lagrangien et jauge

[invite66ac4c45]

Bonjour à tous,

J'ai lu dans un livre que les équations d' E-L n'étaient pas modifiées si on ajoutait au lagrangien la différentielle totale par rapport au temps d'une fonction f , je n'ai réussi à le prouver que pour une fonction dépendant des coordonnées généralisées et du temps ( mais pas des vitesses généralisées ...).
Est il possible de le montrer pour une fonction dépendant aussi des vitesses généralisées ?

Cette liberté au niveau du lagrangien est elle une liberté de Jauge ??

Je m'explique, j'ai trouvé sur Wikipedia que le lagrangien d'une charge q placée dans un champ électromagnétique était:



Je me suis donc dit qu'en posant :



les équations du mouvement ne devaient pas changer, car ces transformations de jauges ne changent rien en électroM !!

Le tout semble assez jolie car j'obtiens dans le lagrangien un terme supplémentaire de la forme :


Dans lequel il me semble reconnaitre la dérivée convective qui est équivalente à une dérivée totale !

Ce raisonnement est il juste ? La liberté dans le choix du lagrangien correspond elle à une liberté de jauge ?

Quelqu'un pourrait il me donner des références sur le sujet des transformations de jauges assez accessibles ?

Je sais que ça fait beaucoup de questions, donc merci d'avance pour vos réponses et bonnes soirées !!
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[invite51ba12d6]

Salut Max..

Bonjour à tous,

J'ai lu dans un livre que les équations d' E-L n'étaient pas modifiées si on ajoutait au lagrangien la différentielle totale par rapport au temps d'une fonction f , je n'ai réussi à le prouver que pour une fonction dépendant des coordonnées généralisées et du temps ( mais pas des vitesses généralisées ...).
Est il possible de le montrer pour une fonction dépendant aussi des vitesses généralisées ?
Cette liberté au niveau du lagrangien est elle une liberté de Jauge ??

Les equations de mouvement qui decoulent du lagrangien ne changent pas si on rajoute a ce dernier une derivee totale..
il suffit de prendre L=L+DF , ou DF est la diff. totale de la fonction F et de calculer les equations de mouvement d'euler-lagrange..
tu verras que F disparait.

L'electromagnetisme n'est qu'un cas particulier.

Ce raisonnement est il juste ? La liberté dans le choix du lagrangien correspond elle à une liberté de jauge ?
!

Oui, tu montres que les transformations que tu apportes a (Phi,A) laissent invariantes les eq. du mouvement (dans ce cas Maxwell)..
elles correspondent en effet a des transformations de jauge, mais ceci provient d'autre chose : de la symetrie du probleme.

Quelqu'un pourrait il me donner des références sur le sujet des transformations de jauges assez accessibles ?

Regarde ca, et les liens vers les autres pages ( c'est en anglais)
http://quantummechanics.ucsd.edu/ph1...s/node453.html


Bon courage Max

[mariposa]

Oui, tu montres que les transformations que tu apportes a (Phi,A) laissent invariantes les eq. du mouvement (dans ce cas Maxwell)..
elles correspondent en effet a des transformations de jauge, mais ceci provient d'autre chose : de la symétrie du problème.

bonjour,


Pourquoi : "provient d'autre chose".

les changements de jauge forment un groupe (le groupe de jauge)qui laissent invariantes les équations de Maxwell (ou d'une manière équivalente l'action S) ce qui est par définition une symétrie. C'est la symétrie de jauge.

[invite51ba12d6]

Bonjour Mariposa

Pourquoi : "provient d'autre chose".

les changements de jauge forment un groupe (le groupe de jauge)qui laissent invariantes les équations de Maxwell (ou d'une manière équivalente l'action S) ce qui est par définition une symétrie. C'est la symétrie de jauge.

En rajoutant n'importe quelle differentielle totale au lagrangien les equations de mouvement restent inchangees.. est-ce pour autant une transformation de jauge ?

L'origine de cette transformation n'est pas les equations d'euler lagrange mais la symetrie U(1) (dans notre cas) du probleme. Pour la voir il faut remonter a l'equation de Dirac de l'electron couple au photon (QED).. sinon c'est du ad-hoc
..

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariposa]

Bonjour Mariposa

En rajoutant n'importe quelle differentielle totale au lagrangien les equations de mouvement restent inchangees.. est-ce pour autant une transformation de jauge ?

Bonjour,


Bien sur que si c'est une transformation de jauge qui laisse invariante les équations de Maxwell. D'ailleurs il est bien connu qu'il y a 2 grandes jauges: la jauge de Coulomb (pour faire de l'électrodynamique quantique où les électrons ont de faibles vitesses) et la jauge de Lorentz qui permet de manipuler les équations de maxwell de façon covariante à SO(1,3)

L'origine de cette transformation n'est pas les equations d'euler lagrange mais la symetrie U(1) (dans notre cas) du probleme. Pour la voir il faut remonter a l'equation de Dirac de l'electron couple au photon (QED).. sinon c'est du ad-hoc
..

C'est totalement lié.

L'écriture du Lagrangien d'un champ standard comporte une forme quadratique F*F et la dérivée dF*dF.

il est évident que ce lagrangien est invariant par changement de phase. Autrement fit il est invariant sous U(1). par anticipation on dit qu'il s'agit d'une invariance de jauge global, bien qu' a ce niveau l'expression invariance de jauge n'a aucun sens (on a pas changer le lagrangien d'un pouce).

Si maintenant on fait un changement de phase arbitraire en chaque point (r,t) du champ, il est facile de constater que le champ perd l'invariance de jauge à cause de l'opération dérivation du champ.

Maintenant si on annule le nouveau terme on introduit mécaniquement le couplage j.A où A est le potentiel vecteur. C'est ainsi que l'on définit une nouvelle dérivée (qui s'appelle dérivée covariante dans le contexte de la théorie des fibrés) dont l'opération est désormais invariante de jauge locale. A ce terme on peut ajouter le Lagrangien électromagnétique usuel qui est bien invariant de jauge local.

La morale de l'histoire est que l'invariance locale de la phase entraine mécaniquement l'expression du Lagrangien total c'est à dire le champ électronique + le champ électromagnétique + couplage j.A des 2 champs.

C'est donc le Lagrangien total qui est invariant de jauge locale, sachant que le lagrangien purement électromagnétique était déjà invariant de jauge locale.

Pour finir sur la sémantique.

Dans l'expression jauge locale. Le mot jauge provient de l'invariance du Lagrangien purement électromagnétique alors que l'expression locale est introduit parle changement de phase arbitraire en chaque point.

Rétrospectivement on appelle changement de jauge globale, ce qui n'est en rien un changement de jauge puisque l'on ne modifie le Lagrangien.