Espaces Riemanniens. ?

[invitedc31994f]

Bonjour à tous.

Voilà j'étudie depuis un moment le calcul tensoriel, et je bute sur une notion (à savoir ce qu'est un espace Riemannien), que je trouve mal expliquée dans les livres que je possède.

Donc est-ce qu'un espace de Riemann est un espace où le tenseur de courbure n'est pas identiquement nul en touts points ?

De même peut-on dire qu'un espace de Riemann est un espace où on ne peut pas trouver de systèmes de coordonnées curvilignes permettant d'interpréter le ds² comme celui d'un espace euclidien ?

Voilà j'ai essayer de poser ces définitions en recoupant diverses données dans divers ouvrages. Donc si quelqu'un peut m'éclairer à ce sujet.

Merci d'avance.
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[mariposa]

Bonjour à tous.

Voilà j'étudie depuis un moment le calcul tensoriel, et je bute sur une notion (à savoir ce qu'est un espace Riemannien), que je trouve mal expliquée dans les livres que je possède.

Donc est-ce qu'un espace de Riemann est un espace où le tenseur de courbure n'est pas identiquement nul en touts points ?

Bonjour,

c'est exacte, tu peux le définir ainsi, ce qui suppose que tu es construit, au préalable, le tenseur de courbure.

Il est préférable de définir un espace de Riemann par la distance entre 2 points infiniment voisins sous forme différentielle.


ds2 = Gij (X).dxi.dxj (sommation sur les i et les j

ce qui veut dire que dans un système de coordonnées locales la distance entre 2 points dans un même voisinage dépend du point X.

Gij est un tenseur symétrique dépendant du point X

Le tenseur de courbure en un point X, dérive du tenseur métrique au point X.

Si le tenseur métrique est constant alors le tenseur de courbure est nul partout.

De même peut-on dire qu'un espace de Riemann est un espace où on ne peut pas trouver de systèmes de coordonnées curvilignes permettant d'interpréter le ds² comme celui d'un espace euclidien ?

Si tu te places en un point X° particulier tu peux diagonaliser la métrique Gij (X°), cad effectuer un changement de base, mais tu ne peux pas le faire partout en même temps. Géométriquement cela revient à dire que tu peux assimiler localement une variété Riemanienne à son volume tangent, cad à une variété euclidienne (pour une surface, c'est un plan tangent) mais les plans tangents ne sont pas commun à tous les points (sauf dans le cas où la métrique ne dépend pas du point.

[invitedc31994f]

Merci Mariposa, c'est plus clair maintenant. Ainsi si je prend un cylindre le ds² de cet espace est à coefficients constants en coordonnées curvilignes cylindriques (r,théta). C'est donc un espace euclidien.

A l'inverse pour la sphère cela n'est pas possible, (après pour montrer qu'aucun système de coordonnées curvilignes convient je ne sais pas faire). Mais j'ai calculé le tenseur de courbure et ils n'est pas nul.

En tout cas cela semble logique, on peut développer un cylindre sur un plan mais pas une sphère sur un plan.