Stabilité des fonctions de transfert

[invite5f6c7928]

Bonjour,

Je me pose des questions, notamment de stabilité, sur les fonctions de transfert de systèmes linéaires invariants numériques ou analogiques.
Lorsque je parle de stabilité, je fais référence à celle EBSB et celle asymptotique. J'aimerais des réponses mathématiques qui s'appuient sur les définitions mathématiques de ces stabilités.

1) On dit souvent que physiquement on ne peut faire que des filtres dont la FT (fonction de transfert) vérifie deg(num)<deg(denom). Pourquoi ?

2) Quand la FT n'a pas de pôles, le système est-il stable ?

3) Lorsque le système est stable, pourquoi h(t) tend vers 0 quand t tend vers l'infini. h est la réponse impulsionnelle. Encore une fois, j'aimerais une démonstration à partir des définitions des stabilités.

4) Pourquoi un filtre à RIF (donc numérique) est-il asymptotiquement stable ? (Je suis d'accord pour la stabilité EBSB). La solution de la 2) répond à cette question.

Et quelques questions de vocabulaire que j'ai du mal à trouver de façon certaine :

5) pulsation de brisure = de coupure ?

6) Les FT rationnelle que l'on manipule usuellement n'ont pas de coefficients complexes. Pourquoi ?

7) Qu'appelle-t-on l'ordre de la FT ? Le degré de son dénominateur ?

Merci d'avance pour vos réponses,
A.
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[stefjm]

Bonjour et bienvenue sur le forum,

1) Pour avoir une réponse causale, ie nulle pour les temps négatifs.

2) Oui. Il est a une réponse instantannée, voir anticipative.

3) Un système stable excité par un dirac revient à zéro, d'où 1*h(t) qui revient à 0.

4)

5) Faire gaffe! Les fréquences de coupure sont parfois données à -x dB et correspondent parfois à la brisure des asymptotes. Je ne crois pas qu'il y ait de consensus absolu sur les dénominations.

6) Parce que les complexes ne sont pas physiques.( Nan, je rigole... )
C'est lié au fait que i^2=-1 admet deux solutions i et -i, ie une solution qui tourne dans un sens e^it et une qui tourne dans l'autre sens e^(-it). Comme on ne peut pas choisir, on garde les deux. C'est la notion de complexe conjugué. On peut donc avoir des coeffs complexes, en particulier si on écrit la FT de l'oscillateur en produit de premier ordre.1/((p+i)(p-i))=1/(p^2+1)

Maintenant, si vous voulez un premier ordre à coeff complexe, à part l'équation de Schödinger, je n'en vois pas trop de naturelle.

Je passe mon tour, d'autres répondrons mieux que moi.
Si cela vous tente (attention, c'est fleuve) :
http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2748191

7) Oui. C'est le dénominateur qui fait l'essentiel de la réponse de la FT. (stabilité) Le dénominateur modifie la valeur initiale, l'attaque initiale et la valeur finale.

Cordialement.

[invite5f6c7928]

Merci pour vos réponses, je comprends un peu mieux maintenant. Je reprends néanmoins quelques points.

3) Je me rends compte niaisement que c'est en fait la définition même de la stabilité. J'imagine qu'elle est équivalente à la stabilité asymptotique au sens de Lyapunov.

7)

C'est le dénominateur qui fait l'essentiel de la réponse de la FT. (stabilité) Le dénominateur modifie la valeur initiale, l'attaque initiale et la valeur finale.

Je suis d'accord pour les systèmes analogiques mais en numérique, n'est-ce pas différent ? Par exemple un filtre à RIF n'a pas de pôles et pourtant, ils peuvent avoir des gabarits très variés.

Cordialement,
A.

[stefjm]

3) Je me rends compte niaisement que c'est en fait la définition même de la stabilité. J'imagine qu'elle est équivalente à la stabilité asymptotique au sens de Lyapunov.

J'avoue que les maths, j'ai un peu oublié!

Je suis d'accord pour les systèmes analogiques mais en numérique, n'est-ce pas différent ? Par exemple un filtre à RIF n'a pas de pôles et pourtant, ils peuvent avoir des gabarits très variés.

C'est sûr que sans dénominateur, le numérateur reprend de l'importance.
Un RIF, c'est bien plus simple.
Je ne comprends pas bien ce qui vous pose problème?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Filtre_...ionnelle_finie

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5f6c7928]

Le dénominateur modifie la valeur initiale, l'attaque initiale et la valeur finale.

C'est ça que je ne comprends pas. Le numérateur peut modifier la réponse autant que le dénominateur pour moi.

[stefjm]

C'est ça que je ne comprends pas. Le numérateur peut modifier la réponse autant que le dénominateur pour moi.

Il y a une limitation de taille : Si le dénominateur est instable, c'est lui qui gagne et le numérateur ne pourra rien rattraper...

Ex analogique :
Ordre 1 :
Réponse en exp -t/tau stable.
Quelque soit le numérateur la forme de la réponse sera en exp, seul change valeur initiale et finale.

Ordre 2:
Réponse à un échelon oscillante amortie par exemple.
Pas de dénominateur : tangente nulle en 0 et valeur nulle en 0. Valeur finale 1
Numérateur de degré 1 : Valeur nulle en 0 et tangente non nulle en 0, dépassement plus fort mais même amortissement.
Numérateur de degré 2 : discontinuité en 0, mais même style de réponse : ordre 2 oscillant amorti.

Pour le numérique, c'est en gros pareil (j'ai un peu oublié), simplement les correcteurs sont plus faciles à synthétiser.

Vous trouverez des spécialistes sur le forum électronique.
Cordialement.