Energie potentielle d'un ensemble de masses, pour y a t-il un facteur 1/2 ?

[invite31e49e9a]

Bonsoir,

Soit un ensemble de N masses en interactions gravitationnelles. L'énergie potentielle d'une masse est (à une constante près):


Où est le vecteur reliant une masse i à la masse j. (je démontre pas c'est un peu long).

Donc l'énergie totale du système est simplement la somme des énergie potentielle de chaque masse:

Mais je vois partout qu'il y a un facteur 1/2 et je ne comprend pas pourquoi.

Sur wikipédia (et d'autres sites) ils justifient le facteur 1/2 en disant "chaque paire de masse est comptée deux fois d'où la nécessité de rajouter un facteur 1/2 " bref pour moi ça justifie rien du tout.

J'ai l'énergie potentielle d'un corps, je somme juste les énergies potentielle de chaque corps.

Je verrais pas pourquoi j'aurais un 1/2 qui apparait miraculeusement.

Merci de votre aide.
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[Amanuensis]

Si on prend seulement deux corps, l'énergie potentielle de l'un est l'énergie "libérée" si on l'approche de l'autre.

On voit bien dans ce cas qu'on ne peut pas "libérer" son énergie potentielle sans diminuer de la même quantité celle de l'autre : l'énergie potentielle est bien comptée deux fois.

Autre manière de voir la même chose : l'énergie potentielle d'un système de masses est libérée quand toutes les masses sont réunies au centre de masse de l'ensemble. Il se trouve que cela correspond pour chaque masse à faire "la moitié du chemin" (à un certain sens) vers les autres, d'où le facteur 2.

Notre appréhension du sujet est déformée, comme souvent, parce que l'énergie potentielle est présentée dans le cas du référentiel terrestre, c'est à dire dans le cas où l'une des masses (la Terre) est "infiniment" grande par rapport aux autres. Du coup on compte son déplacement à 0, on ignore son énergie potentielle et le facteur 2 n'apparaît pas.

[coussin]

Imagine tu peux mettre des numéros sur tes masses. Avec la somme comme tu l'écris (i,j de 1 à N et i différent de j), tu inclues l'interaction, par exemple, de 1 avec 2 et de 2 avec 1. Ce qui est effectivement deux fois la même chose. D'où le facteur 1/2.
Pour ne pas compter deux fois les mêmes trucs, la somme aurait dû être : i,j de 1 à N et i différent de j et i plus grand que j

[invite31e49e9a]

Ok vous dites la même chose mais ça me chagrine.

Prenons 3 masses. Donc vous me dites qu'il faut prendre les masses par couples, donc pour vous l'énergie potentielle totale du système c'est l'interaction de 12 + l'interaction de 13 + l'interaction de 23 ?

Mais l'énergie potentielle de la masse 1 c'est bien l'interaction de 12 + 13
celle de la masse 2 c'est l'interaction de 21 + 23
celle de la masse 3 c'est l'interaction 31 + 32

Et, par définition, l'énergie totale c'est la somme des énergies de chaque corps. Donc effectivement on compte deux fois les quantités, mais c'est normal. (enfin selon ce que je comprend)

[A voir en vidéo sur Futura]

[obi76]

Si tu définis l'énergie potentielle 12 comme l'énergie potentielle avec une distance, non pas de 1 avec 2, mais de 1 avec le barycentre de (1,2), tu obtiendrai ce que nous disons. C'est pareil avec un nombre quelconque de corps.

Ca revient à diviser par 2 la somme de toutes les énergies potentielles basées sur la distance ENTRE les objets.

[obi76]

En fait, l'énergie potentielle 12 est égale à l'énergie potentielle 21. pour ne les compter qu'une seule fois, il faudrai noter plutot l'énergie potentielle du système comme :



et ça, c'est égal à



Cordialement,

[invite31e49e9a]

En fait, l'énergie potentielle 12 est égale à l'énergie potentielle 21. pour ne les compter qu'une seule fois

C'est ça que je ne comprend pas. Pourquoi ne doit on les compter qu'une seule fois ?
Pour démontrer la formule que j'ai posté je suis parti des définitions du travail et de l'énergie potentielle.

L'énergie potentielle d'un corps soumis à une force n'est définit que si celle-ci est conservative, c'est à dire si le travail de la force ne dépend pas du chemin suivit par son point d'action. Ce qui est la cas de la force gravitationelle puisqu'elle ne dépend que des positions des corps. Par définition l'énergie potentielle du corps i est où est le travail de la force résultante s'appliquant sur le corps i pour un déplacement infinitésimal de celui-ci (c'est bien une différentielle totale exacte puisque les forces sont conservatives). Et toujours par définition avec la force résultante s'appliquant sur le coprs i (et pas la moitié des forces résultantes !) et le vecteur déplacement élémentaire du corps i.

[inviteccac9361]

Effectivement, c'est troublant ce 1/2.
Il est logique du point de vue de l'energie.
Mais n'est plus coherent lorsqu'on s'attache à ses parties.
Car les forces d'attraction de 1 sur 2 et de 2 sur 1 sont censés être independantes, à ma connaissance selon la definition de la gravité.
Mais peut-être n'y a-t-il qu'un probleme de definition ?
Issu de l'epoque de sa decouverte.

Une force est orientée, cad a une direction et un sens, c'est un vecteur.
Qu'est-ce que serait alors le nom de cette chose qui a une direction mais deux sens ? Sans trop m'avancer, un Quaternion peut-être ? Quelqu'un aurait un avis plus éclairé la dessus ?

[inviteb836950d]

Bon je mets mon petit grain de sel
L'énergie potentielle est une énergie d'interaction. La phrase : "énergie potentielle d'un corps" n'a donc aucun sens...
si l'énergie cinétique appartient bien en propre à chacun des corps, l'énergie potentielle appartient à l'ensemble des corps en interaction, elle n'est pas partitionnable...
soit 3 corps E=T1+T2+T3+V12+V13+V23 (T énergie cinétique, V énergie potentielle)
Cette énergie n'est pas la somme des énergie de 1, 2 et 3

[Amanuensis]

si l'énergie cinétique appartient bien en propre à chacun des corps,

Même pas. Comme les autres, elle est relative...

[inviteb836950d]

Même pas. Comme les autres, elle est relative...

Oui, en plus. Mais ne compliquons pas...

[invite21348749873]

Bonsoir,

Soit un ensemble de N masses en interactions gravitationnelles. L'énergie potentielle d'une masse est (à une constante près):


Où est le vecteur reliant une masse i à la masse j. (je démontre pas c'est un peu long).

Donc l'énergie totale du système est simplement la somme des énergie potentielle de chaque masse:

Mais je vois partout qu'il y a un facteur 1/2 et je ne comprend pas pourquoi.

Sur wikipédia (et d'autres sites) ils justifient le facteur 1/2 en disant "chaque paire de masse est comptée deux fois d'où la nécessité de rajouter un facteur 1/2 " bref pour moi ça justifie rien du tout.

J'ai l'énergie potentielle d'un corps, je somme juste les énergies potentielle de chaque corps.

Je verrais pas pourquoi j'aurais un 1/2 qui apparait miraculeusement.

Merci de votre aide.

Bonjour
Un probleme dans le meme esprit : par n points distincts , combien passe-t-il de droites ? réponse n(n-1)/2 car la droite Ai Aj est la meme que Aj Ai.
De meme pour l'énergie potentielle des deux corps i et j ,Wij= wji
Vous devez donc diviser par 2 la somme des énergies potentielles de chaque paire de corps.

[invite31e49e9a]

Bon je mets mon petit grain de sel
L'énergie potentielle est une énergie d'interaction. La phrase : "énergie potentielle d'un corps" n'a donc aucun sens...
si l'énergie cinétique appartient bien en propre à chacun des corps, l'énergie potentielle appartient à l'ensemble des corps en interaction, elle n'est pas partitionnable...
soit 3 corps E=T1+T2+T3+V12+V13+V23 (T énergie cinétique, V énergie potentielle)
Cette énergie n'est pas la somme des énergie de 1, 2 et 3

Intéressant !
J'ai encore appris des choses fausses

Je donne en document attaché la démonstration que j'ai faite, que je pensais rigoureuse et correcte, peut-on me dire alors comment je dois m'y prendre pour rendre ça propre.

Merci encore
(Il faut malheureusement attendre que la pièce-jointe soit validée)

[invite31e49e9a]

Ça n'intéresse personne cette histoire d'énergie potentielle qui n'appartient pas à un corps mais à l'ensemble du système ? (d'ailleurs faudrait modifier la page wikipédia et quelques bouquins.)

Comment doit on exprimer alors la définition de l'énergie potentille ?

Cordialement.

[obi76]

Bonjour,

déjà, qu'est ce qui te permets de dire que l'énergie du système est nul si les masses sont infiniment éloignées les unes des autres

[Amanuensis]

déjà, qu'est ce qui te permets de dire que l'énergie du système est nul si les masses sont infiniment éloignées les unes des autres

Ce n'est pas un problème, ça. L'énergie potentielle n'est définie qu'à une constante additive près, la prendre nulle à l'infini est assez classique, et ne change rien à la question, il me semble.

[invite31e49e9a]

Bonjour,

déjà, qu'est ce qui te permets de dire que l'énergie du système est nul si les masses sont infiniment éloignées les unes des autres

C'est juste une convention, j'ai choisis de prendre le constante nulle par simplicité.
Ce qui fait que si les "r" au dénominateur tendent vers l'infini alors l'énergie tend vers 0.

Edit: grillé

[obi76]

Et si tu prends C'' = Ep/2, ça donne quoi dans ce cas ?

[invite31e49e9a]

Et si tu prends C'' = Ep/2, ça donne quoi dans ce cas ?

Ben t'as pas le droit de faire ça, Ep n'est pas une constante.

(J'avoue j'ai failli me faire avoir )

[b@z66]

C'est juste une convention, j'ai choisis de prendre le constante nulle par simplicité.
Ce qui fait que si les "r" au dénominateur tendent vers l'infini alors l'énergie tend vers 0.

Edit: grillé

Sans être trop rentrer dans le calcul que tu as fait, je pense que tu as du faire l'erreur classique de dire que l'énergie potentielle d'un système de 2 objets(1 & 2 pour leur donner des petits noms) par exemple est l'énergie que l'on récupère en éloignant 1 de 2 à l'infini + l'énergie que l'on récupère en éloignant 2 de 1 à l'infini. Le problème, c'est que lorsque l'on a éloigné 1 de 2 à l'infini, on a déjà en même temps éloigné 2 de 1 à l'infini! Les deux situations ne sont donc pas indépendantes et elles reviennent strictement à la même chose. C'est bien pour cela que l'on parle d'énergie d'interaction: ce qui compte, ce n'est pas que l'on éloigne 2 de 1 ou 1 de 2 mais uniquement que la distance entre les 2 objets grandissent.

PS: un petit conseil, refais ton calcul en le simplifiant avec deux objets se situant sur un axe que l'on éloigne l'un de l'autre. Cette situation archi-simple devrait pouvoir éclairer ta lanterne. Encore que le fait de considérer un de ces objets fixe par exemple(comme ce qui est fait dans les cours d'électrostatique pour introduire la notion de potentiel) sous-entendrait la présence d'une autre interaction avec un 3ème objet de sorte que le centre de gravité du tout reste fixe mais ce qui nous intéresse en l'occurrence n'est que l'interaction entre les deux premiers objets donc le calcul reste malgré tout valable.

[obi76]

Je ne suis pas convaincu là... Comme le disait b@z66, là tu envois les masses à "2 infini", vu que tu envoie chacune d'entre elle à l'infini... Ca revient à coller un coefficient 2 dans ton calcul, qui pour moi apparait dans le C''

Ben t'as pas le droit de faire ça, Ep n'est pas une constante.

(J'avoue j'ai failli me faire avoir )

[invite31e49e9a]

Sans être trop rentrer dans le calcul que tu as fait, je pense que tu as du faire l'erreur classique de dire que l'énergie potentielle d'un système de 2 objets(1 & 2 pour leur donner des petits noms) par exemple est l'énergie que l'on récupère en éloignant 1 de 2 à l'infini + l'énergie que l'on récupère en éloignant 2 de 1 à l'infini.

J'aime pas utiliser "l'énergie que l'on récupère en éloignant" je sais pas si ça a vraiment un sens rigoureux.
Mais oui l'erreur vient de ce j'associe à chaque objet une énergie potentielle.

Le problème, c'est que lorsque l'on a éloigné 1 de 2 à l'infini, on a déjà en même temps éloigné 2 de 1 à l'infini! Les deux situations ne sont donc pas indépendantes et elles reviennent strictement à la même chose. C'est bien pour cela que l'on parle d'énergie d'interaction: ce qui compte, ce n'est pas que l'on éloigne 2 de 1 ou 1 de 2 mais uniquement que la distance entre les 2 objets grandissent.

PS: un petit conseil, refais ton calcul en le simplifiant avec deux objets se situant sur un axe que l'on éloigne l'un de l'autre. Cette situation archi-simple devrait pouvoir éclairer ta lanterne. Encore que le fait de considérer un de ces objets fixe par exemple(comme ce qui est fait dans les cours d'électrostatique pour introduire la notion de potentiel) sous-entendrait la présence d'une autre interaction avec un 3ème objet de sorte que le centre de gravité du tout reste fixe mais ce qui nous intéresse en l'occurrence n'est que l'interaction entre les deux premiers objets donc le calcul reste malgré tout valable.

J'aime pas cette méthode ça ressemble à du bricolage et on perd le vraie sens de l'énergie.

J'aime (et je pense que c'est la seule façon de faire les choses avec rigueur) partir des définitions pour démontrer les choses.
Mais la définition que j'utilise de l'énergie potentielle (à savoir dEp=-dW) ne semble pas être bonne puisqu'elle implique une énergie potentielle pour chaque corps.

[invite31e49e9a]

Je ne suis pas convaincu là... Comme le disait b@z66, là tu envois les masses à "2 infini", vu que tu envoie chacune d'entre elle à l'infini... Ca revient à coller un coefficient 2 dans ton calcul, qui pour moi apparait dans le C''

Euh non, j'envoie rien nul part

Tout ce qu'il y a après la ligne dEpi=-dW n'est plus de la physique mais juste des maths.

Je me retrouve avec une expression dans laquelle y a une constante, après tout je peux très bien la choisir comme je veux cette constante. Et si je le prend nulle je remarque juste que l'énergie potentielle est nulle quand les "r" sont infini. Je dis rien de physique, c'est juste une constatation.
Et c'est un détail je peux très bien laisser la constante, elle gène pas.

[b@z66]

J'aime pas cette méthode ça ressemble à du bricolage et on perd le vraie sens de l'énergie.

J'aime (et je pense que c'est la seule façon de faire les choses avec rigueur) partir des définitions pour démontrer les choses.
Mais la définition que j'utilise de l'énergie potentielle (à savoir dEp=-dW) ne semble pas être bonne puisqu'elle implique une énergie potentielle pour chaque corps.

Tu as le droit de ne pas aimer mais cela n'est pas du bricolage et correspond bien au "vrai sens" de l'énergie "d'interaction", c'est à dire un "travail"(donnes moi la tienne sinon...). Ta méthode au contraire est assez expéditive au point d'en oublier des fondamentaux: tu devrais plutôt déterminer les potentiels(gravitation ou électrostatique, cela revient au même) avant tout pour calculer ensuite l'énergie potentielle de chaque élément et enfin les additionner pour trouver l'énergie totale.

[b@z66]

Euh non, j'envoie rien nul part

Tout ce qu'il y a après la ligne dEpi=-dW n'est plus de la physique mais juste des maths.

Je me retrouve avec une expression dans laquelle y a une constante, après tout je peux très bien la choisir comme je veux cette constante. Et si je le prend nulle je remarque juste que l'énergie potentielle est nulle quand les "r" sont infini. Je dis rien de physique, c'est juste une constatation.
Et c'est un détail je peux très bien laisser la constante, elle gène pas.

Si, tu est obligé "d'envoyer": tu donnes une différentielle en fonction d'un déplacement infinitésimal et ensuite tu l'intègres. A quoi correspondrait donc alors cette intégration? Je ne vais pas me répéter...

[b@z66]

Pour aller plus loin, l'énergie propre d'interaction d'un objet est donc l'énergie que l'on récupère lorsque cet objet éclate "complètement" en particules infénitésimalles sous l'effet de cette "interaction".

[invite31e49e9a]

Tu as le droit de ne pas aimer mais cela n'est pas du bricolage et correspond bien au "vrai sens" de l'énergie "d'interaction", c'est à dire un "travail"(donnes moi la tienne sinon...).

oui c'est bien celle que j'utilise mais cette définition implique que chaque corps a une énergie potentielle, non ?

Ta méthode au contraire est assez expéditive au point d'en oublier des fondamentaux: tu devrais plutôt déterminer les potentiels(gravitation ou électrostatique, cela revient au même) avant tout pour calculer ensuite l'énergie potentielle de chaque élément et enfin les additionner pour trouver l'énergie totale.

Toujours le même problème: t'utilise quelle définition pour le potentielle?
Et on est pas obligé de calculer le potentiel pour pouvoir en déterminer une énergie potentielle, si ?

Si, tu est obligé "d'envoyer": tu donnes une différentielle en fonction d'un déplacement infinitésimal et ensuite tu l'intègres. A quoi correspondrait donc alors cette intégration? Je ne vais pas me répéter...

On est pas obligé de donner un sens physique à un calcul pour pouvoir effectivement le faire, si ?

[b@z66]

oui c'est bien celle que j'utilise mais cette définition implique que chaque corps a une énergie potentielle, non ?

Il s'agit pour être précis d'énergie potentielle d'interaction or, pour qu'il y ait interaction, il faut bien qu'il y ait au moins deux corps ou deux éléments donc le fait le dire "simplement" qu'un corps a une énergie potentielle ne veut pas dire grand chose à part si on sous-entend les éléments constitutifs du corps.

Toujours le même problème: t'utilise quelle définition pour le potentielle?

On parle d'énergie potentielle d'interaction, il faut donc partir des différents couples d'objet ou d'élément pour la déterminer(couple qu'il ne faut compter qu'une fois).

On est pas obligé de donner un sens physique à un calcul pour pouvoir effectivement le faire, si ?

Très drôle, si ton calcul au départ n'a pas de sens physique, il ne faut pas t'étonner qu'il n'en ait pas à sa fin!!!

PS: je vais encore te donner l'explication que j'ai vu dans un bouquin d'électromagnétisme...

[inviteccac9361]

Quelque-part en rapport avec ton interrogation pour une Energie potentielle, on a la même problematique pour l'Energie de la Matiere.
E=mC²
On devrait dire
E=1/2*mC²

[b@z66]

Comme promis concernant la définition usuelle de ton "énergie potentielle"....