]

Bonjour,

Je déterre mon post initial : Les deux particules de masse m, distantes de d (l'une, P1, située à x =0 et la deuxième P2 située à x = d), de vitesse initiale nulle n'interagissent que par leur masse. Je veux calculer le temps où, sous l'effet de la gravitation, elles se toucheront.
On étudie le mouvement de la particule P1, située en 0 et qui devrait se déplacer vers les x positifs.

Alors voilà, j'applique le théorème de l'énergie mécanique. Aucune force non conservative n'agit sur le système et il est isolé, donc :
Em = Ek + Ep = 0
avec :
Ek =

et

d'où lorsque'on intègre de 0 à (symétrie du problème).

On obtient alors l'intégrale première de l'énergie :



Toutes les valeurs ici sont positives, cette expression ne s'annule jamais ! Ai-je fait une erreur de signe ?

Merci pour votre aide !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0a92927f]

Bon, déjà je viens de m'apercevoir que j'ai mal intégré l'énergie potentielle, car mon origine est 0 et donc j'ai des soucis d'infinités. Je vais plutot étudier la particule , située en d...

[invite0a92927f]

Alors je trouve que l'intégrale première pour la particule P2 est :



Pour m=1kg, d=1m, G = 6.67.10-11 SI, v=0, je trouve que que t = 12h pour que la particule P1 rencontre la particule P2.

Est-ce que cela vous parait juste ?

Merci

[mc222]

salut misterdealer, tu t'interesse à un problème qui m'a passionné assez longtemps, je connais la réponse dans le cas où un seul corps est en mouvement.

Pour adapter le problème dans le cas où les deux corps bougent, il me semble qu'il suffit d'introduire une masse réduite, il doit donc apparaitre des coefficient numériques...

La solution pour le mouvement d'un coprs attiré par un coprs bien plus grand sans vitesse initiale est la suivante:



cette équation différentielle du second ordre non linéaire amène, après intégration, l'expression de la vitesse en fonction de la distance, qu'on retrouve par la conservation de l'énergie comme l'a dit LPFR.



: distance initiale.

en séparant les variables :

on trouve:



La, l'astuce est d'intégrer le rayon entre et , alors qu'en toute rigueur, on intègrerait le rayon entre et le rayon de la boule, (on prendrait le temps entre le moment ou je lache la boule et le moment ou elle percute l'autre boule) mais pour simplifier, on considère les boules comme des points.
Ainsi, on néglige le temps que met le points pour parcourir une petite distance (le rayon de la boule) a la plus grande vitesse (la vitesse quand les boules sont très proches l'une de l'autre).

on connais donc les bornes de l'intégrale:



Je connais la solution de cette intégrale, elle vaut exactement:



d'où:



en espèrant t'avoir aidé.

[invite0a92927f]

Merci pour ta réponse.
J'ai fait l'application numérique de ta formule avec M=m=1kg, r0 = 1m, et je trouve fois mon résultat, soit 36h environ.

L'expression du temps en passant par l'intégrale première me donne :



où j'ai remplacé d par

Mon résultat est homogène au tien, mais je ne sais pas s'il est correct ...

[mc222]

correction :

l'intégrale vaut:

[mc222]

C'est quoi rf ?

Peut tu détailler ton calcule ?

Sinon, avis à ceux qui savent introduire la notion de masse réduite dans le problème, moi je ne sais pas du tout.

[mc222]

j'aurais tendance à dire que le système étant symétrique (même masses)
On peut dire que l'accélération d'une boule par rapport à l'autre vaut le double de l'accélération d'une boule par rapport à un repère extérieur immobile.

[Fanch5629]

Bonjour.

J'ai aussi suivi le fil qu'évoque mc222 et j'avais trouvé le même résultat en travaillant dans le référentiel lié au centre de masse.

L'équation de misterdealer dans le post #6 est fausse.

Cordialement.

[thomas5701]

Je vais essayer avec la masse réduite:
On se place dans le référentiel barycentrique.
Soit M1 et M2, deux particules de masse respective m1 et m2 distant de d à t=0.
F la force de M1 sur M2
On appelle C le centre de masse de M1 et M2, en fait le barycentre.
On pose u=(m1*m2)/(m1+m2)

Soit M un point fictif de masse u, nous savons que CM=M1M2=r (ce sont des vecteurs)

D'après le principe fondamental de la dynamique:

u*(d²r/dt²)=F

Ainsi, nous obtenons l'équation du mouvement de r après intégration.
Pour revenir aux mouvement de M1 et M2, nous savons repartir de la relation M1M2=r=CM.

Mais plus simplement, M1 et M2 rentrent en collision lorsque r est nulle.

Mais l'intégration ne semble pas si évidente, donc raisonnement à revoir...

[mc222]

salut, tu veux pas développer ton histoire de point fictif auquel on attribu une masse réduite, stp ? , je sent qu'on est pas loin du but.

Pour l'intégration, ca doit pas être bien différent de que pour le problème ou un seul corps bouge nan ?

[mc222]

à mon avis, on a :



1: centre de la masse 1
0 : référentiel immobil



2 : centre de masse 2

Donc a prioris :



dans la mesure ou les deux masses sont égales nan?

[invite0a92927f]

A supprimer, merci.

[invitea3fff65d]

salut misterdealer, tu t'interesse à un problème qui m'a passionné assez longtemps, je connais la réponse dans le cas où un seul corps est en mouvement.

Pour adapter le problème dans le cas où les deux corps bougent, il me semble qu'il suffit d'introduire une masse réduite, il doit donc apparaitre des coefficient numériques...

La solution pour le mouvement d'un coprs attiré par un coprs bien plus grand sans vitesse initiale est la suivante:

Donc en fait, tu prends bien le problème où les deux corps bougent, simplement, le corps 'bien plus grand' parcourra une distance infime pour atteindre le barycentre du système.
Tu as donc bien la solution du problème présent.

Merci pour ta réponse.
J'ai fait l'application numérique de ta formule avec M=m=1kg, r0 = 1m, et je trouve fois mon résultat, soit 36h environ.

L'expression du temps en passant par l'intégrale première me donne :



où j'ai remplacé d par

Mon résultat est homogène au tien, mais je ne sais pas s'il est correct ...

pour la distance en les deux points lors de l'impact ? Donc 0 ? Il y aurait juste une erreur de signe.

u*(d²r/dt²)=F

Ainsi, nous obtenons l'équation du mouvement de r après intégration.
Pour revenir aux mouvement de M1 et M2, nous savons repartir de la relation M1M2=r=CM.

Mais plus simplement, M1 et M2 rentrent en collision lorsque r est nulle.

Mais l'intégration ne semble pas si évidente, donc raisonnement à revoir...

Logiquement, que ce soit l'équation différentielle faisant intervenir l'accélération ou celle faisant intervenir la vitesse, on devrait trouver le même résultat. Autant faire au plus simple...
Je vais dans un second post essayer de donner ma version, j'ai d'autres petites questions.

[mc222]

je croi connaitre la réponse la plus rigoureuse, je te la donnerais

[invitea3fff65d]

Hop !

Donc je prends mes deux points A et B de masses et initialement à vitesses nulles, à une distance l'un de l'autre.
Je vais utiliser pour la norme du vecteur .

Le système est supposé indépendant, son énergie mécanique totale est donc conservée dans le temps, le système se déplace donc à vitesse constante. Mais comme sa vitesse initiale est nulle, elle le reste.
On peut donc affirmer que le barycentre O ne bougera pas. On connait donc déjà le point d'impact :

Comme je l'ai déjà dit, je préfère utiliser la vitesse à l'accélération pour simplifier...

Selon le principe de conservation de l'énergie :


On remplace les vitesses des points par la dérivée de r :
avec

On trouve bien :

J'ai cherché ce type d'équa-diff, j'ai essayé des changements de variable pour tomber sur un objet inconnu, une équation de Riccati. Mais j'ai craqué et me suis rabattu sur WolframAlpha...

Youpi ! Une solution !!


ou encore :


avec et

On peut donc tracer le temps en fonction de la distance r. Contentons-nous en, la fonction réciproque n'est sans doute pas descriptible avec des fonctions usuelles, on peut imaginer sa courbe en faisant la symétrie par rapport à la droite t=r sinon.

Ah, la constante se trouve en calculant la limite quand t tend vers 0. Ce sera d'ailleurs le seul terme restant quand r vaudra 0 et donc le temps théorique de l'impact. Je retrouve bien le même résultat que vous.

(Je publie ce premier post avant de continuer avec ce résultat et mes questions... C'est long d'écrire en LaTex avec un clavier qwerty configuré en azerty...)

[invitea3fff65d]

Me revoici.

Donc :



Vos méthodes semblent plus simples si l'on ne cherche que ce résultat. La résolution de l'équa-diff permet de détailler tout le trajet.

Bilan :
La masse réduite n'intervient pas dans ce problème, on remarque d'ailleurs que seule la masse totale importe, le temps sera donc le même quel que soit le rapport entre les deux masses, tant que la somme est identique, seul le point d'impact, le barycentre, change.

Ce qui me chagrine :
1-J'aimerais savoir comment résoudre la dite équation différentielle, un autre topic l'évoque peut-être ? Sinon ça vaut peut-être le coup de le créer ?
2-Je suppose que r(t) se dérive infiniment sans qu'aucune de ses dérivées ne s'annule ? Est-ce que c'est ça qui nous empêche d'écrire une équation horaire r en fonction de t ? Sur la base de l'équation d'un mouvement rectiligne à vitesse constante ou uniformément accéléré, est-ce qu'on ne peut pas étendre le concept de ces équations horaires avec une somme infinie sur l'accélération, le jerk, etc... ? Dans un cas pratique, est-ce que l'on ignorerait une partie des termes de cette somme, considérés infimes ?
3-Que vient faire Pi dans cette galère ???????? (Je veux dire que je vois d'où il vient dans nos calculs respectifs, mais en regardant le problème initial, pourquoi ?)
4-Ah et puis, est-ce que les trois termes de l'expression de t(r) ont chacun un sens physique ?

Allez, il est 3h30 ici, Morphée montre des signes d'impatience.

Au plaisir de vous lire !
Ben

[mc222]

Salut,

Pour ce qui est de l'équation différentielle, on peut faire un changement de variable.

On a une équation à variables séparables :



le fait d'introduire un variable ( r) en borne dans l'intégration entraine que le résultat de l'intégration ne sera paradoxalement pas un nombre mais une fonction.
En résolvant cette intégrale, on trouve la fonction qui relie le temps à la position (et uniquement dans ce sens, nous verrons pourquoi).

On a donc ca a résoudre:



On manipule un peut l'expression:



pour l'instant j'ai le droit, j'ai juste mutliplier par une constante de chaque coté.

Ensuite on mutliplie le terme de droite, en haut en bas par r soit:



La on tien un truc d'intéressant parce que si on remplace par une cosinus carré, on peut faire disparaitre la racine avec le carré, et résuire le en un sinus carré.

On opère donc le changement de variable suivant:




Qu'on dérive par alpha pour obtenir:





On revient sur l'intagrale :



donne :



Qui donne gentiment :



bref, le plus gros est expliqué, on trouve finalement, en usant d'identités trigonométriques :



On ne peut pas renverser cette équation car il y a un r dans un arccos et un r " à l'air libre ".
L'équation est transcendante.

Cette fonction s'apprente à une ellipse centrée sur l'origine, on peut d'aillieur approcher cette équation avec une ellipse:

(je ne sais pas écrir le symbole pour l'approximation).

Cette expression est "renverssible"

Pour ce qui est du nombre on le trouve partout, on le trouve ici parce que la fonction qu'on cherche à intégrer peut s'apprenter à une Lorentzienne, (le primitie de Arctan ), donc en intégrant on trouve nécessairement un facteur .

[mc222]

[IMG][/IMG]

en rouge et son approximation elliptique en bleu.

[Fanch5629]

Bonjour.

Vous avez sûrement remarqué que la vitesse tend vers l'infini quand la distance tend vers zéro. On fait bien entendu abstraction de l'étendue physique des corps modélisés par des masses ponctuelles.

Proposition : reprendre l'exercice dans le cadre de la relativité restreinte et trouver vers quoi tend la vitesse quand la distance tend vers zéro.

Cordialement.

[mc222]

Bonjour.

Vous avez sûrement remarqué que la vitesse tend vers l'infini quand la distance tend vers zéro. On fait bien entendu abstraction de l'étendue physique des corps modélisés par des masses ponctuelles.

Proposition : reprendre l'exercice dans le cadre de la relativité restreinte et trouver vers quoi tend la vitesse quand la distance tend vers zéro.

Cordialement.

salut ! je dirais qu'elle tend vers c ?

Mais à mon avis, le même exercice en relativité restreinte peu être très intéressant.

Pour trouver par exemple le temps que mais un objet à tomber dans un trou noir par exemple.
Mais je ne sais pas quel temps serait le plus intéressant à cacluler, le temps propre ou le temps pour un autre objet qui regarde la premier objet tomber (qui resterait donc à la distance initiale).

Mais connaissance en RR, sont de toute manière trop limitées pour me lancer dans le calcul seul.

Avez vous des observations sur le caclul de temps de chute d'un objet sur un attracteur relativiste ?

[Fanch5629]

Re.

La vitesse tend peut-être vers c, mais il faudrait le démontrer. L'expression de l'énergie cinétique en relativité restreinte n'est pas si compliquée.

Pour les autres questions, il vaudrait mieux les poser à un spécialiste de la gravitation en relativité générale, ce que je ne suis pas.

@+

[invitea3fff65d]

Pour ce qui est du nombre on le trouve partout, on le trouve ici parce que la fonction qu'on cherche à intégrer peut s'apprenter à une Lorentzienne, (le primitie de Arctan ), donc en intégrant on trouve nécessairement un facteur .

Non, je vois bien d'où arrive Pi dans les calculs, pas de souci. Mais je ne trouve pas "évident" qu'il apparaisse dans l'expression du temps final par rapport au rayon initial. Je trouverais plus logique que Pi sorte de G ou de racine de G. Et donc je trouverais plus cohérent que Pi apparaisse dans l'expression de la Force de gravitation, de l'énergie potentielle, etc... à côté d'un G qui aurait une valeur différente. Disons que "G a été déterminé avec Pi à l'intérieur". Je dis que ce serait plus logique parce que ça concerne un champs de forces centrales et donc l'idée de cercle ou plutôt de sphère est plus cohérente ici.

Je ne sais pas si je suis bien clair...

Ben

[mc222]

Salut, non, pi n'a absolu rien a voire avec G, pi intérvient si on cherche l'aire sous la courbe 1/v(r) entre les bornes r0 et 0.

Dans beaucoups de calcul d'intégrales impropres, on trouve pi, alors que les fonctions ne sont pas du tout trigonométriques à l'origine:

La Gaussienne:



La Lorenzienne :



Et l'air se consèrve si on prend la réciproque:

Il ne faut a mon avis pas cherché plus loin sur la signification de la présence de pi.

[mc222]

A mon avis le sens de pi dépasse largement la définition que l'on s'en ait faite à savoir le rapport entre le diamètre et la circonférence du cercle.
Je pense qui si on cherche pourquoi on trouve pi, mais pas comment, on ne fait plus de la physique mais de la philosophie.

[invitea3fff65d]

A mon avis le sens de pi dépasse largement la définition que l'on s'en est faite à savoir le rapport entre le diamètre et la circonférence du cercle.
Je pense qui si on cherche pourquoi on trouve pi, mais pas comment, on ne fait plus de la physique mais de la philosophie.

Je ne vais pas insister, simplement terminer là-dessus en te disant que je pense au contraire que : "comment on trouve Pi" c'est mathématique, mais "pourquoi on trouve Pi", c'est physique.
Tu restes trop attaché à la méthode utilisée pour obtenir ce résultat. Le résultat est là dans la nature sans que l'on y soit (par le biais de nos outils mathématiques) responsable. Bon, nos outils mathématiques sont liés à la réalité physique, certes.
Mais si je te dis que nous sommes séparés d'un nombre entier de fois Pi km ou que le temps que je vais mettre à te rejoindre est un nombre entier de fois Pi secondes, ne vas-tu pas logiquement penser que j'ai utilisé un moyen de mesure faisant intervenir la circonférence d'un cercle ?
Bon, que le Pi soit dans G ou non importe peu, il est lié au fait que l'on s'intéresse à un champ de forces centrales, comme pour la loi de Coulomb.

Pour ce qui est des formules mathématiques qui donnent Pi, si elles étaient impossibles à relier au Pi de la trigonométrie, ça se saurait non ? Ou c'est que je suis le seul à ne pas le savoir

Enfin, je ne rajouterai pas d'autre post sur cette remarque, ce n'était pas le but premier et je ne voudrais pas que ça tourne en polémique ridicule.

Ben

[mc222]

Sans vouloir envenimer les choses, dire qu'on trouve pi parce qu'on est en présence d'un champs centrale, ca ne vaut rien, encore faudrait-il le démontrer.

Je soutien moi, que vouloire donner du sens à des choses qui n'en n'ont pas ou qui nous dépassent ce n'est pas une démarche de physicien ni de mathématicien d'aillieur.

Mais si je te dis que nous sommes séparés d'un nombre entier de fois Pi km ou que le temps que je vais mettre à te rejoindre est un nombre entier de fois Pi secondes, ne vas-tu pas logiquement penser que j'ai utilisé un moyen de mesure faisant intervenir la circonférence d'un cercle ?

Je ne comprend toujours pas cette phrase, si tu est spéraré de moi par un nombre entier de pi fois kilometre, c'est que ton moyen de mesure est basé sur pi je te l'accorde mais il est surtout basé sur la distance qui nous sépart.

Enfin moi je ne lacherais pas que chercher un sens à la présence de pi dans telle ou telle formule ne menne absolument à rien.