L'unification de l'espace et du temps en relativité restreinte

[invite6754323456711]

le seul véritable espace-temps est celui de la RG car réellement chaque référentiel est unique dans l'espace et dans le temps???

La notion de véritable est très imprécise et plutôt à éviter. C'est ni plus ni moins qu'un modèle qui prend en compte en plus la gravité tout comme le modèle de la RR qui ne prend pas en compte la gravité.

Dans ce cas là c'est un peu troublant: un point n'est définit que par rapport à un système de coordonnées, et celui ci se définit par rapport à quoi?

Il faut distinguer la notion mathématique de système de coordonnées de celle physique de référentiel dont l'étiquetage est réalisé par un observateur, par le biais d'opération physique, comme l'émission et la réception de signaux, la lecture d'horloge ...

Patrick
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[invité576543]

Je ne comprends pas non plus bien le propos de michel (mmy): le seul véritable espace-temps est celui de la RG car réellement chaque référentiel est unique dans l'espace et dans le temps???

Je fais une très nette distinction entre l'espace-temps "en soi" et les modèles d'espace-temps.

Je ne sais pas discuter de l'espace-temps en soi, "véritable", mais je sais discuter des propriétés mathématiques des modèles proposés.

Je sais aussi (point de vue physique) que le modèle de la RG est le plus performant.

Cela ne m'empêche pas de regarder les modèles les plus anciens, et d'essayer de les comprendre pour et par eux-mêmes, même si je sais qu'ils ne sont qu'approximatifs, au sens où les prédictions (physiques) qu'on peut faire avec sont moins fines qu'avec la RG.

Dans ce cas là c'est un peu troublant: un point n'est définit que par rapport à un système de coordonnées, et celui ci se définit par rapport à quoi? l'espace temps? du coup c'est quoi? (une variété... oui mé...) D'ailleurs j'ai lu qu'un point ne se définit pas sans référentiel (je crois que système de coordonnée est mieux non?), mais on ne peut pas dire qu'une variété est une collection de point?(pourtant sans référentiel, par un emprunt de vocabulaire très abusifs, les coordonnées d'un point ne sont elles pas les représentation des points de la variété?)

Déjà, faudrait distinguer clairement (mentalement et dans l'expression écrite) la notion de point de l'espace et la notion de point de l'espace-temps (d'événement).

Que ce soit en MC ou en RR, la notion d'événement est bien définie dans le modèle, en tant qu'élément d'une variété. (En RG, c'est plus compliqué.)

En plus c'est un peu difficile de comprendre en quoi la RR a du mal avec les référentiels accélérés.

Simplement parce qu'il n'y en a pas en RR qui respectent la géométrie de la RR. Si on prend une trajectoire accélérée, les hyperplans spatiaux, orthogonaux à la trajectoire, s'intersectent, ce qui ne permet pas d'y faire correspondre un référentiel.

En MC, il y a des référentiels accélérés parce que le feuilletage en hyperplans est indépendant de la trajectoire (jamais d'intersection, quelle que soit la trajectoire). Et en RG il y en a parce qu'on fait sauter la contrainte d'être un feuilletage par hyperplans, c'est à dire de respecter une métrique globale.

J.J. Labarthe a écrit un cours qui parle (entre autres) du champs EM produit par une charge accélérée uniformément, dans un référentiel où la vitesse est nulle, pour simplifier les calculs, c'est donc un référentiel accéléré. Tout ça ave la RR.

On peut discuter si c'est vraiment "avec la RR", et sans aucun outil venant de la RG...

Il faut comprendre que la RG couvre diverses choses : une théorie cadre de la physique (principe de covariance générale), des modèles de la notion d'espace-temps, et une théorie de la gravitation.

Quand on modélise quelque chose à gravitation nulle, on peut "brouiller" la frontière entre RR et RG, en utilisant des concepts de la RG indépendants de la gravitation.

ne doit-on pas plutôt dire que la RR ne peut pas se contenter de la métrique de minkowski?

Si on fait cela, ce n'est plus le modèle de l'espace-temps appelé "espace-temps de Minkowski", et que je considère être celui de la RR.

Ce qu'on sait, c'est que la RR n'est pas un cadre acceptable pour une théorie de la gravitation (contrairement à la MC !) ; c'est ce qui a amené la RG, non?

C'est elle qui ne tient pas, pour moi la RG c'est RR+ principe d'équivalence des masses inertes et graves, d'où RG= RR dans les référentiels en chute libre (toujours trouvables!!), donc tous les référentiels peuvent devenir inertiels moyennant un choix de système de coordonnées.

Non. Ils sont "localement inertiels", au mieux.

Un modèle (avec arrière-plan) de l'espace-temps de la RG est une variété différentielle ayant en chaque point (événement) un espace-temps de Minkowski tangent (ce qui est plus précis, et inclut, la notion de local) dans lequel le principe d'inertie s'applique.

C'est la même chose que de dire qu'à la surface terrestre il y a en tout point un repère euclidien avec verticale et plan horizontal Cela ne permet pas de construire des repères euclidiens de la surface terrestre ! Par contre on peut à partir de cela construire des systèmes de coordonnées (genre altitude, latitude, longitude) qui sont localement (au sens tangent) des repères euclidiens avec verticale et plan horizontal.

[invité576543]

Pour l'instant la différence(...)

Tout ce que tu cites ressort de l'interprétation physique du modèle.

Ce dont je parlais était la nature mathématique des modèles.

Il y a évidemment un rapport, mais je préfère bien asseoir ce que sont les modèles directement, plutôt que via les interprétations physiques.

[invite6754323456711]

Simplement parce qu'il n'y en a pas en RR qui respectent la géométrie de la RR. Si on prend une trajectoire accélérée, les hyperplans spatiaux, orthogonaux à la trajectoire, s'intersectent, ce qui ne permet pas d'y faire correspondre un référentiel.

On peut tout de même définir des notions de courbure et de torsions à l'aide du concept de tétrade de Serret-Frenet. L'inverse de la 4-accélération dans le cadre de l'espace-temps de Minkowski peut s'interpréter comme la distance de la ligne d'univers L à laquelle deux hyperplans orthogonaux au vecteur 4-vitesse en deux points voisin de L se rencontrent. Similaire au rayon de courbure de L au point considéré dans un espace euclidien. Le vecteur de genre espace 4-accélération est appelé dans ce contexte courbure de la ligne d'univers L au point considéré.

Patrick

[invité576543]

On peut tout de même définir des notions de courbure et de torsions à l'aide du concept de tétrade de Serret-Frenet. (...)

Outils typiques RG (1). Et le sujet était les référentiels, pas les outils mathématiques qu'on peut employer localement...

(1) L'espace-temps de la RR entre parfaitement dans le cadre de la RG C'est juste le cas "plat", i.e., sans gravitation. Comment distingues-tu "dans le cadre de la RR" et "dans le cadre de la RG avec une courbure nulle" ?

[invite473b98a4]

ok merci, je vais bien relire, car je décroche sur certaines parties, mais je par contre je sais bien que j'aurais du préciser "localement", c'est un oubli "un peu" volontaire, c'est quand même assez dérangeant puisque une accélération n'est qu'une différence entre deux vitesse (oui là il faut définir le référentiel), et que le problème posé par le manège est un effet de contraction des longueurs consécutif à un boost de lorentz, le phénomène lui semble a priori de même nature si tant est que ça veuille dire quelque chose.

[invite473b98a4]

juste une petite question, c'est vraiment grave cette histoire d'intersection des hyperplans? Deux hyperplans d'une trajectoire ayant subie une accélération pendant une durée(propre ou pas) donnée, se croisent, mais exactement comme deux évènements distincts, (ce qu'ils sont non?) par définition ce ne sont pas les mêmes référentiels inertiels...mais bon... ce sont les évènements qui définissent les référentiels?

[invite6754323456711]

Outils typiques RG (1). Et le sujet était les référentiels, pas les outils mathématiques qu'on peut employer localement...

(1) L'espace-temps de la RR entre parfaitement dans le cadre de la RG C'est juste le cas "plat", i.e., sans gravitation. Comment distingues-tu "dans le cadre de la RR" et "dans le cadre de la RG avec une courbure nulle" ?

Oui, mais tu sembles réticent à cette approche non conventionnelle proposé par E.G de présenter la RR afin de commencer à s'initier au concept de la la RG . Tout y est démontré mathématiquement.

Ce dont je parlais était la nature mathématique des modèles.

Il y a évidemment un rapport, mais je préfère bien asseoir ce que sont les modèles directement, plutôt que via les interprétations physiques.

Dans La Science et l'hypothèse Henry Poincaré affirme sans ambiguïté, que les objets mathématiques sont d'une nature qui ne dépend pas des objets matériels : "les axiomes ne sont pas des énoncés synthétiques, ni des énoncés à priori, ni des faits expérimentaux. Ce sont des conventions [...] une géométrie ne peut pas être plus "vraie" qu'une autre, elle peut seulement être plus commode". Pour Poincaré la pertinence des modèles physique est un problème de modélisation, pas un problème de mathématique.

E.G, suite certainement à son retour d'expérience dans l'enseignment de la RR et de la RG propose une autre convention dans la présentation de la RR afin de préparer le lecteur à la RG.

Patrick

[invité576543]

(...)

Je ne sais pas où tu veux en venir.

Je n'étais intervenu que pour la comparaison entre MC et RR, en rapport avec l'unification temps/espace.

Et tu pars dans des considérations diverses et variées sur la RR et la RG, en argüant sur tout et rien, sans fil.

[invité576543]

juste une petite question, c'est vraiment grave cette histoire d'intersection des hyperplans?

Pas une question de "grave", juste de ce qu'on appelle un référentiel.

Un référentiel ce ne concerne pas pas une seule trajectoire, cela concerne tout l'espace-temps.

[invite473b98a4]

oué ok, pas de référentiel en RG donc? Juste un système de coordonnées locales, mais enfin bon ça je le savais en fait (sans vouloir être méchant, c'est plutôt de moi dont je ris)

[invité576543]

oué ok, pas de référentiel en RG donc?

Pas ce que j'ai écrit. Ce que j'ai écrit est que la RR est une théorie des référentiels inertiels.

[invite473b98a4]

mmmh il est tôt mais bon, je faisais référence à

Un référentiel ce ne concerne pas pas une seule trajectoire, cela concerne tout l'espace-temps

, comme la totalité de l'espace temps ne peut pas être embrassé par un système de coordonnées je croyais que ça impliquait ça. Il me semble que tous les référentiels sont locaux en RG, pas seulement les référentiels inertiels (ou plutôt les référentiels sont localement accélérés ). Mais bon je m'y perd un peu avec toutes ces subtilités. C'est quand même bizarre qu'une structure plus complexe (la mécanique classique) donne des calculs plus simples à faire.

[ordage]

Pas ce que j'ai écrit. Ce que j'ai écrit est que la RR est une théorie des référentiels inertiels.

Salut

Ne peut on pas dire la même chose de la RG?

Sauf que les référentiels inertiels ne sont plus des droites!

Historiquement c'est bien le problème que se posait Einstein, transposer la RR en présence de gravitation.

Les mouvements non inertiels me semblent relever de la cinématique en RR comme en RG mais dans des espaces plats dans un cas et courbe dans l'autre.

Mais cela rejoint un autre fil où nous avions eu le même débat sur la terminologie, où il n'y a manifestement pas unanimité!

A part cette querelle de terminologie, l'important c'est d'être d'accord sur la manière dont on traite les problèmes et là dessus il me semble qu'il y a consensus....
Cordialement.

[invite6754323456711]

Ce que j'ai écrit est que la RR est une théorie des référentiels inertiels.

J'insiste et c'est la ou je veux en venir. C'est un point de vue restrictif qui ne semble pas partagé par tous les physiciens/astrophysiciens. Une autre vision est que parmi tous les observateur, il est naturel de distinguer ceux dont le référentiel local est constant le long de la ligne d'univers qui sont appelé observateur inertiel. Dans ce cadre les observateurs inertiels sont les observateurs "les plus simples" de l'espace-temps de Minkowski. La tétrade de Serret-Frenet est un exemple qui satisfait aux critères de définition d'un référentiel local dans l'espace-temps de Minkowski.

Patrick

[invité576543]

un exemple qui satisfait aux critères de définition d'un référentiel local dans l'espace-temps de Minkowski.

As-tu déjà vu la notion de "repère local" à un point du un plan euclidien ?

La notion de référentiel local en RG, c'est un référentiel (global) parmi ceux de l'espace de Minkowski tangent au point considéré. C'est quoi l'espace de Minkowski tangent à un espace de Minkowski ?

[invité576543]

Salut

Ne peut on pas dire la même chose de la RG?

Sauf que les référentiels inertiels ne sont plus des droites!

Il n'y a pas de référentiels inertiels en RG (sauf cas exceptionnels), à ce que j'en comprends.

Il y a des référentiels.

Et il y a des référentiels inertiels tangents. (La tangence ce n'est pas seulement des "droites", mais tout un espace 4D qui est tangent, avec ses référentiels.)

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Querelle de terminologie ? Peut-être... N'empêche qu'il a fallu des siècles avant de comprendre, au milieu du XIXème, qu'il y avait autre chose que la géométrie euclidienne (donc plate). Et on a continué ensuite à faire de la géométrie euclidienne avec la terminologie de la géométrie euclidienne...

Passer tranquillement de la RR à la RG, c'est similaire à passer tranquillement de la géométrie euclidienne à la géométrie Riemannienne, un pas considéré usuellement comme très difficile.

Faut croire que le vocabulaire de la physique rend simple ce qui est difficile en mathématiques...

[invité576543]

Sinon, ces interventions continuent un hors sujet dans ce fil, et je me dis que je ferais mieux de ne pas y répondre.

Pourquoi ne formulez-vous pas clairement le problème qui vous intéresse, et y consacrez une autre discussion ?

[Seirios]

Simplement parce qu'il n'y en a pas en RR qui respectent la géométrie de la RR. Si on prend une trajectoire accélérée, les hyperplans spatiaux, orthogonaux à la trajectoire, s'intersectent, ce qui ne permet pas d'y faire correspondre un référentiel.

En MC, il y a des référentiels accélérés parce que le feuilletage en hyperplans est indépendant de la trajectoire (jamais d'intersection, quelle que soit la trajectoire). Et en RG il y en a parce qu'on fait sauter la contrainte d'être un feuilletage par hyperplans, c'est à dire de respecter une métrique globale.

Donc si j'ai bien compris, en mécanique classique, l'espace-temps a une structure d'espace fibré canonique, à cause du caractère absolu du temps, ce qui explique l'existence de référentiels accélérés : cette structure est intrinsèque à l'espace-temps, et ne dépend pas du mouvement de l'observateur.

En relativité restreinte, on ne peut associer à l'espace-temps une structure d'espace fibré seulement en considérant un référentiel ; et en encore, pas n'importe quel référentiel, puisqu'il ne peut pas être accéléré (si bien qu'il n'existe pas de référentiel accéléré).

Mais pour caractériser cette structure fibrée, utilise-t-on la notion d'instantanéité ? Il me semble avoir lu qu'en disant que si l'on considère un observateur suivant une ligne d'univers L, alors on dit que (paramétré à partir du temps propre) et un point quelconque de l'espace-temps B sont simultannés si on peut émettre une rayon lumineux depuis , qu'il soit réfléchi en B puis détecté en ; on définit ainsi un hyperplan tangent à la ligne d'univers de l'observateur. Peut-on ainsi définir une structure de fibrée ?

Par contre, je me demandais : une ligne d'univers peut-elle être définie sans considérer de référentiel ?

Et pourrais-tu en dire plus sur l'intersection des hyperplans à une trajectoire accélérée en RR ?

[invite473b98a4]

c'est qu'on nous apprend surtout à utiliser des connexions (ce qui peut se faire dans un espace euclidien, avec des coordonnées sphériques par exemple), et encore je présume de mes connaissances, j'en dis plus que j'en sais là. Et sinon pour moi tangent = local. local c'est physique, tangent c'est mathématique. Le plus rigoureux est surement le mathématique, enfin, moi ça ma intéressé tout de même vos réponses, dommage que vous partiez.

[invité576543]

Donc si j'ai bien compris, en mécanique classique, l'espace-temps a une structure d'espace fibré canonique, à cause du caractère absolu du temps, ce qui explique l'existence de référentiels accélérés : cette structure est intrinsèque à l'espace-temps, et ne dépend pas du mouvement de l'observateur.

Oui, ce qui correspond à une séparation fondamentale, claire dans la structure fibré, entre temps et espace.

En relativité restreinte, on ne peut associer à l'espace-temps une structure d'espace fibré seulement en considérant un référentiel ; et en encore, pas n'importe quel référentiel, puisqu'il ne peut pas être accéléré (si bien qu'il n'existe pas de référentiel accéléré).

Oui, en notant que "structure d'espace fibré" est restreint implicitement dans le texte à "fibration temps --> espace".

Mais pour caractériser cette structure fibrée, utilise-t-on la notion d'instantanéité ?

Je ne comprends pas "instantanéité". Veux-tu dire "simultanéité" ? Auquel cas la réponse est non, elle la définit.

Il me semble avoir lu qu'en disant que si l'on considère un observateur suivant une ligne d'univers L, alors on dit que (paramétré à partir du temps propre) et un point quelconque de l'espace-temps B sont simultannés si on peut émettre une rayon lumineux depuis , qu'il soit réfléchi en B puis détecté en ; on définit ainsi un hyperplan tangent à la ligne d'univers de l'observateur. Peut-on ainsi définir une structure de fibrée ?

J'imagine que oui. (Mais le mot fibré est alors un bien grand mot pour juste dire définir des hypersurfaces de simultanéité.)

Par contre, je me demandais : une ligne d'univers peut-elle être définie sans considérer de référentiel ?

Oui, c'est juste une ligne (une sous-variété différentielle de dimension 1) de genre temps.

En fait la relation est dans l'autre sens : la "bonne" définition de référentiel part des lignes d'Univers. Référentiel = fibration de l'espace-temps par des lignes d'Univers, ou, en français moins codé, ensemble de lignes d'univers qui ne s'intersectent pas et dont l'union couvre tout l'espace-temps

Et pourrais-tu en dire plus sur l'intersection des hyperplans à une trajectoire accélérée en RR ?

Pas plus compliqué que l'idée qu'en euclidien les droites perpendiculaires à une courbe continue s'intersectent en général, sauf dans le cas particulier d'un segment de droite.

Une trajectoire non accélérée en RR et de genre temps est une droite en 4D...

[invite473b98a4]

Je crois que ce que tu as lu c'est le calcul du temps propre, c'est très local, et on ne parle je crois que d'un seul référentiel local, n'étant pas familier avec les espaces fibrés quelqu'un d'autre aura surement une meilleure réponse. Mais d'après la définition de wiki, un fibré est un espace sur lequel on peut localement faire une décomposition, un feuilletage, de ce que j'en comprends. par exemple avec des vecteurs du genre temps et des hypersurfaces de genre (espace?). Je ne comprends pas pourquoi ce feuilletage est si important, le temps est sensiblement différent des autres coordonnées uniquement en minkowski, d'où la fameuse question sur l'espace temps... Il existe d'autres hypersurfaces.

[invite473b98a4]

Une trajectoire non accélérée en RR et de genre temps est une droite en 4D...

En 2D surtout (peut-être plus simple à visualiser sur un graphique x-t), je crois pouvoir faire deux droites non parallèles qui ne se croisent pas en 3D d'espace.

[invite6754323456711]

Bonjour,

Je suis tout de même surpris de lire que le cadre de la RR (espace-temps de Minkowski) ne permet pas de traiter le cas d'observateur accéléré (linéaire et rotation).

Comment vérifiions nous les lois de la dynamique qui découlent du cadre de la RR ? Sachant qu'un observateur parfaitement inertiel au sens de la RR n'est pas satisfait par la nature (cela ne court pas les rues). Même une approximation. Comment vérifier cette approximation si la RR ne permet pas de traiter les observateurs accélérés (par rapport à une référence théorique qui ne peut être confronté aux données empiriques ?)


Patrick

[invite473b98a4]

cette réponse me laisse penser qu'il existe bien une compréhension physique: parce que c'en est une excellente approximation.

[Seirios]

Je ne comprends pas "instantanéité". Veux-tu dire "simultanéité" ? Auquel cas la réponse est non, elle la définit.

Comment introduit-on alors la structure d'espace fibré formellement ? La structure n'est certainement pas arbitraire, quels sont les critères mis en avant ?

[invite6754323456711]

parce que c'en est une excellente approximation.

L'approximation il faut aussi pouvoir la valider/vérifier.

Autre point qui m'interpelle est la notion apparemment fondamentale en physique (et non mathématique) de devoir pour des référentiels de couvrir tout l'espace-temps.

Quel est l'intérêt physique d'un référentiel ? N'est-ce pas de permettre à un observateur de faire des mesures pour vérifier la validée des lois physique exprimées ?

Ces mesures ne sont elles pas que locale à l'observateur ?

Patrick

[invité576543]

Je suis tout de même surpris de lire que le cadre de la RR (espace-temps de Minkowski) ne permet pas de traiter le cas d'observateur accéléré (linéaire et rotation).

Grr... Il n'a jamais été question de cela. Il a été question de référentiel. On peu très bien (heureusement) traiter une trajectoire accélérée vue dans un référentiel galiléen !

De même qu'on peut étudier une parabole dans un repère euclidien

[invite6754323456711]

Grr... Il n'a jamais été question de cela. Il a été question de référentiel.

Oui, mais dans les "faits de la nature" c'est un observateur qui fait les mesures. C'est donc à lui qui faut attacher un référentiel accéléré (linéaire et rotation).

Patrick

[invité576543]

Comment introduit-on alors la structure d'espace fibré formellement ?

Déjà il faut faire la distinction entre une fibration, et un espace fibré.

Un référentiel en RR peut être vu comme une fibration (soit ligne d'univers --> hyperplans spatiaux, soit espace --> trajectoires immobiles), mais la structure de l'espace-temps de Minkowski reste 4D.

Une structure d'espace fibré correspond à "l'oubli" de la relation entre fibres (que ce soit proches ou lointaines), de la correspondance entre fibres. Dans le cas de la MC, la structure fibrée est plus proche de la "réalité physique", parce qu'elle n'impose pas de relation entre tranches spatiales. Par contre la fibration en RR ne fait pas perdre cette relation, qui est imposée par la structure 4D.

Ou encore, en MC la notion d'événements proches est parfaitement définie seulement si les événements sont simultanés (c'est la métrique de l'espace), mais non définie sinon. La "proximité" dépend du référentiel. Soit une fusée allant uniformément à 200 millions d'A.L. par seconde dans le modèle de la MC, alors notre galaxie est "juste à côté" de la galaxie d'Andromède pour un voyageur de la fusée qui considère la fusée immobile (comme quand nous considérons la Terre, ou notre maison, ou la chaise sur laquelle on est assis, comme immobile).

Alors qu'en RR, la distance entre paire d'événements est absolue, fixée par la structure, indépendante de tout choix de référentiel.

La différence entre structure fibré R-->R³ et R⁴ est cette perte de correspondance entre fibres. (Cette correspondance peut être rajoutée, arbitrairement, c'est ce qu'on appelle une connexion. Un référentiel en MC est une connexion différentiable arbitraire entre tranches spatiales (les fibres), alors qu'un référentiel en RR est une fibration + une connexion canonique, imposée par la structure d'espace de Minkowski. Il n'y pas le choix de la connexion, ce qui revient à dire que ce n'est pas vraiment une structure de fibré, c'est plus riche.)