Representation de groupes, quelques questions.

[invite39876]

Bonjour,
Je suis étudiante en physique et je suis actuellement un cours de
théories de representation de groupe; aussi j'ai des questions a ce
sujet, surtout sur la partie mathématiques de la chose que j'ai
l'impression de ne pas maitriser. (Peut etre aurais-je du poster la
bas).
Je vous donne les questions en vrac telles qu'elles me viennent.
1) QU'est ce qu'une mesure de Haar?
2) Notre prof nous a dit que l'etude des representations de groupes
generalisait les series de fourier, pourquoi cela? Je ne vois pas de
rapport (mis a part le fait qu'on a des outils qui s'appellent
pareil... par exemple la transformation de Fourier).
3) Concernant le théorme de Frobenius, note prof nous a donné une
premiere version qu'il a qualifié de naive, puis a dit que la bonne
façon de voir les choses c'etait dans le cadre des foncteurs adjoints,
qu'est ce que cela signifie?
4) Pourquoi etudier une représentation c'est la meme chose qu'etudier
un C[G]-module, et pouquoi cela permet de voir l'agèbre non
commutative commme une generalisation de la théorie des
representations de groupe?
5) Enfin je ne comprends pas du tout le theoreme de Peter-Weil, qqun
ici peut me l'expliquer en mot "simples"?
6) Oh et une dernière chose, comment etablir la table des carractères
d'un groupe en general?

Merci a ceux qui auront la patience de me lire.
Julia.
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[mariposa]

Bonjour,
Je suis étudiante en physique et je suis actuellement un cours de
théories de representation de groupe; aussi j'ai des questions a ce
sujet, surtout sur la partie mathématiques de la chose que j'ai
l'impression de ne pas maitriser. (Peut etre aurais-je du poster la
bas).
Je vous donne les questions en vrac telles qu'elles me viennent.
1) QU'est ce qu'une mesure de Haar?
2) Notre prof nous a dit que l'etude des representations de groupes
generalisait les series de fourier, pourquoi cela? Je ne vois pas de
rapport (mis a part le fait qu'on a des outils qui s'appellent
pareil... par exemple la transformation de Fourier).
3) Concernant le théorme de Frobenius, note prof nous a donné une
premiere version qu'il a qualifié de naive, puis a dit que la bonne
façon de voir les choses c'etait dans le cadre des foncteurs adjoints,
qu'est ce que cela signifie?
4) Pourquoi etudier une représentation c'est la meme chose qu'etudier
un C[G]-module, et pouquoi cela permet de voir l'agèbre non
commutative commme une generalisation de la théorie des
representations de groupe?
5) Enfin je ne comprends pas du tout le theoreme de Peter-Weil, qqun
ici peut me l'expliquer en mot "simples"?
6) Oh et une dernière chose, comment etablir la table des carractères
d'un groupe en general?

Merci a ceux qui auront la patience de me lire.
Julia.

Bonjour,

Au vu de tes questions, très mathématiques, mieux vaut que celles-ci soient posées dans le forum mathématiques.

[invite39876]

Justement, je suis physicienne de formation. Et pour mes cours de physique, je suis ce cours, aussi j'aurai bien aime avoir l'eclairage de physiciens qui parlent le meme langage que moi (qui ne m'expmiqueront pas a coup de foncteurs ^^, je ne sais meme pas ce qu'est un foncteur :$).
Pourriez vous au moins me degrossir les questions (j'ai vu qu'il etait souvent question de representation de groupe ici, il doit donc y avoir 2-3 personnes qui s'y conaissent).
Sinon j'irai la bas.
Merci pour votre reponse.
Julia.

[mariposa]

Justement, je suis physicienne de formation. Et pour mes cours de physique, je suis ce cours, aussi j'aurai bien aime avoir l'eclairage de physiciens qui parlent le meme langage que moi (qui ne m'expmiqueront pas a coup de foncteurs ^^, je ne sais meme pas ce qu'est un foncteur :$).
Pourriez vous au moins me degrossir les questions (j'ai vu qu'il etait souvent question de representation de groupe ici, il doit donc y avoir 2-3 personnes qui s'y conaissent).
Sinon j'irai la bas.
Merci pour votre reponse.
Julia.

Re bonsoir,

Je veux bien essayer de répondre en physicien, en faisant remarquer que la plupart des questions que tu as posées sont relatives à des questions qui touchent au fondement mathématiques de la question et là je me déclare incompétent.

Je reprend ton problème en commençant par une première question: As-tu compris ce qu'est une représentation d'un groupe?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite39876]

Merci beaucoup!
Je vois bien ce qu'est une representation de groupe. Du moins la def de base.
Un morphisme de G dans Aut(E), avec E un C-espace vectoriel
non?
Julia.

[mariposa]

Merci beaucoup!
Je vois bien ce qu'est une representation de groupe. Du moins la def de base.
Un morphisme de G dans Aut(E), avec E un C-espace vectoriel
non?
Julia.

OK

Donc pour ta première question sur la mesure de Haar elle concerne le passage des groupes discrets aux groupes continus. Dans le cas des groupes discrets on a besoin de faire des calculs sur des fonctions f(g) avec sommation discrètes sur les g (par exemple le théorème de grande orthogonalité). quand on, passe aux groupes continus il faut effectuer une sommation continu et donc définir une mesure d'intégration qui est ici la mesure de Haar (en pratique cela veut dire que le formalisme des groupes discrets se reconduit sans problèmes aux groupes continus compacts). Sur ce terrain, pour approfondir il faut interroger les mathématiciens.

Voilà donc un premier élément de dégrossissage.

[invite39876]

D'accord, mais y a t il des problemes sur la distinction entre mesure a gauche et a droite. Sur le cercle par exemple? Quelles sont les mesures a gauche? A droite?
Enuite, comme j'ai dit je vois bien la def de base, et mon prof a dit que c'etait plus fructueux de voir une representation comme un C[G]-module. Je comprends vraiment pas comment faire le lien.
Encore merci de vos reponses.
Julia

[mariposa]

D'accord, mais y a t il des problemes sur la distinction entre mesure a gauche et a droite. Sur le cercle par exemple? Quelles sont les mesures a gauche? A droite?
Enuite, comme j'ai dit je vois bien la def de base, et mon prof a dit que c'etait plus fructueux de voir une representation comme un C[G]-module. Je comprends vraiment pas comment faire le lien.
Encore merci de vos reponses.
Julia

On peut prendre la même mesure à gauche comme à droite pour les groupes compactes, mais je ne saurais t'expliquer. C'est pour cette raison que ton prof de maths propose une représentation comme un C[G]-module.

[invite39876]

Hummm
vous dites que lien entre representation et C[G]-module vient du fait qu'on peut prendre la meme mesure? Pouvez vous me dire pourquoi? (parce que mon prof n'a pas dit que ca venait de ca, enfin je veux dire il a parle de C[G]-bidule... Pardon module ^^, bien avant de parler de mesure de Haar.
Pff j'ai vraiment rien compris.
Par exemple comment on voit la representation reguliere comme un C[G]-module? Ce doit etre tres simple mais meme ca je ne sais pas le faire.
Merci bcp de votre temps.
Julia.

[invite39876]

Ah oui aussi dans le cas du cercle, finalement la mesure qu'on prend c'est laquelle?

[mariposa]

Ah oui aussi dans le cas du cercle, finalement la mesure qu'on prend c'est laquelle?

Dtheta/2.Pi pour le cercle de rayon unité.

[invite39876]

Et pour la representation reguliere comme un C[G]-module?
Vous avez une idee?
Julia.

[invite84eba484]

Bonjour,
Je suis étudiante en physique et je suis actuellement un cours de
théories de representation de groupe;
Merci a ceux qui auront la patience de me lire.
Julia.

Bonjour,
j'ai tout lut

Mes compétences en math sont bien en dessous de ce que tu demande ici mais je me posais une question un peu hors sujet.

Quel genre d'étude tu fait ? Est ce un M2 de physique ?

Bon courage et aurevoir.

[mariposa]

Et pour la representation reguliere comme un C[G]-module?
Vous avez une idee?
Julia.

non point

[invite39876]

Bonjour Cjordan.
Je suis en m1 de physique et je m'interesse au representation de groupes, parce que je m'interesse a la physique des particules. Et il parait que c'est important ^^
Julia.

[invite58633955]

Bonjour,
Alors voici quelques elements de reponse (données par un matheux, j'espere que cela te satisfaira, mais vu les questions que tu pose, je ne pense pas etre HS).
Pour la mesure de Haar, en fait on cherche une mesure sur un groupe qui soit invariant par translation a gauche (ou a droite), c'est un theoreme qu'il en existe une, et pour un groupe compact une mesure de Haar a droite est une mesure de Haar a gauche. C'est tres utilie car cela permet d'utiliser le truc qu'on utilise sur les groupes finis (a savoir mulitplier a gauche par un element g et reordonner les elements quand on calcule des moyennes ou des choses comme ca).
Ce qui est clé ici et important dans une mesure de Haar, c'est que m(gH)=m(H).
Sur le cercle comme il a été dit, tu peux prendre la mesure angulaire.
Il n'y a pas lieu de se poser la question droite gauche sur le cercle... vois tu pourquoi?

Pour un C[G]-module, c'est tout bete, mais pour repondre a la question il faut savoir ce qu'est un module (un A-module) le sais tu?

[invite84eba484]

Bonjour Cjordan.
Je suis en m1 de physique et je m'interesse au representation de groupes, parce que je m'interesse a la physique des particules. Et il parait que c'est important ^^
Julia.

Ah oui en effet, je suis en M2 théorique et je t'avoue que mes cour sur les groupes ne vont pas aussi loin concernant les représentations! En tout cas c'est bien si tu y arrive car oui les représentations sont trés importants en particules et notament en théorie des champs

Bon voila a défaut d'avoir répondu aux questions, j'ai au moins pris conscience du retard que j'ai en groupe bonne soirée tchao

[invite58633955]

Si tu le sais tu peux lire ce qui suit.
Quand tu as un groupe G, on peut construire ce qu'on appelle l'agèbre du groupe G (c'est l'algèbre des fonctions de G dans C).
Moralement c'est les combinaisons lineaires de la forme ou a_i sont des complexes, et [g_i] est une base de l'espace (une base de l'espace est donnée par les elements de G, c'est a dire que tu construit le C-espace somme directe des Cg_i pour les g_i dans ton groupe), la multiplication est donnée par la formule a laquelle tu pense, assorti du fait (auquel tu pense aussi j'espere) [g][h]=[gh]. On note cette algèbre C[G]
Maintenant, il est facile de voir que tu peux voir une reprensentation comme la donnée d'un module sur C[G], et reciproquement, tout C[G]-module se voit comme une reprensentation.
L'interet c'est que c'est la bonne vision, pour tout un tas de raison. Par exemple une sous representation devient simplement un sous C[G]-module, la question de la somme directe en representation irred est juste la question de la semi simplcité d'un module... etc...

[invite58633955]

Ensuite effectivement, la théorie des representations de groupe est une (tres vaste) generalisation de l'analyse de fourier (bien au dela du simple aspect "ce sont les meme termes").
Ca ne te parait pas evident, parce que la generalisation est si vaste, que l'analyse de fourier classique occupe une toute petite part.
Pour t'en convaincre demande toi quelles sont les representations irred de S1, et que donnent les théorèmes de la theorie des representations appliques a S1 (la decomp de la represenation regulière, et la structure de L²(S1)), tu retrouveras les théoreme sur les series de fourier.
Je repondrai au reste quand j'aurai un peu plus de temps.
Mais rassure toi, ne pas connaitre ses reponses ne t'empechera pas de faire de la bonne physique.

[invite39876]

Pourquoi la question droite gauche n'intervient pas sur le cercle? Et un module c'est comme un espace vectoriel n'est ce pas?
Merci de votre temps.
Julia

[invite39876]

Et qu'appelez vous L2(s1) (les fonction de carres integrable sur le cercle?) et quel rapport avec les series de fourier?
Je comprends mieux le lien avec les C[G]-module, quel rapport avec la mesure de haar. Et pourquoi est ce si utile? J'ai l'impression que c'est plus complique au contraire^^
Desolee si mes questions semblent betes. Mais il y a trop d'objets differents, je suis perdue.
Julia.

[invite39876]

Bonjour, quelqu'un a les reponses a mes questions?
Mariposa? Therodre?
D'autant plus que la suite du cours fait appel a une notion de revetement, que je n'ai jamais vu.
(je peux poser mes questions la dessus sur ce fil ou faut il que j'en ouvre un autre?)
Merci.
Julia

[mariposa]

Bonjour, quelqu'un a les reponses a mes questions?
Mariposa? Therodre?
D'autant plus que la suite du cours fait appel a une notion de revetement, que je n'ai jamais vu.
(je peux poser mes questions la dessus sur ce fil ou faut il que j'en ouvre un autre?)
Merci.
Julia

Bonjour,

Personnellement, je me sens plus capable de t'aider pour appliquer la théorie des reprèsentations des groupes à la physique, plutôt qu'aux fondements mathématiques de ceux-ci. J' en conclus qu'il faut mieux reposer ta question dans la rubrique maths (a noter que Therodre est lui mathématicien)

[invite39876]

Bonsoir,
je veux bien vous soumettre alors un exercice que nous avons eu a
faire pour les physiciens et ou je nage completement.
Si cela ne vous emebete pas trop que nous y refelchission ensemble.
Merci.
On s'interesse a O(2) le groupe des rotations du plan.
1)Determiner les classes de conjugaison de O(2)
2)a) Montrer que toute represenation irreductible de O(2) est de
dimension plus petite que 2.
b) Determiner les representations de dimension 1 de O(2)
c) Determiner les representations irreductible de O(2) et leurs carractères.
Merci.
Julia.

[invite39876]

Et voici un deuxième exercice intitulés "Quarks"
On considère la représentation standard de sl(3,C) (gothique).
Quels sont ces poids?
Montrer qu'ils forment un triangle équilatéral dans une base adaptée.
On appelle ces vecteurs poids les quarks up down et strange.
La aussi, c'est le trou noir!^^
Julia

[invite58633955]

Pourquoi la question droite gauche n'intervient pas sur le cercle? Et un module c'est comme un espace vectoriel n'est ce pas?
Merci de votre temps.
Julia

Bonjour,
Le cercle est un groupe abélien, donc droite et gauche...
Un module... oui c'est comme un ev, du moins dnas la définition, avec un anneau a la place d'un corps, et y a plein de subtilités qui apparaissent.

[invite58633955]

Et qu'appelez vous L2(s1) (les fonction de carres integrable sur le cercle?) et quel rapport avec les series de fourier?
Je comprends mieux le lien avec les C[G]-module, quel rapport avec la mesure de haar. Et pourquoi est ce si utile? J'ai l'impression que c'est plus complique au contraire^^
Desolee si mes questions semblent betes. Mais il y a trop d'objets differents, je suis perdue.
Julia.

Oui, L²(S1), c'est les fonctions de carrés sommable sur le cercle, quel rapport avec les series de Fourier... Ben les series de fourier c'est justement l'etude des fonctions sur le cercle, et quand est ce que celle si son decomposable en serie sur celui ci.

Aucun lien entre C[G]-module et mesure de Haar, une representation est un C[G]-module que le groupe sous jascent admette ou non une mesure de Haar.
C'est utile parce que ca permet d'appliquer des resultats de la théorie des modules a celle des representations (filtration de Jordan Holder etc...), mais bon, en premiere lecture pour un physicien, tu peux zapper ca.
Du reste je te conseille le petit livre de Serre, Representation linéaire des groupes finis, qui est tres bien fait, et dont les premiers chapitres sont destinés aux physiciens.
Dans le reste de la literature
Tu peux aussi allez voir sur cette page David Renard
J'ai personellement appris la théorie des representations de groupes dans ce cours (j'ai vu qu'en plus il y avait un autre poly pour physiciens).
Je pense que le (debut du) livre de Serre est plus pedestre.
Y a aussi un petit livre de Kossmann-Schwarzbarg, aux editions de l'X, mais vu qu'il est devenu payant, tu ne le trouveras pas sur le net, mais peut etre en BU (il est beaucoup plus... terre a terre, un peu comme le debut du bouquin de Serre, et fais pas mal de calcul et de manipulation, ce qui de mon point de vue le rend moins interessant, mais peut etre cela te conviendra mieux que le highbrow point de vue de Renard ou Serre, il est de plus tres relié a la physique).

[invite58633955]

Bonsoir,
je veux bien vous soumettre alors un exercice que nous avons eu a
faire pour les physiciens et ou je nage completement.
Si cela ne vous emebete pas trop que nous y refelchission ensemble.
Merci.
On s'interesse a O(2) le groupe des rotations du plan.
1)Determiner les classes de conjugaison de O(2)
2)a) Montrer que toute represenation irreductible de O(2) est de
dimension plus petite que 2.
b) Determiner les representations de dimension 1 de O(2)
c) Determiner les representations irreductible de O(2) et leurs carractères.
Merci.
Julia.

Pour cela, c'est quand meme assez facile, je pense que tu devrais y refelchir un peu. Voila quelques indications.
1) UNe matrice de rotation s'ecrit dans une base adaptée comme?
2)a) Y a un groupe abélien d'indice 2 dans O(2), lequel?
b)Connais tu un set de generateur de O(2) (adapté a la suite exacte 1->S0(2)->0(2)->Z/2Z->1)
c)Regarde en restriction a SO(2), les representations de dimension 2 se scindent ...

[invite39876]

Pour cela, c'est quand meme assez facile, je pense que tu devrais y refelchir un peu. Voila quelques indications.
1) UNe matrice de rotation s'ecrit dans une base adaptée comme?
2)a) Y a un groupe abélien d'indice 2 dans O(2), lequel?
b)Connais tu un set de generateur de O(2) (adapté a la suite exacte 1->S0(2)->0(2)->Z/2Z->1)
c)Regarde en restriction a SO(2), les representations de dimension 2 se scindent ...

Bonjour,
chuis desolee, mais malgre vos indications j'y arrive toujours pas

1) je sais pas... J'ai jamais vu ca.