espace de hilbert et electromagnetisme.

[Abu Maria.]

salut.
j'ai posé une question dans la section mathématique
http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3277903
sur les espace de Hilbert , regardez la dernière réponse ou il ' a mentionné la mécanique quantique qui utilise l'espace de Hilbert , je veux savoir moi la cause qui a poussé a utilisé cette espace dans l'electromagnetisme , j'ai trouvé ca " ...en electromagnetisme , un espace identique a celui en mécanique quantique est introduit , en effet , l'énergie EM contenue dans un certain volume (V) de l'espace s'exprime en fct de l'intégrale sur ce volume du carré du module cu champ EM n or l'energie etant une quantité finie , il s'ensuite que ces champs appartiennent également a l'espce L2(au carré) donc il existe une analogie entre la nature des grandeurs traitées en Mécanique quantique et en EM , aboutissant au developpement d'un formalisme math commun ...."
si quelqu'un connait déjà ce formalisme dans la mécanique quantique , est ce qu'il peut m'expliquer son utilisation dans l EM.
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[Abu Maria.]

je suis désolé , car j'ai déjà ouvert une discussion presque pareille ailleurs...une petite information ca serai bien...merci.

[invite7ce6aa19]

je suis désolé , car j'ai déjà ouvert une discussion presque pareille ailleurs...une petite information ca serai bien...merci.

Bonjour,


Que tu prennes les équations de l'électromagnétique ou l'équation de Schrodinger lorsque tu cherches les solutions où le dépendance par rapport au temps est en A(x) exp (i.w.t) tu obtiens une équations aux valeurs propres qui te donnent une base de fonctions orthogonales qui appartient à L2 et qui vont pouvoir représenter l'espace de toutes les solutions (l'une d'elle étant déterminée par les conditions aux limites).

Plus généralement lorsque tu cherches les solutions d'une équation rien ne t'empêche de choisir une base de fonctions d'un espace L2 pour trouver les solutions (éventuellement approximatives).

[Abu Maria.]

merci mariposa, l'espace de Hilbert peut être de dimension infini , et en physique comment peut on expliquer ca , dimension infini.???

[A voir en vidéo sur Futura]

[Abu Maria.]

et alors !!!! pas de réponses???, merci

[Deedee81]

Salut,

l'espace de Hilbert peut être de dimension infini , et en physique comment peut on expliquer ca , dimension infini.???

C'est des espaces de configuration. Pas l'espace réel. Ce n'est donc pas gênant.

[Abu Maria.]

désolé , si je veux travailler avec un vecteur , donc il peut avoir plusieurs composantes , suivant la dimension , pouvez un peu éclaircir ?merci.

[Deedee81]

désolé , si je veux travailler avec un vecteur , donc il peut avoir plusieurs composantes , suivant la dimension , pouvez un peu éclaircir ?merci.

J'avoue ne pas trop comprendre ton problème.

Dans un espace vectoriel avec une infinité de dimensions, une fois une base choisie, pour un vecteur tu as alors une infinité de composantes. Ce n'est pas un problème.

Ce nombre infini de composantes peut même être indénombrable et continu. Dans ce cas les sommes sur les composantes sont remplacées par des intégrales. Pire : selon la base choisie, pour le même espace de Hilbert et un même vecteur, les composantes peuvent être continues ou en nombre dénombrable !!!! Par exemple en mécanique quantique la base position (continue) et la base énergie peut être discrète. Les espaces avec une infinité de dimensions peuvent être très contre-intuitifs.

Prenons par exemple le potentiel scalaire U(x,t) (ou une fonction d'onde, une composante du potentiel vecteur, etc...), et la base position, alors le vecteur représentant le champ scalaire U(t) sera un vecteur avec une composante pour chaque position U_x(t) = U(x,t).
(attention de ne pas mélanger "vecteur dans l'espace ordinaire" et "vecteur dans l'espace de configuration"). A noter que les vecteurs de base sont alors des distributions de Dirac concentrées en chaque point de l'espace ordinaire ! Ainsi, le produit scalaire avec un vecteur de base : Intégrale (U_x(t).Delta(x') dx) donne bien la valeur du champ en ce point (sa composante pour ce vecteur de base) : U_x'(t).

P.S. : personnellement je n'ai jamais utilisé le formalisme des espaces de Hilbert en électromagnétisme. Mais je l'utilise par contre fréquemment en mécanique quantique.

[Abu Maria.]

merci et désolé pour ce dérangement...
mon principal problème est que je suis vraiment nouveau dans ce domaine , et j'ai entamé un sujet sur "les structure planaire" question de propagation et électromagnétisme , on a utilisé l'espace de Hilbert ,et je sais que dans la meca quantique l'utilise aussi , et j'essaye de comprendre pourquoi on utilise cet espace alors je lis sur les espaces de Hilbert , et je trouve qui 'il peuvent être de dimension infini ...
donc la dimension infini mentionné ca n'a rien avoir avec la dimension physique qu'on connait (x,y,z,t) les 3 dimensions ???
merci encore.

[Abu Maria.]

SVP je veux voir un exemple de la mécanique quantique d'un vecteur possedant plusieurs composantes (décomposé dans la base de dim infini)
merci.

[Deedee81]

Salut,

merci et désolé pour ce dérangement...

Il n'y en a pas. Après tout, on répond si on en a envie

donc la dimension infini mentionné ca n'a rien avoir avec la dimension physique qu'on connait (x,y,z,t) les 3 dimensions ???

Je confirme.

je veux voir un exemple de la mécanique quantique d'un vecteur possedant plusieurs composantes (décomposé dans la base de dim infini)

Oui, c'est même élémentaire. Prend la position d'un électron autour d'un atome. Disons l'état de base autour de l'hydrogène. Alors sa fonction d'onde peut s'écrire :
Psi(r) = N.exp(-r/a0)
(elle est sphérique et de dépend pas des angles polaires, a0 est le rayon de Bohr et N une constante de normalisation).

Dans le formalisme de Dirac (qui n'est rien d'autre que l'utilisation des espace de Hilbert), l'état peut s'écrire simple |Psi> (notation assez passe partout). C'est un vecteur d'état dans l'espace de Hilbert des états possibles pour cet électron.
On peut choisir la base position |r>. A chaque position (une infinité possible) |r> donne l'état où l'électron a une position précise, en r (r ici est la distance au noyau, je garde la symétrie sphérique par simplicité).

Donc |Psi> = Somme N.exp(-r/a0) |r>
(en fait la somme est ici l'intégrale sur r allant de 0 à l'infini)

Le passage de la base position à la base impulsion est typiquement une transformée de Fourier.

[Abu Maria.]

merci.
SVP quel est le but de cette décomposition , si vous voulez même dans la mécanique quantique???

[Deedee81]

Salut,

SVP quel est le but de cette décomposition , si vous voulez même dans la mécanique quantique???

Décrire un état général à partir d'états plus simples, physiquement sensibles,.... Pouvoir comparer deux états complètement différents...