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UNe affirmation etrange.




  1. #1
    invite39876
    Invité

    UNe affirmation etrange.

    Bonjour,
    Dans le cadre d'un travail bibilographique (en theorie des champ/physique des particules), je suis tombé sur cette affirmation que j'ai trouvé pour le moins etrange.
    "Sur la sphere S^2 muni de sa structure complexe classique, il n'y a pas de champ de vecteurs (non constant)".
    Je vois pas du tout ce qui permet d'affirmer ceci?
    Est ce qu'il manque un mot (du style jamais nul....).
    Merci!

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    invite39876
    Invité

    Re : UNe affirmation etrange.

    Alors, d'apres la suite du papier ce serait bien qu'il n'existe meme aucun champ scalaire non constant sur cette sphere...
    La je comprends encore moins...
    On peut définir plein de champs scalaires non?
    Si qqun pouvait m'aider sniff.

  4. #3
    Deedee81

    Re : UNe affirmation etrange.

    Salut,

    Je suis tout aussi perplexe que toi

    Tu pourrais peut-être poser la question sur le forum de math.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)


  5. #4
    albanxiii

    Re : UNe affirmation etrange.

    Bonjour,

    Cela ne serait-il pas le théorème dit de la boule chevelue ? Un champs de vecteurs continu sur une sphère de dimension deux s'annule au moins en un point.

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...boule_chevelue

  6. #5
    invite39876
    Invité

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par albanxiii Voir le message
    Bonjour,

    Cela ne serait-il pas le théorème dit de la boule chevelue ? Un champs de vecteurs continu sur une sphère de dimension deux s'annule au moins en un point.

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...boule_chevelue
    Ben justement non, il est bien dit sur la sphere S^2, il n'y a aucun champ scalaire complexe non constant...

    Je comprends pas comment j'ai pu passer a coté de ca si c'est vrai.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    invite39876
    Invité

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Salut,

    Je suis tout aussi perplexe que toi

    Tu pourrais peut-être poser la question sur le forum de math.
    Heu... oui peut etre, mais je serai sure de ne pas comprendre la réponse
    J'imagine que si c'est vrai, des gens ici doivent etre au courrant

    Julia.

  9. #7
    Mixoo

    Re : UNe affirmation etrange.

    Bonjour,
    vous trouvez pas ça plus simple de dire "sur la sphère S^2, il n'y a que des champs scalaires complexes constant" Plutôt que d'utiliser une double négation ?

    Pourriez-vous nous donner la référence dans laquelle vous avez trouvé cet phrase ?
    Parce que pour moi, les harmoniques sphériques sont définies sur S2, elles sont à valeurs complexes et définissent donc un champ scalaire complexe non constant sur la sphère S2 ...

    Mais dans votre premier message vous parlez de champ vectoriel puis dans le suivant de champ scalaire ...

    Donc si vous parlez de champs vectoriels alors on a un un théorème qui affirme que sur S2, tout champ vectoriel s'annule au moins une fois (il y a des conditions de régularité en plus, genre C_infini)

  10. Publicité
  11. #8
    invite39876
    Invité

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par Mixoo Voir le message
    Bonjour,
    vous trouvez pas ça plus simple de dire "sur la sphère S^2, il n'y a que des champs scalaires complexes constant" Plutôt que d'utiliser une double négation ?
    Heu... Si c'est plus simple en effet

    Pourriez-vous nous donner la référence dans laquelle vous avez trouvé cet phrase ?
    Malheureusement j'ai pas de reference precise, parce que c'est des photocopies de notes de cours, que m'a passé une amie.


    Parce que pour moi, les harmoniques sphériques sont définies sur S2, elles sont à valeurs complexes et définissent donc un champ scalaire complexe non constant sur la sphère S2 ...
    Je ne comprends pas plus que vous. Mais ca m'embete parce que ca a l'air important.

    Mais dans votre premier message vous parlez de champ vectoriel puis dans le suivant de champ scalaire ...
    Oui, c'est en precision (en fait ca semble etre la justification du truc, pas de champ vectoriel, car pas de champ scalaire)

    Donc si vous parlez de champs vectoriels alors on a un un théorème qui affirme que sur S2, tout champ vectoriel s'annule au moins une fois (il y a des conditions de régularité en plus, genre C_infini)
    Je crois que ce qui est important c'est le "S^2, muni de sa structure complexe classique", je me suis pas trop posé la question sur ce que ca veut dire.

    En fait c'est une introduction sur le concept de fibré et c'est censé etre un exemple du fait qu'un fibré, n'admet pas toujours des sections, et la il est donné ceci comme justification.

  12. #9
    Deedee81

    Re : UNe affirmation etrange.

    Re,

    Citation Envoyé par Bloupou Voir le message
    Ben justement non, il est bien dit sur la sphere S^2, il n'y a aucun champ scalaire complexe non constant...

    Je comprends pas comment j'ai pu passer a coté de ca si c'est vrai.
    Est-ce qu'il n'y a pas des conditions particulières ? Du style continuité, invariance sous telle ou telle transformation,...

    Parce qu'a priori on peut associer à chaque point de la sphère un scalaire arbitraire....

    Et le théorème de la boule chevelue prouve bien qu'il peut y avoir des champs de vecteurs non constant.

    Ou alors c'est la sphère de Riemann et il y aurait quelque chose qui nous échappe ? (un truc de mathématicien )

    Il n'y a pas un contexte qui nous éclairerait ?
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  13. #10
    Amanuensis

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par Bloupou Voir le message
    En fait c'est une introduction sur le concept de fibré et c'est censé etre un exemple du fait qu'un fibré, n'admet pas toujours des sections, et la il est donné ceci comme justification.
    Un fibré n'admet pas toujours de section globale.

    Mais pour un champ de vecteurs, c'est à dire une section du fibré vectoriel dont la base est une variété différentiable, il y a toujours au moins une section globale, celle nulle partout (et en fait une infinité, suffit de prendre une section locale qui s'annule au bord, et la prolonger par nul sur le reste).

    Pas un très bon exemple du coup.

    Sur la sphère, un meilleur exemple est le fibré des repères. Il n'a pas de section globale, conséquence du théorème de la boule chevelue.

  14. #11
    invite39876
    Invité

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Re,



    Est-ce qu'il n'y a pas des conditions particulières ? Du style continuité, invariance sous telle ou telle transformation,...

    Parce qu'a priori on peut associer à chaque point de la sphère un scalaire arbitraire....

    Et le théorème de la boule chevelue prouve bien qu'il peut y avoir des champs de vecteurs non constant.

    Ou alors c'est la sphère de Riemann et il y aurait quelque chose qui nous échappe ? (un truc de mathématicien )

    Il n'y a pas un contexte qui nous éclairerait ?
    Heu... le contexte est une introduction au fibré, et on parle ensuite de variétés complexes, puis il est noté que sur la sphere S^2, il n'y a pas de section du fibré trivial. Puis un peu plus loin, l'affirmation de mon premier message, y a t il un rapport entre les deux?
    PLus tard S^2 est effectivement appelee sphere de Riemann... Ca change des choses?
    Je suis compltement perdue en fait, il n'est fait mention de rien de plus precis concernant ces champs.

  15. #12
    invite39876
    Invité

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Un fibré n'admet pas toujours de section globale.

    Mais pour un champ de vecteurs, c'est à dire une section du fibré vectoriel dont la base est une variété différentiable, il y a toujours au moins une section globale, celle nulle partout (et en fait une infinité, suffit de prendre une section locale qui s'annule au bord, et la prolonger par nul sur le reste).

    Pas un très bon exemple du coup.

    Sur la sphère, un meilleur exemple est le fibré des repères. Il n'a pas de section globale, conséquence du théorème de la boule chevelue.
    Ok, ca je comprends bien, mais pourquoi alors le fibré trivial n'admet pas de section? (non constante)
    CA a un rapport avec le fait qu'il n'y ait pas de champ scalaire? (non constant).
    Vraiment j'ai rien compris en fait.
    Un champ vectoriel c'est une section d'un fibré?

  16. #13
    Amanuensis

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par Bloupou Voir le message
    mais pourquoi alors le fibré trivial n'admet pas de section? (non constante)
    C'est quoi "le" fibré trivial ??

    Un fibré trivial admet des sections globales. Un fibré trivial, c'est un produit cartésien avec comme projection la projection canonique. Pas très intéressant comme fibré.

    Un champ vectoriel c'est une section d'un fibré?
    Oui, et même une section globale. Du fibré dont la base est une variété (par exemple S2) et la fibre l'espace vectoriel tangent (penser au plan tangent à la sphère en un point, et le voir comme espace vectoriel par exemple celui des vitesses en ce point). Ce fibré est de dimension 4.

  17. #14
    invite39876
    Invité

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    C'est quoi "le" fibré trivial ??

    Un fibré trivial admet des sections globales
    Heu ben sur ces notes de cours il est bien dit le fibré trivial, et pas un fibré trivial. Je pense que c'est S^2xC, non?
    Il est bien affirmé qu'il ne posse de pas de sections (non constante).



    Oui, et même une section globale. Du fibré dont la base est une variété (par exemple S2) et la fibre l'espace vectoriel tangent (penser au plan tangent à la sphère en un point, et le voir comme espace vectoriel par exemple celui des vitesses en ce point). Ce fibré est de dimension 4.
    C'est noté.
    J'essaie de digerer ca et de vous dire ce que j'en pense.

  18. #15
    Amanuensis

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par Bloupou Voir le message
    Heu ben sur ces notes de cours il est bien dit le fibré trivial, et pas un fibré trivial. Je pense que c'est S^2xC, non?
    Il est bien affirmé qu'il ne possède de pas de sections (non constante).
    S2xC, ensemble des couples (P, z), muni d'une structure de fibré de base S2 par la projection (P,z)--> P, est un fibré trivial.

    Suffit de prendre deux fonctions continues de P vers R, et les combiner en un complexe pour avoir une section globale, il me semble.

    Le fibré tangent, c'est autre chose que le produit cartésien de S2 par C.

  19. #16
    invite39876
    Invité

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    S2xC, ensemble des couples (P, z), muni d'une structure de fibré de base S2 par la projection (P,z)--> P, est un fibré trivial.

    Suffit de prendre deux fonctions continues de P vers R, et les combiner en un complexe pour avoir une section globale, il me semble.

    Le fibré tangent, c'est autre chose que le produit cartésien de S2 par C.
    Non, mais la il est bien dit que que "le fibré trivial" sur S^2 (toujours muni de sa structure complexe "classique") n'a pas de section (non constante). Vous confirmez que c'est faux?
    Ce serait embettant, par la suite ils repetent souvent cette "remarque".
    Je suis désolé j'ai beaucoup de mal avec tout cela, mais il faut que je le digère.
    Julia.

  20. #17
    Amanuensis

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par Bloupou Voir le message
    Non, mais la il est bien dit que que "le fibré trivial" sur S^2 (toujours muni de sa structure complexe "classique") n'a pas de section (non constante). Vous confirmez que c'est faux?
    Je me contente de confirmer que ce n'est pas ma compréhension des termes employés.

    Ce serait embettant, par la suite ils repetent souvent cette "remarque".
    Que le fibré des repères orthonormés directs de S2 (fibré qu'on peut assimiler à un fibré de fibre C) n'ait pas de section globale est un point important qui mérite d'être répété.

  21. #18
    invite39876
    Invité

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Que le fibré des repères orthonormés directs de S2 (fibré qu'on peut assimiler à un fibré de fibre C) n'ait pas de section globale est un point important qui mérite d'être répété.
    Je veux bien le croire, mais ici ce n'est pas ce dont il est question, il me semble.
    J'aimerai juste savoir est ce qu'un fibré trivial a toujours des sections globales? non nulles? non constantes?
    Merci de votre temps.
    Dernière modification par invite39876 ; 24/01/2011 à 14h43.

  22. #19
    Amanuensis

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par Bloupou Voir le message
    J'aimerai juste savoir est ce qu'un fibré trivial a toujours des sections globales? non nulles? non constantes?
    Je répète ce que je comprends : un fibré trivial est isomorphe à un produit cartésien BxF avec comme projection la projection canonique donnant le premier élément du couple.

    Et pour moi, oui, une variété munie d'une structure de fibré trivial a toujours des sections globales, ce sont simplement les fonctions continues de B vers F.

    Je n'affirme pas avoir une compétence autre que superficielle sur les fibrés, mais ce que j'écris ci-dessus me semble être dans la partie solide de ma compréhension.

  23. #20
    invite39876
    Invité

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Je répète ce que je comprends : un fibré trivial est isomorphe à un produit cartésien BxF avec comme projection la projection canonique donnant le premier élément du couple.

    Et pour moi, oui, une variété munie d'une structure de fibré trivial a toujours des sections globales, ce sont simplement les fonctions continues de B vers F.

    Je n'affirme pas avoir une compétence autre que superficielle sur les fibrés, mais ce que j'écris ci-dessus me semble être dans la partie solide de ma compréhension.
    En fait, je crois que je viens de comprendre qqch d'essentiel, je crois que toutes les fonctions dont on parle ici, sont analytiques.
    Puisque les variétés sous jascentes sont des variétés complexes.
    En admettant que c'est le cas, ca voudrait dire que le fibré trivial sur S2 n'admet pas de section?
    J'imagine que ca change rien que le champ soit analytique ou pas, non?

  24. #21
    Amanuensis

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par Bloupou Voir le message
    J'imagine que ca change rien que le champ soit analytique ou pas, non?
    Si, cela change pas mal ! Analytique est une condition très forte.

    Je ne maîtrise pas suffisamment les variétés complexes pour aider, là. Mais les propos du cours deviennent bien plus acceptables dans ce cadre, il me semble !

  25. #22
    invite39876
    Invité

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Si, cela change pas mal ! Analytique est une condition très forte.

    Je ne maîtrise pas suffisamment les variétés complexes pour aider, là. Mais les propos du cours deviennent bien plus acceptables dans ce cadre, il me semble !
    Bon,
    j'ai envoyé un mail a un ami qui fait des maths et voila la réponse qu'il m'a donné....

    S^2 (je la note X), muni de sa structure complexe, c'est juste la sphere de Riemann, tu la vois comme variété complexe (c'est a dire que les changements de cartes sont holomorphes, en particulier ca te permet de parler de fibré holomorphe sur une telle variété). Et la dessus t'as la fibré trivial O_X holomorphe, effectivement t'as pas de sections globales non constantes de ce fibré... pour plein de raisons allant de (faussement) sophistiques à triviales.
    En voici une triviale, une section (globale) de ce fibré, c'est juste une fonction holomorphe sur X, celle ci etant compacte, une fonction holomorphe dessus y est bornée et sur la sphère épointée, c'est a dire C, tu as une fonction holomorphe, il n'est pas difficile de montrer qu'une fonction holomorphe bornée sur C est constante (utilise les estimations intégrales des coeff).
    J'essaie d'integrer ce truc la, mais deja est ce que vous trouvez que c'est une réponse satisfaisante?
    Merci.
    Julia

  26. #23
    Amanuensis

    Re : UNe affirmation etrange.

    Citation Envoyé par Bloupou Voir le message
    J'essaie d'integrer ce truc la, mais deja est ce que vous trouvez que c'est une réponse satisfaisante?
    Dans son contenu mathématique, oui.

    Quand au côté pédagogique, à vous de juger si c'est satisfaisant.

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