Décompostion en vecteurs propres d'une équation de Laplace

[invite2cb5539e]

Bonjour à tous,

Je commence tout juste à aborder en cours de physique la théorie spectrale des opérateurs.
Je souhaiterais savoir s'il est possible de résoudre une équation du type Of(x)=0 (avec conditions aux limites/initiales) où O est un opérateur (par exemple un opérateur différentiel...)) en connaissant les valeurs propres et les vecteurs propres de l'opérateur O ?
Peut-on développer la solution de cette équation sur les vecteurs propres de O ? Quels théorèmes me permettent de prouver qu'une telle décomposition est possible ?
Les cours disponibles sur internet ne considèrent en général que l'opérateur laplacien et ne montrent pas explicitement qu'une telle décomposition est possible (bien que cela apparaisse comme résultat final).

Avez-vous des références à me conseiller à ce sujet ? Où puis-je trouver les théorèmes qui me permettraient d'avancer ? Les ouvrages sur la théorie des EDP et des distributions n'abordent pas ce problème .

Je vous remercie pour votre aide

A
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[inviteac038092]

Si il y a des valeurs propres complexes (cas des opérateurs non symétriques), on a des sous espaces propres engendrés par les parties réelles et imaginaires des vecteurs propre complexes.

[invite2cb5539e]

Bonjour pv,

Merci pour ta réponse ! mais en quoi celle-ci répond à ma question ? Il me semble aussi que l'on doit parler de sous-espace-propre seulement quand les valeurs propres sont dégénérées...donc a priori rien à voir avec ma question !

Cordialement

A

[inviteac038092]

Quand les valeurs propres sont complexes, les modes le sont aussi.

Si on travaille en réel, il n'y a pas de vecteur propre associé, mais un sous-espace engendré par la partie réelle et la partie imaginaire.

La symetrie de l'opérateur vient souvent de la commutation des derivations partielles de l'énergie. Quand le système n'est pas conservatif, l'opérateur n'est pas symétrique.

Et pour en revenir à une de tes questions, si l'opérateur est symétrique, les valeurs propres sont réelles. Et on peut projeter sur la base des sous espaces propres.

[A voir en vidéo sur Futura]