Serie fourier: produit scalaire et trigo

[invite9c7554e3]

Bonjour tous,


J'ai une question sur les fonction cosinus et sinus, on a les relations suivantes:

1°)

2°)

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1°)le 1 veut dire que quelque soit les harmoniques considéré les fonctions cos et sin sont orthogonales

2°) = 1 si n=m sinon = 0

Donc cela veut dire que les bases associées à chaques harmoniques sont perpendiculaires entre elles?

et puisque = 1 si n=m cela veut dire que pour un harmonique les bases sont fonctions de bases sont normalisées?

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Merci de m'indiquer si il y a une erreur dans mon resonnement
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[invite88ef51f0]

Salut,
Oui, c'est ça. Les cosinus et les sinus forment deux familles qui sont chacune orthonormées et qui sont orthogonales.

[invite9c7554e3]

Salut,
Oui, c'est ça. Les cosinus et les sinus forment deux familles qui sont chacune orthonormées et qui sont orthogonales.

merci coincoin de ta reponse,

juste un petit truc:
Si pour des harmoniques différents (n et m) on a le produit scalaire de et qui est nul

alors cela veux dire les bases associées à chaques harmoniques ont efectuées une rotation de ?

[invite88ef51f0]

Je ne comprends pas ta question. De quel angle parles-tu ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c7554e3]

en faite je parle de cette relation:




on a cos(n) et sin(n) qui forment la base de l'harmonique n
et cos(m) et sin(m) qui forment la base de l'harmonique m


et comme on a pour n différent de m:

et



cela veut dire que les fonction sinus(n) et sinus(m) sont orthogonales de meme pour cosinus:

donc la base formé par l'harmonique n peut etre vu comme une rotation de pi/2 par rapport à l'harmonique m autour de la troisieme direction ?

[invite1e1a1a86]

rotation par rapport à un harmonique?
troisieme direction?
Quel sens donnes tu à ces termes?

la famille de fonction (x->cos(nx), x->sin(mx) ) et n parcourant N, m parcourant N* est une base de l'espace vectoriel (de dimension infini) des fonctions périodiques de période 2Pi (au sens large, la somme pouvant être infini).
Cette base est en plus orthogonale, c'est a dire que le produit scalaire entre deux éléments de la base est nul.

on peut mettre ça en correspondance avec, par exemple, la base des suites (1,0,0,....), (0,1,0,0.....), (0,0,1,0,....).... (le nieme élement est un 1, les autres des zéros.
après parler de rotation on pourrait aussi surement (faudrait bien definir le truc car on est en dimension infini) mais... pourquoi?

[invite9c7554e3]

mais... pourquoi?

merci schliesse d'avoir pris le temps de repondre, en faite j'essai de me representer tous cela "geometriquement" mais c'est un peu dur....

En faite j'essaie de faire un lien avec les bases que l'on manipule classiquement dans les espaces vectorielles ou en mecanique....

A+