Equilibre d'un solide

[invite3242f886]

Bonjour,

J'ai un problème avec un exercice traitant de l'équilibre d'un solide. L'énoncé est le suivant: Un solide homogène en aluminium de forme cylindrique de rayon r=5cm et de hauteur h=15cm est immergé dans deux liquides non miscibles: le mercure de masse volumique ₁ et l'eau de masse volumique p₂. Le cylindre est en équilibre vertical et les deux liquides sont immobiles. On note h₀ la hauteur d'immersion dans le mercure. On note p_al la masse volumique de l'aluminium.

1) Calculer la résultante des forces exercées par chaque fluide sur le cylindre d'aluminium.
Là je trouve pour l'eau: la poussée d'Archimède: A_eau=p₂Sg(h-h₀)
A_Hg=p₁Sh₀g

2) En déduire la relation entre h₀, h et les trois masses volumiques. Calculer p_Al, on donne h₀=2 cm

Le poids P=-pShg
On a à l'équilibre
A_eau+A_Hg+P=0
d'où: p_Al=(p₁h₀+p₂(h-h₀)/h=2680 kg.m^-3

3) La position d'équilibre du solide change t-elle si on utilise un parallélépipède rectangle de même hauteur plutôt qu'un cylindre?

J'aurais tendance à dire non car la position d'équilibre ne dépend que des masses volumiques et de la hauteur de l'objet immergé. Est ce juste?

4) Calculer h₀ pour un cylindre de platine de même dimension mais de masse volumique p_Pt=21500 kg.m^-3. Commenter

Je trouve que h₀=(p_Pth-p₂h)/(p₁-p₂)=24 cm

Cela signifie t-il que le cylindre de Plantine ne peut pas être en équilibre, car sa masse volumique est trop importante, du coup il coule ? Je trouve bizarre qu'on trouve un h₀ plus important que le h₀ initial.

5) On revient dans cette question au cylindre d'aluminium, on écarte faiblement le solide de sa position d'équilibre de manière à ce qu'il reste vertical. Celui-ci se met alors à osciller verticalement autour de sa position d'équilibre. A un instant donné t, le point C coïncidant, à l'équilibre, avec l'interface eau-kérosène se trouve à la cote z(t). On admet que les liquides exercent sur le cylindre des forces de nature analogues au cas statique. Etablir que l'équation différentielle du mouvement oscillatoire s'écrit:
p_Ald²z/dt²+(p₁-p₂)gz=0
Quelle est la période des oscillations ?

Alors là, j'avais commencer à utiliser la 2ème loi de Newton somme(force)=ma
Mais j'arrive pas à éliminer le p_Al et je ne vois pas comment on peut établir cette équation.

Merci d'avance à celui qui m'aidera.
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
C'est un joli piège sur l'utilisation de la poussée d'Archimède.
Cette dernière est le résultat des forces de pression hydrauliques sur l'objet.
Il faut voir que l'eau au dessus du mercure augmente la pression du mercure lui même.
Donc, la poussée d'Archimède (vers le haut) que votre cylindre voit est celle de l'eau comme s'il était totalement submergé dans l'eau plus la pression du mercure, compte tenue de l'enfoncement du cylindre et comme s'il n'avait pas d'eau sur le mercure.
Au revoir.