Dm physique, Mvt de l'électron dans un champ magnétique uniforme.

[invite5b3ac67a]

La première question du problème me bloque et je ne sais pas comment choisir la méthode!

Voici l'énoncé:
L'électron, se déplaçant dans le vide, est soumis à l'action d'un champ magnétique B uniforme et permanent. Le chp magnétique B est colinéaire à Oz: B=Be_z. On pose w_c=qB/m(avec -q charge de l'electron et m sa masse);
A t=0, l'electron se trouve en 0 avec la vitesse v₀=v_0xe_x+v_0ze^z.

Soit la première question qui est de determiné la coordonée z(t) de l'electron a l'instant t.


J'ai appliqué le principe fondamental de la dynamique à l'electron qui est soumis seulement au champ magnétique.

Soit ma=-q*v(vectoriel)B et tout ça en vecteur.

Je projette selon l'axe z mais c'est ici que je bloque,
est ce que je dois d'abord effectuer le produit vectoriel avant de projeter?(sachant que le produit vectoriel sera nul selon l'axe z)
ou est ce que je dois projeter ?

Si quelqu'un peut m'apporter son aide je lui en serais très reconnaissant!

Merci d'avance!
-----

[invite84eba484]

Bonjour,

Il faut d'abord faire le produit vectoriel et ensuite projeté

Alors je reprend ton équation :

ma = -q V * B , avec * produit vectoriel

donc ma = q V0x ey

donc m a_z = 0 soit a_z =0

d'ou V_z(t) = constante et V_z(t=0) = V0_z

donc V_z(t) = V0_z

tu intégre, Z(t) = V0_z t +constante2 et on sait que Z(t=0) = 0

soit Constante 2 = 0

Donc Z(t) = V0_z t

[invite5b3ac67a]

merci bien j'ai compris.

super forum!!

[invite5b3ac67a]

J'ai encore une petite question

J'ai bien compris et finalement retrouve le résultat précèdent. Maintenant, on me demande de trouver les expressions des composantes selon x et y de la vitesse.

J'ai procede comme suit:

m*dv/dt=B(qv_xe_y-qv_ye_x) (j'ai effectue le produit vectoriel en supposant que la vitesse avait une composante selon chaque axe)

J'ai projeté selon les axes x et y et j'obtiens,

mx''=-Bqy' selon Ox

my''=Bqx' selon Oy

j'ai ensuite intégré la deuxieme equation pour obtenir
my'=Bqx

J'ai ensuite reinjecte ds la premiere equation pour obtenir

x''+(Bq/m)²x=0

j'obtiens alors
v_x(t)=vox*cos(Bq/m*t)


Je ne sais pas si l'hypothèse que la vitesse a une composante selon chaque axe est bonne car après je trouve une vitesse selon l'axe y mais ça ne marche pas avec les hypothèses de l'énoncé.


De plus, on me demande de montrer que la projection de la trajectoire de l'electron dans le plan XOY est un cercle je devrais donc trouver une equation du type
(x-a)²+(y-b)²=r²
Je n'arrive pas a retomber sur une equation du même type...


J'ai du faire quelques fautes de frappe car je suis sur un clavier américain...

Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite84eba484]

salut,

J'ai projeté selon les axes x et y et j'obtiens,

mx''=-Bqy' selon Ox

my''=Bqx' selon Oy

j'ai ensuite intégré la deuxieme equation pour obtenir
my'=Bqx

jusque la ok je pense.

J'ai ensuite reinjecte ds la premiere equation pour obtenir

x''+(Bq/m)²x=0

j'obtiens alors
v_x(t)=vox*cos(Bq/m*t)

Encore une fois j'ai pas trop vérifié, mais le resultat a une "bonne tete", tu retrouve ta pulsation Wc=qB/m...

Je ne sais pas si l'hypothèse que la vitesse a une composante selon chaque axe est bonne car après je trouve une vitesse selon l'axe y mais ça ne marche pas avec les hypothèses de l'énoncé.

Si il faut supposer V avec une composante selon chaques axes, et si tu trouve une vitesse selon y aprés calcul c'est normal ! Ton champs magnétique a donné une impulsion a l'électron selon l'axe y entre autres et c'est donc normal d'avoir une composante y pour la vitesse.

Un bon moyen de vérifier la justesse de tes calculs est de prendre t=0 dans tes expréssions finales et de comparé avec les condition initiales, par exemple :

je prend t=0 dans ton expression de V_x(t) et je trouve Vo_x, ce qui est en accord avec l'énoncé ! Pour y j'imagine que tu vas trouver un sinus dans l'expression au moins en 0 tu auras 0 !

De plus, on me demande de montrer que la projection de la trajectoire de l'electron dans le plan XOY est un cercle je devrais donc trouver une equation du type
(x-a)²+(y-b)²=r²
Je n'arrive pas a retomber sur une equation du même type...


J'ai du faire quelques fautes de frappe car je suis sur un clavier américain...

Merci d'avance

Ben pour l'équation du cercle, calcul d'abord V_x, V_y , X, et Y et ensuite tu verras ce que tu as, mais tu auras sans doute des cosinus, des sinus et des facteurs identique (Vo_x, Voz, etc...) donc tu mettra X au carré, Y aussi, tu sommera, et tu pourra sans doute te débarr&ssé des cos et sin...

voila courage je n'est refait aucun calcul donc si d'autre trouvnt des erreurs..

[invite5b3ac67a]

Tout est bon je pense avoir trouve bon pour le calcul des vitesses et des coordonnées!
Je trouve comme equation de cercle en coordonnees cartesiennes

x²(t)+(y(t)-V_0x/w_c)²=(V_0x/w_c)²

avec w_c=qB/m

Mais on me demande la fréquence de révolution de l'électron sur le cercle en fonction de V_0x et w_c

je sais juste que w=2Pi*f et je ne sais pas trop comment recoller tout ça.

Merci pour votre aide!!

[invite84eba484]

salut,

J'ai refait vite fait les calculs, mais ils me parraissent bizarre donc j'espere que ta pas fait d'erreur

Sinon pour le calcul de w=2pi f, tu sais que la période T est égale a 1/f donc tu as :

w=2pi/T

Pour calculer, il suffit de connaitre le temps neccesaire pour que l'électron fasse un tour complet.

Donc tu prend un point repére, disons, (0,0) avec (x,y).

Ensuite tu reprend tes équation d'évolution de x et y et tu determine pour quel t on retrouve 0.

par exemple (mais je n'ai pas les expressions exactes) :

tu cherche T tel que :

x(T)=0 Et y(T)=0 tu auras des truc du genre :

cos(Wc T) =0
sin(Wc T) =0

je me rend compte qu'il y a un souci (voir deux !) dans mon raisonnement :s

D'abord tu obtiendras des expréssion que en fonction de Wc et ensuite on n'a pas utilisé l'équation du cercle !

Donc ma démarche doit etre fausse je laisse les autres venir corriger, mais l'idée de trouver la période d'abord me parais bonne a toi de voir.

[invite5b3ac67a]

merci, j'ai pu trouver et ça m'a débloquer pour une bonne partie de mon dm!

J'ai encore une petite question...
J'étudie maintenant le mouvement de l'électron dans les champs magnétique et électrique

J'étudie le mouvement dans le plan Oxy et pour ça on introduit dans l'énoncé une variable u_=x+iy

D'après le principe fondamental de la dynamique j'ai trois équations différentielles sur chaque axes.

selon Ox: x''=w₀^2/2*x-w_cy'

Oy: y''=w₀^2/2*y+w_cx'

et l'equa diff selon Oz n'intervient pas;
On me demande d'établir l'équa diff sur u_

Pour cela je fais la première équa diff plus i*la deuxième et je trouve

u_''=w₀^2/2*u_+i*w_c/2u_'

On suppose ensuite que w_c>>w₀
et on doit déterminer u en fonction de deux pulsations, du temps et de 2 csts d'intégration et je dois exprimer les deux pulsations en fonction de w₀ et w_c.

J'ai essayé de résoudre cette équation différentiel comme une equa diff normale du second ordre avec l'équation caractéristique mais je ne sais pas comment trouver les deux pulsations!

Merci encore pour les réponses précédentes et merci d'avance pour celle-ci!

[invite84eba484]

salut,

j'ai pas regarder en détail (les notations sont assez lourde, vive latek^^)

Mais, tu dit u=x+iy

ensuite tu trouve x" et y" et tu affirme que u"=x"+iy", je ne crois pas que ce soit juste ce passage...

Pourquoi n'essaye tu pas de résoudre le systéme d'équations :

x" et y" pour en déduire x et y en fonction de w_0 et w_c.

Et enfin tu remplace x et y dans l'expression de u .

Sinon mais je ne sais pas si c'est juste aussi, mais tu peut décomposer ton u" en une partie réelle et une partie imaginaire, et résoudre l'équation différentielle pour chaque partie, cad :

U_R" = w_0^2 /2 U_R - w_c/2 U_R'

pour U_R : partie réelle de U

Et de meme :

U_I"=w_0^2 /2 U_I + w_c/2 U_I'
avec U_I la partie Imaginaire.

ensuite tu fait U=U_R + U_I.

mais bon a vérifier.

[invite60be3959]

Bonjour,

sans interférer dans le dialogue, je voudrais préciser quelques points qui me sembles important.

Mais, tu dit u=x+iy

ensuite tu trouve x" et y" et tu affirme que u"=x"+iy", je ne crois pas que ce soit juste ce passage...

Si c'est bon, car la dérivée d'une somme est la somme des dérivées.

Pourquoi n'essaye tu pas de résoudre le systéme d'équations :

x" et y" pour en déduire x et y en fonction de w_0 et w_c.

Et enfin tu remplace x et y dans l'expression de u .

Cela n'aurait alors pas d'intérêt de passer par le changement de variable u = x + iy. Comme toujours dans ce type de système d'équa. diff., le passage à une variable complexe permet de se ramener à 1 seule ED et ainsi de résoudre le système "d'un coup".

Sinon mais je ne sais pas si c'est juste aussi, mais tu peut décomposer ton u" en une partie réelle et une partie imaginaire, et résoudre l'équation différentielle pour chaque partie, cad :

U_R" = w_0^2 /2 U_R - w_c/2 U_R'

pour U_R : partie réelle de U

Et de meme :

U_I"=w_0^2 /2 U_I + w_c/2 U_I'
avec U_I la partie Imaginaire.

ensuite tu fait U=U_R + U_I.

La partie réelle de u est x et la partie imaginaire est y. On a donc déjà ce système d'ED. Ce serait juste un changement de notation.

Quant à ce qu'à fait bilbow69 dans son dernier message cela semble bon. Un lien qui traite du sujet (il y en a plein d'autres) : particule chargée dans un champs électromagnétique