Etude d'un déplacement d'un système mécanique

[invite62696a75]

Bonjour,
j'ai besoin d'aide pour un exercice.

On considère le système mécanique suivant :


Le système mécanique de la figure ci-dessus est constitué d’un ressort de raideur k qui relie une masse M. On applique un effort f(t) en mouvement rectiligne sur la masse. Les forces de frottements sont caractérisées par un coefficient de frottement d’amortissement c et la masse subit une force opposée au sens de déplacement. On néglige le poids de M.
Nous allons étudier le déplacement Y(t).
Valeurs : M = 0.25 kg, k = 0.4 N/m

On applique alors une force f(t)=1 N pendant une seconde et on néglige les frottements.

On obtient alors l'équation différentielle suivante (je précise pas les détails de calcul de l'équation comme c'est long enfin vous pourrez me dire si c'est bon ou non) :



Si on néglige les frottements, on obtient :



Et voilà.

Mais je n'arrive pas à résoudre l'équation différentielle car le signal d'entrée du système est une impulsion et j'ai jamais réussi à le faire. Même avec le transformée de Laplace, j'arrives pas. Si vous pouvez m'aider, ça serait sympa.

Je vous remercie d'avance.
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Vous pouvez simplement diviser le problème en deux phases.
Dans la première votre équation différentielle vaut 1/M. Vous calculez le problème jusqu'à 1 seconde, puis vous vous attaquez à la deuxième phase, dans laquelle l'équation vaut zéro. Avec les conditions initiales données par la fin de la phase 1 (position et vitesse).
Au revoir.

[invite62696a75]

Oui, j'avais pensé à ça mais je croyais que ce n'étais pas la bonne méthode. Merci LPFR et bonnes fêtes de fin d'année.

[invite62696a75]

Bonsoir,
je reviens dessus parce que je ne comprends pas comment on peut déterminer les conditions initiales à la fin de la phase 1. :s

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite62696a75]

S'il vous plait, une réponse.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Qu'elle est la solution que vous avez trouvée pour la phase 1?
Au revoir.

[invite62696a75]

J'ai trouvé pour la phase 1 :

[invite6dffde4c]

Re.
Bon, je suppose que vous avez déterminé les valeurs de 'k' et de Ω
Ceci vous permet de calculer la valeur de Y et de la vitesse pour t = 1 s.
Ces deux valeurs seront les conditions initiales de la phase 2.
Si je peux vous donner un conseil, utilisez un nouveau chronomètre pour mesurer le temps dans la phase 2. Vous déclencherez ce chronomètre juste au début de la phase et vous formules seront plus simples.
Rien ne vous empêchera, une fois le problème terminé de remplacer ce temps par le temps utilisé dans la phase 1.
Un autre conseil. Vous avez remplacé la force par 1 N dans votre formule. Du coup, la formule semble incorrecte dimensionnellement. Je vous conseille de ne pas la remplacer qu'au moment de faire le calcul numérique. Les '1' avec des dimensions sont très dérangeants. Même chose avec le temps de 1 s.
A+

[invite62696a75]

Si vous me dites qu'il faut pas remplacer f(t)=1 comment on fait la résolution dans ce cas là ?

[invite6dffde4c]

Si vous me dites qu'il faut pas remplacer f(t)=1 comment on fait la résolution dans ce cas là ?

Re.
Je ne dis pas qu'il ne faut pas le remplacer. Ce que je dis est que des chiffres avec des dimensions dans le formules c'est trompeur et c'est une source d'erreur.
Pour trouver la valeur numérique des conditions initiales vous remplacez. Mais pas pour avoir la valeur littérale. Ceci dit, ce n'est qu'un conseil de vieux. Vous n'êtes pas obligé de le suivre.
Quand vous avez une valeur numérique égale à 1 vous pouvez toujours lui donner une petit nom du genre t1, y1, ξ1, etc.
A+

[invite62696a75]

D'accord. Bon ceci dit, pour la deuxième phase, on trouve une solution de forme générale suivante :

avec que j'avais oublié de préciser.

Donc en gros, si je reprends Y(t) de la phase 1 on fait ceci pour les conditions initiales ?

[invite6dffde4c]

Re.
Oui, C'est ça.
A+

[invite62696a75]

Dans ce cas là je comprends pas une chose :





D'après la position à l'instant t=1 on en déduit que :

et

Mais pour la vitesse à l'instant t=1

Je retrouve toujours mais après le terme est égale à 0. Enfin je comprends pas A2 ne peut pas être nul ni le cosinus. Je me suis trompé quelque part ?

[invite6dffde4c]

Re.
Je ne comprends pas votre notation.
Avec vos 1 avec des dimensions c'est inhabitable.
Je vous ai dit: vous n'utilisez de valeurs numériques que pour calculer els valeurs numériques.
Calculez la valeur numérique des conditions finale de la phase 1 (et initiales de la phase 2).
Et écrivez correctement vos contions initiales. Est-ce le même temps? Ou c'est deux chronos différents?
A+

[invite62696a75]

Qu'est ce que j'en sais ? On m'a donné l'énoncé comme ça et je n'ai pas de conditions initiales pour tout donc. Même si je remplaçait tout par des valeurs numériques, ça va compliquer les choses encore plus. Et je pense que c'est les conditions initiales pour t=1 seconde vu qu'au bout d'une seconde on a plus de force f(t) = 1 N qui est appliquée sur la masse. Donc après on m'a toujours appris comment résoudre une équation différentielle avec une échelon unitaire tel que f(t)= 1 pour t>0 et ceci pour un temps infini alors après pour résoudre avec un échelon qui dure qu'une seconde, ça je l'ai jamais appris et j'essaye de chercher un cours qui l'explique mais je trouve pas.

[invite6dffde4c]

Tant pis.
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[invite62696a75]

Expliquez moi ce que vous voulez me dire, je comprends pas.

[invite62696a75]

Bon tant pis comme vous dites, je vais demander de l'aide ailleurs alors.