Association de fonctions à des kets

[DarK MaLaK]

Bonjour, je cherche à comprendre comment fonctionnent les bases en physique quantique pour mieux cerner le concept de représentation. En représentation par exemple, on dit qu'on est dans la base des kets associés aux fonctions . En représentation , on dit qu'on est dans la base des kets associés aux fonctions d'onde plane .

Je ne comprends pas d'où viennent ces associations entre des vecteurs et des fonctions. Pourquoi ces fonctions en particulier ? Pourquoi choisir des variables et , que devient notre variable r de départ ?

Merci d'avance pour votre aide.

P.S. : je n'ai pas encore acheté de livres, certains sont trop chers, d'autres introuvables, c'est pourquoi je m'en remets à vous !
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[invite7ce6aa19]

Bonjour, je cherche à comprendre comment fonctionnent les bases en physique quantique pour mieux cerner le concept de représentation. En représentation par exemple, on dit qu'on est dans la base des kets associés aux fonctions . En représentation , on dit qu'on est dans la base des kets associés aux fonctions d'onde plane .

Je ne comprends pas d'où viennent ces associations entre des vecteurs et des fonctions. Pourquoi ces fonctions en particulier ? Pourquoi choisir des variables et , que devient notre variable r de départ ?

Merci d'avance pour votre aide.

P.S. : je n'ai pas encore acheté de livres, certains sont trop chers, d'autres introuvables, c'est pourquoi je m'en remets à vous !

Bonjour,

On peut représenter une fonction dans une base de fonctions. Dans ce cas les fonctions prennent le statut de vecteur.

Exemple:

y = expi.x = cos x + sin x

que l'on écrira:

|exp> = |cos> + i.|sin>

Ainsi le vecteur |exp> se décompose dans la base des 2 vecteurs|sin> et |cos> avec les coefficients 1 et i.

En plus si tu définit un produit scalaire tu peux montrer que |sin> et |cos> sont orthogonaux.

Donc les produits scalaires sont les projections de |exp> sur les vecteurs cad:

<cos|exp> = 1

<sin|cos> = i

C'est ainsi qu'une fonction acquière un statut de vecteurs.

Maintenant si tu as associes au point x une distribution notée |x> ,cad une fonction très piquée en x alors tu peux écrire pour une fonction |f> et ses projections sur les |x> comme:

f(x) = <x|f> que l'on appelle fonction d'onde. Autrement dit la fonction d'onde ce n'est ni plus ni moins que les composantes du vecteur |f> dans la base des {|x>}


De même tu peux projeter |f> dans la base des |p>

donc <p|f> = f(p)


la base des |p> est tout simplement ce que tu obtiens par changement de base à partir de la base des |x>

cad:

|p> = exp (i.p.x ) |x>

avec intégration continue sur les |x>


ainsi la transformée de Fourier n'est rien d'autre qu'un changement de base, alors que |f> represente un vecteur indépendant de toute base..

En résumé:

|f> est un vecteur

<x|f> sont les composantes de |f> dans la base des {|x>}

<p|f> sont les composantes de |f> dans la base des {|p>}

La transformée de Fourier et son inverse sont des changement de base pour passer de la base des {|x>} à la base des {|p>}

[DarK MaLaK]

Salut mariposa et merci pour cette réponse claire !

Mais j'essaie de faire le lien avec mes deux représentations (r et p). D'après ce que je comprends, je vois que les représentations sont juste des changements de base pour exprimer l'état d'un système. Mais j'ai toujours du mal à comprendre mes deux exemples (celui que tu donnes est clair mais je trouve les miens plus compliqués). Quand tu dis que "La transformée de Fourier et son inverse sont des changement de base pour passer de la base des {|x>} à la base des {|p>}", comment l'écris-tu mathématiquement, avec les notations que j'ai données :





Et je ne vois toujours pas pourquoi cette fonction a une forme si compliquée, notamment à quoi est due la présence de devant la fonction (pourquoi ce choix plutôt qu'une autre constante).

De plus, j'ai un petit problème avec les ensembles complets d'observables qui commutent. Pour prouver qu'un ensemble d'observables est un ensemble complet d'observables qui commutent, on montre que les observables commutent deux à deux. Mais ensuite, j'ai du mal à continuer. Il faut trouver une base orthonormée de vecteurs propres communs et montrer qu'elle est unique. Donc si les observables sont deux matrices, il faut que je trouve une base où les matrices sont diagonales, sans oublier de normaliser cette base ? Et ensuite, comment prouver qu'elle est unique ?

[invite7ce6aa19]

Salut mariposa et merci pour cette réponse claire !

Mais j'essaie de faire le lien avec mes deux représentations (r et p). D'après ce que je comprends, je vois que les représentations sont juste des changements de base pour exprimer l'état d'un système. Mais j'ai toujours du mal à comprendre mes deux exemples (celui que tu donnes est clair mais je trouve les miens plus compliqués). Quand tu dis que "La transformée de Fourier et son inverse sont des changement de base pour passer de la base des {|x>} à la base des {|p>}", comment l'écris-tu mathématiquement, avec les notations que j'ai données :

Bonjour,


Si tu vieux bien comprendre la gymnastique générale et les notations de la MQ il faut éviter pour commencer de parler de représentation |r> ou |p>.

Il faut revenir aux axiomes de l'espace vectoriel E en mathématiques et à la définition d'un produit scalaire de vecteurs (et donc de la norme d'un vecteur).


Quand on écrit:

|V> = A|e1> + B |e2>

C'est la même chose que si tu avais remplacé les |> par des flèches au-dessus des lettres.

Ce qu'il a de nouveau en MQ c'est que l'espace vectoriel est sur le corps des complexes C.

On définit le vecteur dual de |V> que l'on note <V| comme un vecteur d'un autre espace vectoriel E* que l'on appelle l 'espace dual qui est représenté par un vecteur ligne (les vecteurs de l'espace E sont des vecteurs représentés par des matrices colonnes) dont les éléments de matrice sont les conjugués.

Donc

<V| = A*<e1| + B* <e2|


Dans ce cas le produit scalaire de:

|V> = A|e1> + B |e2>

par


|W> = C|e1> + D|e2>

vaut:

<W|V> = A.C* + B.D*

qui est bien le produit d'une matrice ligne par une matrice colonne.

J'ai supposé que la base { |e1>, |e2>} était orthonormée ce qui demanderait à être définie


Bien sur la base est ici de dimension 2 mais tu aurais pu raisonner en dimension n avec n fini.

L'exercice important est de faire un changement de base orthonormé vers une base { |e'1>, |e'2>} et de vérifier que le produit scalaire <W|V> est invariant.


Il faut absolument comprendre cela parfaitement, sinon la compréhension de la MQ va vite tourner en bouillie pour chats.

Les représentations |x> et |p> implique une base continue et donc des difficultés spécifiques et donc il faut raisonner d'abord correctement avec des bases discrètes..

Et je ne vois toujours pas pourquoi cette fonction a une forme si compliquée, notamment à quoi est due la présence de devant la fonction (pourquoi ce choix plutôt qu'une autre constante).

C'est une question de normalisation et de "symétrie" des transformées de Fourier qui sont liées aux bases continues.

De plus, j'ai un petit problème avec les ensembles complets d'observables qui commutent. Pour prouver qu'un ensemble d'observables est un ensemble complet d'observables qui commutent, on montre que les observables commutent deux à deux. Mais ensuite, j'ai du mal à continuer. Il faut trouver une base orthonormée de vecteurs propres communs et montrer qu'elle est unique. Donc si les observables sont deux matrices, il faut que je trouve une base où les matrices sont diagonales, sans oublier de normaliser cette base ? Et ensuite, comment prouver qu'elle est unique ?

Supposons que tu as 2 opérateurs qui commutent soient:

[A,B] = 0

ils ont donc un ensemble commun de vecteurs propres que je vais noter:

|n, a, b>

avec

A |n, a, b> = a|n (a,b), a, b>

et

B |n, a, b> = b|n (a,b), a, b>


Tu noteras que je me suit servi des valeurs propres a et b pour distinguer les vecteurs propres des uns des autres.

J'ai pourtant introduit un indice supplémentaire n sans explication. Pourquoi?

Parce qu'a priori tu n'obtiens pas des vecteurs propres mais des sous-espaces propres (cad des sous-espaces dégénérés). Il faut distinguer chaque vecteur du sous-espace propre (a,b) d'où ma notation n(a,b).

Supposons que tu trouves un nouvel opérateur C qui commute avec les 2 autres:

[A,C] = 0

[B,C] = 0

Et que ce dernier opérateur C lève complétement la dégénérescence

alors les états pourront être écrit sous la forme:

|a,b,c>

avec

C |a,b,c> = c |a,b,c>

Alors les opérateurs A,B,C forment un ensemble complet "d'observables"

Exemple: Pour les atomes

Les 3 opérateurs H, L2 et Lz forment un ensemble complet.

[A voir en vidéo sur Futura]

[DarK MaLaK]

Supposons que tu as 2 opérateurs qui commutent soient:

[A,B] = 0

ils ont donc un ensemble commun de vecteurs propres (...)

Pour montrer que si deux opérateurs commutent, ils ont un ensemble commun de vecteurs propres, suffit-il de montrer que les sous-espaces propres de l'un sont stables par l'autre ? C'est-à-dire :

Soit un sous-espace propre de A associé à la valeur propre .



J'ai l'impression qu'il manque quelque chose pour conclure...

Tu noteras que je me suit servi des valeurs propres a et b pour distinguer les vecteurs propres des uns des autres.

Donc dans ce cas, les observables commutent mais ne forment pas un ensemble complet, car plusieurs vecteurs propres sont associés aux mêmes valeurs propres et la base n'est pas unique ?

[invite7ce6aa19]

Pour montrer que si deux opérateurs commutent, ils ont un ensemble commun de vecteurs propres, suffit-il de montrer que les sous-espaces propres de l'un sont stables par l'autre ? C'est-à-dire :

Soit un sous-espace propre de A associé à la valeur propre .



J'ai l'impression qu'il manque quelque chose pour conclure...

ton calcul est excate mais il manque une petite phrase qui résumerait la philosophie.

Cette phrase serait |w> est une vecteur propre de A autrement dit l'action de A ne change pas |w> a un facteur multiplicatif prèt.

Si maintenant tu fais agir d'abord B tu constates que |w>reste sur place ce qui veut bien dire que:

|w>, B|w> et A.B|w> sont 3 vecteurs alignés (colinéaires) seul leur module différent.

Donc dans ce cas, les observables commutent mais ne forment pas un ensemble complet, car plusieurs vecteurs propres sont associés aux mêmes valeurs propres et la base n'est pas unique ?

Oui mais cela n'a rien a voir avec la base.


Conclusion pratique.

Il faut que tu étudies à part la notion de vecteurs et de représentations d 'un vecteur par des matrices colonnes dans une base déterminée. Il y autant de représentations qu'il y a de bases.

Il faut étudier les changements de base qui permettent de passer d'une représentation à 1 autre.

Quand tu auras étudier cela il faut étudier les opérateurs (qui agissent sur des vecteurs) et leurs diverses représentations (ce sont des matrices carrées) dans différentes bases.

Il faut bien comprendre ce que veux dire représentation.



Tout cela est incontournable pour comprendre la MQ.

[DarK MaLaK]

Si maintenant tu fais agir d'abord B tu constates que |w>reste sur place (...)

Je n'arrive pas à le prouver mathématiquement. Je ne vois pas à partir de quelle ligne de mon calcul, je peux écrire que B|w>=b|w>. Quand j'écris que B|w> appartient au-sous espace propre de A associé à la valeur propre , ça veut dire que B|w> est un ket propre de A associé à . Mais est-ce que je peux tout de suite en conclure que B|w>=b|w> ?? Je n'arrive pas à voir pourquoi on n'aurait pas B|w>=|w'>, sachant qu'un sous-espace propre peut contenir des vecteurs qui ne sont pas colinéaires, si sa dimension est supérieure à un (si la valeur propre est dégénérée).


Pour ce qui est de la différence entre un vecteur et sa représentation, je pense avoir compris depuis ton premier message, car il semble que ce soit la même chose que dans l'algèbre "classique" qu'on voit en première année. Si je dessine un vecteur sur le mur de mon appartement, il existe et a un sens, une direction, une norme qui ne changent pas de manière intrinsèque. Mais si je prends comme base orthonormée le coin de mur au sol ou celui qui est au plafond, je ne donnerai pas à mon vecteur les mêmes coordonnées car je le verrai à l'envers si j'ai les pieds au plafond ! Par contre, son produit scalaire avec un autre vecteur ne changera pas.

[invite7ce6aa19]

Je n'arrive pas à le prouver mathématiquement. Je ne vois pas à partir de quelle ligne de mon calcul, je peux écrire que B|w>=b|w>. Quand j'écris que B|w> appartient au-sous espace propre de A associé à la valeur propre , ça veut dire que B|w> est un ket propre de A associé à .

Oui

Mais est-ce que je peux tout de suite en conclure que B|w>=b|w> ??

Justement pas. Tu as démontré que B|w> était colinéaire à |w>, mais rien ne te permet de calculer la valeur propre de B associé au vecteur propre |w>

Je n'arrive pas à voir pourquoi on n'aurait pas B|w>=|w'>, sachant qu'un sous-espace propre peut contenir des vecteurs qui ne sont pas colinéaires, si sa dimension est supérieure à un (si la valeur propre est dégénérée).

Si l'espace est dégénéré par exemple 3 fois tu auras |w1>, |w2>, |w3> 3 vecteurs propres du sous-espaces propres. Ce qui veut dire que dans une base quelconque un vecteur|w> de cet espace est:

|w> = a1|w1> + a2 |w2> + a3 |w3>

Vérifie que si b est la valeur propre dégénéré ce vecteur |w> est bien vecteur propre de B.

Pour ce qui est de la différence entre un vecteur et sa représentation, je pense avoir compris depuis ton premier message, car il semble que ce soit la même chose que dans l'algèbre "classique" qu'on voit en première année

.

Oui c'est la même chose et je sais par expérience beaucoup s'en aperçoive tardivement et d'autres jamais.

La différence entre ton cours de 1ire année est que:

1- On travail sur le corps C.

2- Les fonctions et les bases sont des élements d'un espace de Hilbert

3- Les bases sont le plus souvent orthonormées. (indispensables si tu utilises les kets).

4- Les changement de base conserve la norme, ce qui simplifie considérablement l'expression de la matrice inverse.

5- Les opérateurs associés aux grandeurs physiques sont hermitiques ce qui garantit que les valeurs propres sont réelles.

Si je dessine un vecteur sur le mur de mon appartement, il existe et a un sens, une direction, une norme qui ne changent pas de manière intrinsèque. Mais si je prends comme base orthonormée le coin de mur au sol ou celui qui est au plafond, je ne donnerai pas à mon vecteur les mêmes coordonnées car je le verrai à l'envers si j'ai les pieds au plafond ! Par contre, son produit scalaire avec un autre vecteur ne changera pas.

Absolument, il faut toujours avoir cela a l'esprit. Un |ket> est quelque chose d'intrinsèque qui ne dépend pas de la base.

Quand on formule l'évolution d'un |ket>

On écrit:

i.h.d/dt|F> = H(t)|F>

Il s'agit de l'équation d'évolution du vecteur indépendamment de toute base.

1- Si tu projettes cette équation sur la base de dimension 10 { |Mj>}

alors tu auras un système de 10 équations linéaires couplées.

2- Si tu projettes cette équation dans la base des {|x>} alors tu obtiens l'équation de Schrodinger classique.


Moralité il faut apprendre progressivement à se débarrasser de l'équation de Schrodinger et de ne retenir que l'équation d'évolution en rouge qui décrit la rotation d'un vecteur dans un espace de Hilbert.

[DarK MaLaK]

Bonjour et merci encore pour ton aide mariposa (qui m'a sûrement été utile car je ne pense pas avoir fait de fautes dans le premier examen sur le cours !). Je n'ai pas eu accès à internet depuis environ une semaine, alors je réponds maintenant car il reste encore des points flous pour moi.

Mais est-ce que je peux tout de suite en conclure que B|w>=b|w> ??

Justement pas. Tu as démontré que B|w> était colinéaire à |w>, mais rien ne te permet de calculer la valeur propre de B associé au vecteur propre |w>

Ce que tu dis est valable dans le cas général ou bien uniquement si la valeur propre n'est pas dégénérée ? Pour moi, si n'est pas dégénérée, alors il n'existe qu'un état propre |w> associé à cette valeur propre, et donc tous les vecteurs du type c|w> correspondent au même état et sont vecteurs propres associés à . Par conséquent, j'en conclus que B|w> doit s'écrire comme c|w> avec c complexe pour un opérateur quelconque, et réel pour un opérateur hermitique. Par conséquent, B|w>=c|w> et |w> est à la fois vecteur propre de A et de B.

Je n'arrive pas à voir pourquoi on n'aurait pas B|w>=|w'>, sachant qu'un sous-espace propre peut contenir des vecteurs qui ne sont pas colinéaires, si sa dimension est supérieure à un (si la valeur propre est dégénérée).

Si l'espace est dégénéré par exemple 3 fois tu auras |w1>, |w2>, |w3> 3 vecteurs propres du sous-espaces propres. Ce qui veut dire que dans une base quelconque un vecteur|w> de cet espace est:

|w> = a1|w1> + a2 |w2> + a3 |w3>

Vérifie que si b est la valeur propre dégénéré ce vecteur |w> est bien vecteur propre de B.

Dans ce cas, B|w> (|w> étant toujours le vecteur propre associé à pour l'opérateur A) ne peut plus s'écrire que comme un vecteur colinéaire à un des vecteurs du sous-espace propre ou bien à une combinaison linéaire de ces vecteurs, c'est-à-dire :



Et je n'arrive pas à conclure dans ce cas, car je ne vois pas comment on peut extraire une valeur propre associé à |w>...

Je ne suis pas sûr d'avoir compris ce que tu dis dans la citation juste au-dessus car je ne trouve pas la même chose. Tu veux dire qu'un ket quelconque s'exprime dans la base comme une combinaison linéaire de kets propres, mais je ne comprends pas ta dernière phrase, sauf si tu veux que je montre ceci :



Mais ça ne m'avance pas plus parce que j'ai l'impression qu'on utilise le résultat dans le calcul, et je ne vois aucune astuce qui permettrait de faire autrement.

4- Les changement de base conserve la norme, ce qui simplifie considérablement l'expression de la matrice inverse.

Et dans les espaces vectoriels réels, elle n'est pas conservée ? Pourtant le produit scalaire se conserve, il me semble.

[DarK MaLaK]

Je me permets un petit up, en espérant que l'absence de réponse est dû à un manque de visibilité de la discussion... En tout cas, je remercie mariposa pour son aide qui m'a aidé en partie à réussir mon premier examen de cours de physique quantique et j'invite quiconque a des réponses à mes questions à ne pas hésiter à intervenir !