Modèle de Drude - Temps de relaxation...

[inviteaf5072d2]

Bonjour,

Autant annoncer tout de suite la couleur, je ne suis pas un spécialiste, seulement un curieux. Au détour de mes recherches sur internet, je suis tombé sur la page : Modèle de Drude
J'arrive bien à comprendre le concept indiqué dans la définition. Dans les hypothèses préliminaires, il est question du temps moyen entre collision aussi appelé temps de relaxation. J'ai cherché des explications sur le temps de relaxation. Je n'ai trouvé d'explication qui pourrait convenir (à confirmer) qu'en anglais, toujours sur wikipedia, la définition du "dielectric relaxation time".
Mon problème est le suivant :
- D'une part, je n'arrive pas à relier cette notion (si j'ai bien compris) de temps que mets le diélectrique à s'adapter à l'application d'un champ électrique avant de voir les charges se mettre en mouvement et le temps moyen entre deux collisions consécutives... Si quelqu'un connait un site, un endroit sur internet où les valeurs de ce temps de relaxation pour différents métaux et dielectriques est donné?... Sur Google, pas trouvé.
- D'autre part, dans l'équation conductivité = (ne²)[temps de relaxation]/m.
n, c'est un ensemble n d'électrons, pour moi c'est vague.
e, la charge de l'électron. (Ok ?)
Notre fameux temps de relaxation, (Si j'ai une explication qui le défini clairement ça ira,)
m, ça semble être une masse, mais la masse de quoi ?

Je vous demanderai d'avoir pitié pour mon neurone et si possible de me donner des explications dans un langage simple. Merci d'avance pour cet effort, car je sais que pour être en mesure d'expliquer dans des termes simples des données (qui à mon niveau semblent) compliquées, il faut un sacré niveau dans la matière.

Si vous êtes en mesure de me donner ces clarifications, je vous envoie d'avance tout mon respect...
-----

[b@z66]

Bonjour,

Autant annoncer tout de suite la couleur, je ne suis pas un spécialiste, seulement un curieux. Au détour de mes recherches sur internet, je suis tombé sur la page : Modèle de Drude
J'arrive bien à comprendre le concept indiqué dans la définition. Dans les hypothèses préliminaires, il est question du temps moyen entre collision aussi appelé temps de relaxation. J'ai cherché des explications sur le temps de relaxation. Je n'ai trouvé d'explication qui pourrait convenir (à confirmer) qu'en anglais, toujours sur wikipedia, la définition du "dielectric relaxation time".
Mon problème est le suivant :
- D'une part, je n'arrive pas à relier cette notion (si j'ai bien compris) de temps que mets le diélectrique à s'adapter à l'application d'un champ électrique avant de voir les charges se mettre en mouvement et le temps moyen entre deux collisions consécutives... Si quelqu'un connait un site, un endroit sur internet où les valeurs de ce temps de relaxation pour différents métaux et dielectriques est donné?... Sur Google, pas trouvé.
- D'autre part, dans l'équation conductivité = (ne²)[temps de relaxation]/m.
n, c'est un ensemble n d'électrons, pour moi c'est vague.
e, la charge de l'électron. (Ok ?)
Notre fameux temps de relaxation, (Si j'ai une explication qui le défini clairement ça ira,)
m, ça semble être une masse, mais la masse de quoi ?

Je vous demanderai d'avoir pitié pour mon neurone et si possible de me donner des explications dans un langage simple. Merci d'avance pour cet effort, car je sais que pour être en mesure d'expliquer dans des termes simples des données (qui à mon niveau semblent) compliquées, il faut un sacré niveau dans la matière.

Si vous êtes en mesure de me donner ces clarifications, je vous envoie d'avance tout mon respect...

Dans ce modèle, ce temps de "relaxation" est le temps moyen entre les deux collisions successives d'un électron. Il dépend de la vitesse moyenne de l'électron et de la distance moyenne parcourue par cet électron. La distance moyenne est relative au matériau et à son réseau d'atome. La vitesse quadratique moyenne, elle, ne dépend pas principalement du champ électrique appliquée comme on pourrait s'y attendre mais uniquement de l'agitation thermique de l'électron qui induit des vitesses pour l'électron largement supérieures à celle induite par la présence d'un champ électrique extérieur appliqué. En conséquence, on considère que ce temps de relaxation est effectivement constant quel que soit la tension appliquée sur une résistance par exemple.

n=densité d'électron par m³.
e=charge de l'électron en C (apparait par l'intermédiaire de la force électrique).
m=masse de l'électron en Kg(apparait par l'intermédiaire du principe fondamental de la dynamique).

Si tu veux, tu peux retrouver les formules dont tu parles assez facilement en cherchant bêtement la vitesse moyenne des électrons lorsqu'ils se cognent comme ça aux atomes(leur vitesse devient nulle) pour être ensuite à nouveau accélérer par un champ électrique appliqué puis arrêté, accéléré, arrêté, accéléré, arrêté... Après, il faut faire le lien entre le courant et la tension.

[b@z66]

Je vais faire une petite démonstration sommaire de ta formule. On calcule d'abord la vitesse moyenne d'un électron accéléré par un champ électrique E entre deux collisions. On part de F=m.a.

Soit:
q.E=m.a puisque F=qE
donc
a=dv/dt=qE/m ou v=(qE/m)t+constante
On considère la vitesse initiale nulle:
v(t)=(qE/m)t
Au bout d'un temps tau(temps de relaxation), cela donne une vitesse maximale de vmax=(qE/m).tau
La vitesse moyenne est la moitié de cette vitesse max puisque la vitesse oscille en dent de scie entre 0 et cette valeur max.
vmoy=(qE/2m).tau
La définition du courant passe par la formule: I=J.S avec J la densité d'électron traversant par m² et S la surface de la section du conducteur.
On a aussi J=n.q.vmoy qui met en lumière le fait que J dépend de la vitesse des électrons et de leur quantité dans le matériau.
Dernière formule à prendre en compte: U=E.L avec U la tension appliqué sur un conducteur de longueur L et donnant un champ E.

Avec toutes ces formules simples, on fait disparaitre quelques inconnues et on arrive à:
U=(1/(n.q².tau/(2m)).L/S)I=((1/sigma).L/S)I
d'où la conductivité sigma vaut:

sigma=n.q².tau/(2m)

Tu auras constaté la présence d'un facteur 2 dans l'expression finale qui diffère par rapport à la formule que tu connais. En réalité, je n'ai pas pris en compte l'aspect statistique de la distribution du temps de relaxation(aussi appelé temps de libre parcours) dans mon calcul pour le simplifier, ce qui explique mon résultat légèrement différent et erroné.

[invite7ce6aa19]

Bonjour,
J'arrive bien à comprendre le concept indiqué dans la définition. Dans les hypothèses préliminaires, il est question du temps moyen entre collision aussi appelé temps de relaxation. J'ai cherché des explications sur le temps de relaxation. Je n'ai trouvé d'explication qui pourrait convenir (à confirmer) qu'en anglais, toujours sur wikipedia, la définition du "dielectric relaxation time".
Mon problème est le suivant :
- D'une part, je n'arrive pas à relier cette notion (si j'ai bien compris) de temps que mets le diélectrique à s'adapter à l'application d'un champ électrique avant de voir les charges se mettre en mouvement et le temps moyen entre deux collisions consécutives... Si quelqu'un connait un site, un endroit sur internet où les valeurs de ce temps de relaxation pour différents métaux et dielectriques est donné?... Sur Google, pas trouvé.
- D'autre part, dans l'équation conductivité = (ne²)[temps de relaxation]/m.
n, c'est un ensemble n d'électrons, pour moi c'est vague.
e, la charge de l'électron. (Ok ?)
Notre fameux temps de relaxation, (Si j'ai une explication qui le défini clairement ça ira,)
m, ça semble être une masse, mais la masse de quoi ?

Je vous demanderai d'avoir pitié pour mon neurone et si possible de me donner des explications dans un langage simple. Merci d'avance pour cet effort, car je sais que pour être en mesure d'expliquer dans des termes simples des données (qui à mon niveau semblent) compliquées, il faut un sacré niveau dans la matière.

Si vous êtes en mesure de me donner ces clarifications, je vous envoie d'avance tout mon respect...

Bonsoir,

Dans ta question il y a 2 choses qui n'ont pas de rapport.


Il y a le concept de temps de temps moyen entre collisions qui me semble t-il est intuitif. Accessoirement il y a le temps de ralaxation de la fonction de distribution f(r,t) qui est notion dérivant du temps moyen entre collisions. Ce qu'a écrit b@z66 est lié à çà.

Le temps moyen entre collisions va déterminer la conductivité du matériau à travers la mobilité des porteurs:

µ = e.Tau/m

Tau est le temps moyen entre 2 collisions

µ c'est la mobilité

la conductivité c'est: s = n.e.µ


Le temps de relaxation diélectrique c'est tout autre chose. c'est le temps moyen pour qu'un excès de charge électrique disparaisse.

Démonstration


Conservation du courant:

divJ + drho/dt = 0

Expression du champ électrique en fonction de la charge

div E = rho/epsilon

Courant électrique

J = s.E où s est la conductivité précédente

Quelques manipulations:

divJ = s.divE = s.rho/epsilon

que l'on reporte dans la première équation et donne:

drho(t)/dt + s/epsilon.rho (t) = 0

qui a pour solution:

rho(t) = rho°. exp[ -s/epsilon). t]

qui est une exponentielle décroissante où epsilon /s est le temps de relaxation diélectrique.

On voit que pour un bon conducteur le moindre écart à la neutralité disparait en un temps égal à la constante de relaxation diélectrique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf5072d2]

Ma première compréhension (à confirmer) concernant les éléments de l'équation:
- e et m, sont des données connues. Il est facile d'en retrouver les valeurs.
- n lui dépend du milieu, de la densité d'électron dans la matière conductrice au m³, et c'est là qu'on trouve les différences de conductivité entre différents milieu (?)

D'autre part, les deux définitions du temps de relaxation sont compatibles ? ("temps moyen entre deux collisions" et "temps que mettent les électrons à se mettre en mouvement lors de l'application d'un champ électrique"). Désolé si la réponse à cette question est déjà comprise dans ta réponse mon neurone n'a pas fait tilt...

[b@z66]

Le temps de relaxation diélectrique c'est tout autre chose. c'est le temps moyen pour qu'un excès de charge électrique disparaisse.

Merci de la précision, je m'étais effectivement aussi trompé en maintenant la confusion entre temps de libre parcours moyen(entre deux collisions) et le temps de relaxation qui n'a rien a faire avec la détermination initiale de la conductivité.

[inviteaf5072d2]

D'accord. Ce sont les mêmes noms mais deux choses différentes. Si vous le permettez, je poserai d'autres questions en rapport avec mes précédentes, sur ce fil, si j'ai besoin d'autres éclaircissements.

A oui, rho et epsilon (?)

Vous avez tout mon respect...

[b@z66]

Ma première compréhension (à confirmer) concernant les éléments de l'équation:
- e et m, sont des données connues. Il est facile d'en retrouver les valeurs.
- n lui dépend du milieu, de la densité d'électron dans la matière conductrice au m³, et c'est là qu'on trouve les différences de conductivité entre différents milieu (?)

D'autre part, les deux définitions du temps de relaxation sont compatibles ? ("temps moyen entre deux collisions" et "temps que mettent les électrons à se mettre en mouvement lors de l'application d'un champ électrique"). Désolé si la réponse à cette question est déjà comprise dans ta réponse mon neurone n'a pas fait tilt...

Effectivement, dans le modèle de Drude, c'est la densité d'électron qui fait la différence entre deux matériaux pour ce qui est de la conductivité. Après, on peut aussi citer la température du matériau qui va influer sur le temps de libre parcours moyen(il me semble aussi que c'est là que ce modèle touche le plus ses limites par rapport à ce qui se passe en pratique).

Pour ce qui est du lien entre temps de relaxation moyen et temps de libre parcours moyen, Mariposa t'a bien indiqué le lien par la formule où intervient également la permittivité.

rho=résistivité=1/conductivité
epsilon=permittivité du matériau

[b@z66]

rho=résistivité=1/conductivité
epsilon=permittivité du matériau

Encore une faute de ma part. Dans le calcul de Mariposa, rho est la densité de charge en un point. C'est "s" qui est utilisé pour la conductivité.

[inviteaf5072d2]

Excusez mon ignorance, mais j'ai du mal à concevoir la densité de charge "en un point". J'arrive à concevoir une densité dans un volume, mais pas en un "point". Comment je peux déterminer cette densité. Est ce une donnée connue ou y a t il une méthode pour la déterminer..

Merci encore..

[b@z66]

Excusez mon ignorance, mais j'ai du mal à concevoir la densité de charge "en un point". J'arrive à concevoir une densité dans un volume, mais pas en un "point". Comment je peux déterminer cette densité. Est ce une donnée connue ou y a t il une méthode pour la déterminer..

Merci encore..

Effectivement, cette façon de parler est un peu abusive(en particulier quand on parle d'objets qui se place discrètement dans l'espace). J'aurais peut-être du dire "densité dans un petit volume autour de ce point". Bien sûr, cela reste une question d'échelle(un espace d'un certain volume peut-être confondu avec un point si on l'observe à une échelle plus grande). Cette notion de densité en un certain endroit est souvent moins abusive quand on a affaire à des milieux "continus"(quand on parle par exemple de telle quantité donnée par unité de volume ou litre). Toutefois, en pratique, n'importe quel milieu "continu" est en réalité "discret" si on le prend à une échelle suffisamment petite(comme l'eau qui semble un milieu continu à notre échelle mais qui reste malgré tout discret au niveau moléculaire). Enfin, surtout statistiquement, cette densité multiplié par un volume donne la quantité moyenne d'éléments que l'on risque de rencontrer dans ce volume. Si cette quantité est comprise entre 0 et 1, cela signifie juste souvent le volume ne contiendra rien et pas que on aura cette quantité précise "non entière" en permanence.

[b@z66]

Si cette quantité est comprise entre 0 et 1, cela signifie juste souvent le volume ne contiendra rien et pas que on aura cette quantité précise "non entière" en permanence.

Mieux dit, "Si cette quantité est comprise entre 0 et 1(nombre non entier), cela signifie juste que souvent le volume ne contiendra rien et des quantités entières le restant du temps (on peut donc faire une moyenne dans le temps). Cela ne signifierait pas par exemple que l'on pourrait avoir une quantité "non entière" de l'objet considéré en permanence. Cela reste vrai quelque soit la taille du volume, la densité permet alors d'avoir la chance statistique d'y trouver une quantité d'électron, par exemple.

[b@z66]

Excusez mon ignorance, mais j'ai du mal à concevoir la densité de charge "en un point". J'arrive à concevoir une densité dans un volume, mais pas en un "point". Comment je peux déterminer cette densité. Est ce une donnée connue ou y a t il une méthode pour la déterminer..

Merci encore..

Cela n'est pas vraiment différent de l'exemple de la détermination de la vitesse en un point: tu sais depuis le collège que pour déterminer une vitesse, il est nécessaire de connaitre le temps de parcours entre deux points mais, au lycée, en faisant tendre les deux points entre eux(dérivée), tu as également vu qu'on pouvait définir une vitesse à un instant donné. La différence principale ici, c'est qu'on fait tendre un volume vers 0 au lieu d'une distance comme dans le cas d'une vitesse.

[inviteaf5072d2]

Cela n'est pas vraiment différent de l'exemple de la détermination de la vitesse en un point: tu sais depuis le collège que pour déterminer une vitesse, il est nécessaire de connaitre le temps de parcours entre deux points mais, au lycée, en faisant tendre les deux points entre eux(dérivée), tu as également vu qu'on pouvait définir une vitesse à un instant donné. La différence principale ici, c'est qu'on fait tendre un volume vers 0 au lieu d'une distance comme dans le cas d'une vitesse.

Je comprends mieux à présent. C'est probablement encore une donnée variable en fonction du milieu. C'est encore de ma part de la curiosité, mais comment cette valeur rho est elle déterminée ?

Merci

[inviteaf5072d2]

Je comprends mieux à présent. C'est probablement encore une donnée variable en fonction du milieu. C'est encore de ma part de la curiosité, mais comment cette valeur rho est elle déterminée ?

Merci

?????????????????????

[b@z66]

Je comprends mieux à présent. C'est probablement encore une donnée variable en fonction du milieu. C'est encore de ma part de la curiosité, mais comment cette valeur rho est elle déterminée ?

Merci

C'est avant tout une donnée que l'on utilise en théorie(notamment en électromagnétisme où les notions de "distribution de charge" sont constamment présentes). Dans la pratique de l'étude des matériau, je n'y connais pas grand chose. Par contre, je peux te dire que dans le cas des semi-conducteurs(qui sont utilisés dans tous les circuits numériques actuels), cette propriété de la dépendance de la conductivité vis à vis de la population des "charges électriques" pouvant conduire et provoquer un courant est fondamentale puisque c'est en faisant varier cette population que l'on arrive à obtenir la diversité des propriétés qu'ont les circuits se basant sur les semi-conducteurs.

Pour ce qui est du calcul de la conductivité, dans le modèle de Drude, je te donne ce lien qui donne son calcul exact(pages 4-5-6).

http://www.cours.polymtl.ca/phs3102/...s%20metaux.pdf

[inviteaf5072d2]

C'est avant tout une donnée que l'on utilise en théorie(notamment en électromagnétisme où les notions de "distribution de charge" sont constamment présentes). Dans la pratique de l'étude des matériau, je n'y connais pas grand chose. Par contre, je peux te dire que dans le cas des semi-conducteurs(qui sont utilisés dans tous les circuits numériques actuels), cette propriété de la dépendance de la conductivité vis à vis de la population des "charges électriques" pouvant conduire et provoquer un courant est fondamentale puisque c'est en faisant varier cette population que l'on arrive à obtenir la diversité des propriétés qu'ont les circuits se basant sur les semi-conducteurs.

Pour ce qui est du calcul de la conductivité, dans le modèle de Drude, je te donne ce lien qui donne son calcul exact(pages 4-5-6).

http://www.cours.polymtl.ca/phs3102/...s%20metaux.pdf

J'ai une meilleure perception à présent. Merci.

[b@z66]

J'ai une meilleure perception à présent. Merci.

Au cas où tu voudrais approfondir sur le sujet, je te conseille ce lien qui est très complet au sujet de la conductivité dans le modèle de Drude.

www.whfreeman.com/tipler4e/pdf/ch27.pdf